于品讲义二-习题 1(中)

这里的解答并不是标准的书面解答，对于一些题目我们会相较书面解答加上一些自己的思考。为了尽量让过程完整不跳步且易懂，这些题目的解答可能会写得略长。

习题 A

我们总假设  是开集， 是一个给定的点。如果不另加说明  将代表一个函数。

 考察函数：

试计算  的偏导数并证明  的两个偏导数在  处均不连续但是  在  处可微。

对任意 ，计算得：

我们先证明， 不存在。

考虑沿 （，）方向趋近 。我们有：

我们知道，此时  且  有界，故 ；而  在  附近震荡，故其极限不存在。从而极限  不存在。

从而  在  处不连续。由  的对称性， 在  处也不连续。

故  的两个偏导数在  处均不连续。我们再证明  在  处可微。 由微分的定义，我们只需证明：

由定义，我们有：

从而 。同理，我们有 。

代入求值，我们有：

故  在  处可微。 得证！

 考察函数

试计算  在  处所有方向导数并证明  在  不可微。

对方向向量 ，我们计算其对应的在  处的方向导数：

当  时，；

当  时，。

从而：

我们再证明  在  不可微。由上述推导，我们有 （ 的情况，），（ 的情况）。

从而：

若  可微，那么  应成立。

可若我们以路径 （，）来趋近 ，这会得到 。故极限不存在，从而  在  不可微。

得证。

 函数  在  上的所有偏导数 （）都存在并且它们在  上均有界。证明， 在  上连续。 是否在  上可微？如果是，请证明；否则给出反例。

设  满足  对任意  成立。

我们先证明，  在  上连续。

对任意 ，我们想根据定义证明：对任意 ，都存在 ，使得对任意的  满足 ，我们都有 。

由  是开集，存在  使得 。我们下面证明取  会使得对任意  满足 ，都有 。

取一个 ，考虑将问题归约到连接  和  的线段上。定义 。由链式法则， 可导且其导数为 。

从而：

故：

故  在  处连续。由  的选取是任意的，我们有  在  上连续。

我们再构造满足题设条件的  使得  在  中的至少一个点处不可微。

经典地，考虑  的函数：

由基本的求导法则，容易计算得：

我们先证明  的两个偏导数均在  上有界。 考虑极坐标换元。对任意的 。设 ，其中 ，。当  时我们有 

那么：

从而对任意 ，我们都有 。这也就说明  的两个偏导数均在  上有界。

我们再证明  在  处不可微。 若  在  处可微，我们有 。

但：

考虑沿 （其中 ，）的方向趋近 。我们有此时 。

从而  在  处不可微。 得证！

 为开集，我们用  来表示  上的坐标。

函数  的偏导数  和  处处存在。如果偏导数  在  上连续。证明， 在  上可微。

取一点 ，我们需要证明  在  处可微。在下面的证明中， 是任意的。

定义关于  的线性函数 。我们想证明 。

考虑优化  的形式。我们有：

对于第一项， 时由导数的定义我们有 ，并且这个估计是不依赖于  的。故存在  使得对任意 ，我们都有 。

对于第二项，由一元函数微分中值定理，存在  使得 。

由  的连续性，存在  使得对任意 ，我们都有 。

从而取 ，对任意 ，我们都有 。故此时 。

故由极限的定义，我们有：

总之， 符合  在  处的可微性的定义，这也就说明  在  处可微。由  的任意性，我们有  在  上可微。得证！

 考虑在  上定义的行列式函数

任意给定 ，试计算 。

（如果你可以证明  是可微的，那么可以用上学期第 6 次作业的 ，这也即  在  处的导数为 ）

 是一个多项式函数，是映射  经有限次加法乘法得到的，自然可微。

由于题目中提到的结论，考虑行列式映射是一个同态及伴随的性质，我们有微分为 ，其中  代表  的伴随矩阵。

（偏导数的计算）计算下列函数的偏导数：

这是直接的计算，让我们直接写出答案：

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我是培淇，我们下期再见！