这里的解答并不是标准的书面解答，对于一些题目我们会相较书面解答加上一些自己的思考。为了尽量让过程完整不跳步且易懂，这些题目的解答可能会写得略长。
最近正在读李文威教授的《代数学方法（第一卷）》，可能会少更点。后面我们考虑写一些《代数学方法》的习题解答。
为避免细节差异，我们先“追忆”一下 -维子流形 和 反函数定理 在于品讲义中的陈述。
（-维子流形）假设是非空子集，这个中的坐标用表示。如果存在整数，使得对任意的，存在开集，以及（可能是另外一个）中的开集（这个中的坐标用表示）以及微分同胚
使得
其中我们把 写成，上述的表达式要求后面的个坐标都取，我们就称是的一个-维的（微分）子流形。其中，称作是的维数，记作。
（反函数定理）是开集，是的。如果对于点，在此点的微分是可逆的，那么在的局部上是的微分同胚，即存在开集，和开集，使得在上的限制给出的双射并且与均为的。
B. 从局部微分同胚到整体微分同胚
是实值函数，我们假设对任意的 ，都有 。我们定义 ：
考虑利用和 一样的方法，用局部的性质来合并出全局的性质。由 均为 的，我们有 是 的。
对 ，由 ，其行列式为 ，从而 可逆。
故 在每个的附近都是的微分同胚，从而存在开集使得和开集，使得在上的限制给出的是双射并且与均为的。从而由，我们有。由开及开集的任意并仍开，我们有 开。得证！
我们还需要证明，是单射。（根据 的定义，自然地有 是满射）
若 ，我们有且。套路地，设，那么。从而我们只需证明映射是单射。由均为的，我们有是的。
直接求导，我们有 。由的连续性，我们有在上（严格）单调，从而是单射。这可推出，从而，故，这也即 是单射。得证。
从而由 是单射及其为满射，我们有为双射，故其在全局上的反函数存在。由其在每个局部的反函数都是的，我们有是的。总之，根据和都是的，我们得到为微分同胚。得证！
是开集，，是 的函数，。我们定义函数
- 证明，存在 点处的一个开邻域 以及 上的 函数 ，使得
- 假设 ，。证明下面极限的存在性并计算它（这个极限的几何意义是什么？）：
- 证明，存在 点处的一个开邻域 以及 上的 函数 ，使得
构造 。计算得 ，其行列式为 ，故 可逆。
容易知道 是的。根据反函数定理，在附近是微分同胚。现在对，设其邻域上的逆映射的第二维为，那么容易验证在的邻域上，方程等价于。得证。
我是培淇，我们下期再见！
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