【免费下载】25-26学年同步培优讲义7.2.2 复数的乘、除运算(教师版

7.2.2　复数的乘、除运算

我们知道，两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即a，b，c∈R时，有（a＋b）c＝ac＋bc，而且，实数的正整数次幂满足a^maⁿ＝a^m＋n，（a^m）ⁿ＝a^mn，（ab）ⁿ＝aⁿb^n，其中m，n均为正整数.

【问题】　复数的运算满足上述的运算律吗？

知识点一复数的乘法

1.复数的乘法法则

设z₁＝a＋bi，z₂＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z₁z₂＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i　.

2.复数乘法的运算律

对于任意z_1，z2，z3∈C，有

【想一想】

1.复数的乘法与多项式乘法有何不同？

提示：复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i²换成－1，再把实部、虚部分别合并.

2.多项式乘法的运算律在复数乘法中能否成立？

提示：仍然成立，乘法公式也适用.

知识点二　复数的除法

复数代数形式的除法法则

（a＋bi）÷（c＋di）＝＝＋i　（a，b，c，d∈R，且c＋di≠0）.

提醒对复数除法的两点说明：①实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”类似；②代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开.

1.已知i为虚数单位，复数z＝（3－i）（2＋i），则z的虚部为（）

A.iB.1

C.7iD.7

解析：B　∵z＝（3－i）（2＋i）＝7＋i，∴z的虚部为1.故选B.

2.复数z＝－i在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析：C　因为z＝－i＝－i＝－i＝－－i，所以z在复平面内对应的点为（－，－），位于第三象限.故选C.

3.（2024·烟台月考）设复数z满足（1＋i）z＝2－2i（i为虚数单位），则｜z｜＝2.

解析：由已知可得z＝＝＝－2i，因此，｜z｜＝2.

【例1】　计算下列各题：

（1）（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）；

解：（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）＝1－i²－1＋i＝1＋i.

（2）（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i.

解：（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i

＝（－2＋10i＋i－5i²）（3－4i）＋2i

＝（3＋11i）（3－4i）＋2i

＝（9－12i＋33i－44i²）＋2i

＝53＋21i＋2i＝53＋23i.

通性通法

复数的乘法运算法则的应用

（1）复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i²化为－1，进行最后结果的化简；

（2）对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便.例如平方差公式、完全平方公式等.

【跟踪训练】

1.（2024·安阳月考）复数z＝（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析：A　z＝（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）＝1－i²－1＋i＝1＋i，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限.

2.若复数（1－i）（a＋i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）

A.（－∞，1）B.（－∞，－1）

C.（1，＋∞）D.（－1，＋∞）

解析：B　因为（1－i）（a＋i）＝a＋1＋（1－a）i，所以它在复平面内对应的点为（a＋1，1－a），又此点在第二象限，所以解得a＜－1.

【例2】　计算：

（1）（1－2i）÷（2＋i）；

解：（1－2i）÷（2＋i）＝＝＝＝－i.

（2）；

解：＝＝＝－2＋i.

（3）.

解：＝＝＝＝＋i.

通性通法

1.两个复数代数形式的除法运算的步骤

（1）首先将除式写为分式；

（2）再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；

（3）然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式.

2.常用公式

（1）＝－i；（2）＝i；（3）＝－i.

【跟踪训练】

1.已知i为虚数单位，则的实部与虚部之积是（）

A.B.－

C.iD.－i

解析：A　因为＝＝＋i，所以的实部与虚部之积是.

2.（2022·北京高考2题）若复数z满足i·z＝3－4i，则｜z｜＝（）

A.1B.5

C.7D.25

解析：B　依题意可得z＝＝＝－4－3i，所以｜z｜＝＝5，故选B.

【例3】（1）复数z＝i^{2 025}的模是（D）

A.iB.－1

C.0D.1

解析：因为z＝i²⁰²⁵＝i^4×506＋1＝i，所以复数z的模是1.故选D.

（2）计算：1＋i＋i²＋i³＋…＋i¹⁰⁰（i为虚数单位）的结果是1.

解析：由复数的运算法则可知：1＋i＋i²＋i³＋…＋i¹⁰⁰＝1＋（i＋i²＋i³＋i⁴）＋…＋（i⁹⁷＋i⁹⁸＋i⁹⁹＋i¹⁰⁰）＝1＋0＋…＋0＝1.

通性通法

利用i幂值的周期性解题的技巧

（1）熟记i的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数是0，1，2，3时，相应的幂值分别为1，i，－1，－i；

（2）对于n∈N，有iⁿ＋i^n＋1＋i^n＋2＋i^n＋3＝0.

【跟踪训练】

计算：＋.

解：∵＝＝＝i，＝＝－i，而i⁴＝（－i）⁴＝1，

∴＋＝i²⁰²⁴＋（－i）²⁰²⁵＝i²⁰²⁴＋（－i）²⁰²⁴·（－i）¹＝1－i.

【例4】　在复数范围内解下列方程：

（1）x²＋5＝0；

解：因为x²＋5＝0，所以x²＝－5，

又因为（i）²＝（－i）²＝－5，

所以x＝±i，所以方程x²＋5＝0的根为x＝±i.

（2）x²＋4x＋6＝0.

解：法一因为x²＋4x＋6＝0，所以（x＋2）²＝－2，

因为（i）²＝（－i）²＝－2，

所以x＋2＝i或x＋2＝－i，

即x＝－2＋i或x＝－2－i，

所以方程x²＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i.

法二由x²＋4x＋6＝0知Δ＝4²－4×6＝－8＜0，所以方程x²＋4x＋6＝0无实数根.

在复数范围内，设方程x²＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi（a，b∈R且b≠0），

则（a＋bi）²＋4（a＋bi）＋6＝0，

所以a²＋2abi－b²＋4a＋4bi＋6＝0，

整理得（a²－b²＋4a＋6）＋（2ab＋4b）i＝0，

所以

又因为b≠0，所以

解得a＝－2，b＝±.所以x＝－2±i，

即方程x²＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i.

通性通法

在复数范围内，实系数一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的求解方法

（1）求根公式法：

①当Δ≥0时，x＝；

②当Δ＜0时，x＝.

（2）利用复数相等的定义求解：设方程的根为x＝m＋ni（m，n∈R），代入方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解；

（3）一元二次方程根与系数的关系仍成立，即x₁＋x₂＝－₁x₂＝.

【跟踪训练】

1.（2024·厦门月考）已知2i－3是关于x的方程x²＋6x＋q＝0（q∈R）的一个根，则该方程的另一个根为（）

A.2i＋3B.－2i－3

C.2i－3D.－2i＋3

解析：B　根据题意，方程的另一个根为－6－（2i－3）＝－3－2i.故选B.

2.已知关于x的方程x²＋（k＋2i）x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根及实数k的值.

解：设x＝x₀是方程的实根，代入方程并整理得（＋kx₀＋2）＋（2x₀＋k）i＝0.

由复数相等的条件得＋kx₀＋2＝2x₀＋k＝0，

解得或

∴方程的实根为x＝或－k的值为－2或2.

1.已知m∈R，i为虚数单位，若（m＋i）（2－3i）＝5－i，则m＝（）

A.1　　　　B.－1C.2　　　　D.－2

解析：A　由（m＋i）（2－3i）＝（2m＋3）＋（2－3m）i＝5－i，得解得m＝1.

2.（2024·深圳月考）已知复数z＝i＋2i²＋3i³＋4i⁴（其中i为虚数单位），则｜z｜＝（）

A.2B.2C.4D.10

解析：B　依题意，z＝i＋2×（－1）＋3（－i）＋4＝2－2i，所以｜z｜＝＝2.故选B.

3.（2024·济宁月考）若复数z满足方程i＝1－i，则z＝－1＋i.

解析：由题意可得＝＝＝－i（1－i）＝－1－i，所以z＝－1＋i.

4.计算：（1）（1＋i）^{2 024}；

（2）（－2＋3i）÷（1＋2i）.

解：（1）原式＝[（1＋i）²]¹⁰¹²＝（1＋2i＋i²）¹⁰¹²＝（2i）¹⁰¹²＝2¹⁰¹²·i¹⁰¹²＝2¹⁰¹²·i^4×253＝2¹⁰¹².

（2）原式＝＝

＝＝＋i.

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