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《概率论通识讲义》读书笔记

  • 2026-04-08 13:56:55
《概率论通识讲义》读书笔记
起源：1654年07月29日，从帕斯卡与费马解决“赌金分配”问题开始，概率论作为数学分支正式诞生。 随机和概率是这个世界的常态，也是这个世界的底色。未来是不确定的，只要涉及选择和决策，就一定会用到概率思维。
   概率论解决随机问题的本质，就是把局部的随机性转变为整体上的确定性。
一章、概率论的四大基石
   随机、概率、独立性和概率度量。
   随机性是指：事件可能出现的所有结果我都知道，只是不知道下一次出现哪种结果。
  不确定性是指：完全不知道事件可能出现哪些结果。
   从本质上讲，不确定性包含随机性，随机性是不确定性的一种类型。遇到不确定性问题时，尽量把它们转变为随机性问题，这样就可以用概率的方法去研究它们了，这也是应对不确定性问题的科学方法。
   概率：是对随机事件发生可能性大小的定量描述。
   独立性：通俗地讲，如果随机事件之间没有任何关系，我们就可以说这些随机事件是相互独立的，它们各自具备独立性。
概率度量：常用度量概率的三种方法：定义法、频率法、迭代法。
1.定义法--对现实世界的合理简化。通过自然界的对称性来定义概率。
2.频率法--依靠大量数据获得真相。用随机事件发生的频率来计算概率。
3.迭代法--用动态发展的眼光来看待问题（贝叶斯推理）。从一种动态发展的、考虑个体差异的角度来度量概率。
   三种度量概率方法的适用范围并不是泾渭分明的，经常会被融合在一起使用：频率法可以验证定义法的正确性；使用迭代法时，可以借助定义法或者频率法来获得最初的判断；频率法和迭代法又可以同时使用，相互验证。
二章、概率计算法则
   加法法则 ：多个随机事件发生其一的概率，等于每个随机事件各自发生概率之和。加法法则有个限定条件，就是这些随机事件不能同时发生，这也被称为“互斥”。
   乘法法则：多个随机事件同时发生的概率，等于各个随机事件各自发生概率之积。
   概率思维的核心，就是准确地将现实问题转换成对的概率问题。
  乘法法则构建的是一个串行思考框架（又），需要依次满足各个条件，才能最终达到目标；而加法法则则构建一个并行思考框架（或），每一个条件都可以直接达成目标，这样完成目标的概率就会提升。
三章、频率法
   频率学派：主张概率是长期重复试验的稳定频率（eg:抛硬币）。   叶斯学派：主张概率是主观信念的度量，并可通过新证据持续更新（eg:疾病诊断）。这两派的竞争与融合，是全书的思想精华。
   频率法的基础逻辑是，在有足够多数据的情况下，随机事件发生的频率会无限接近它真实的概率。
   频率法的基础—大数定律。大数定律（雅各布.伯努利证明的大数定律又称为弱大数定律。他找到了对抗局部随机性的办法，用频率构建起了确定的整体概率。）的本质是实验的次数越多，频率接近真实概率的可能性越大。（大数定律起作用有个限制条件--只有在数据无限的情况下，随机事件发生的频率才等于它的概率。）大数定律不需要补偿，而是通过均值回归，通过产生大量的正常数据，削弱之前异常数据的影响。
   数学期望 简称期望，本质上是对事件长期价值的数字化衡量。
大数定律把局部的随机性变成了整体上的确定性，也就是概率；而数学期望又把概率代表的长期价值变成了一个具体的数字，从而方便我们进行比较。
  方 差：描述的是随机结果围绕数学期望的波动范围。 
方差越大，说明这件事的波动性越大。方差本身是中性的，无所谓好坏。简单来说，实力是数学期望，运气则是方差。
   标准差：标准差是方差的平方根。
四章、概率分布
   每一个随机事件都有自己的概率分布。随机事件不同，其概率分布自然也不同。
常见的三种概率分布模型表示方式：1.公式法；2.列表法；3.作图法。
公式法很简洁，也很精确，但门槛高，很多人看不懂；列表法很直观，但来查表比较繁琐；做图法很形象，但在图中得出的数值往往不够精确。
三种应用最广泛的分布模型：正态分布、泊松分布、幂律分布。
正态分布的三个数学性质：
1、均值就是数学期望；2、极端值很少；3、标准差决定“胖瘦”。
   在正态分布中，只要有均值与标准差这两个数据，就能确定曲线的形状。均值等于数学期望，决定这条曲线的最高点；标准差决定胖瘦，决定曲线的弯曲度。（即：正态分布中，标准差越大，数据的波动越剧烈，钟形曲线越矮胖；标准差越小，数据越集中，钟形曲线越高瘦。）
幂律分布--在随机变量中，越小的数值，出现的概率越大；越大的数值，出现的概率越小。（eg:图书销量，“沙堆模型”）无法预测，是对抗熵减的必然状态。
泊松分布--泊松分布的公式为‌P(X = k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!‌它的数学性质为：1.泊松分布是正态分布的一种微观视角，是正态分布的另一种面具；2.泊松分布的间隔是无记忆的。‌
   泊松分布开启了推断统计的大门。概率是已知模型和参数，推数据；统计是已知数据，推模型和参数。简单地说就是，概率用上帝视角预测这个世界的未来，统计用现实的视角揣测世界的本来面貌。
   几种常见的概率分布模型：等概率模型、几何分布、二次分布、指数分布。
五章、贝叶斯法
   贝叶斯推理--根据信息不断调整对一个随机事件发生概率的判断。
   本质上，现实世界所有的概率都是条件概率。操纵条件，改变概率。
   前提条件需注意三个方面：1.注意时间或空间的变化；2.注意个体和整体的差异；3.注意某些会被忽略的隐含信息。
   贝叶斯推理的两大优势：1.起点不重要，迭代很重要；2.信息越充分，结果越可靠。
   贝叶斯公式一共涉及四个数，左边的数是我们要求的，右边的数是可以随意设定的先验概率，另外两个数是必须客观的调整因子。贝叶斯更适合解决变化的、个体的、无法重复的概率问题。
   提高概率思维的三大原则：
 1、对抗直觉，能算就算；
 2、寻找条件，增大概率；
 3、相信系统，长期主义。
观点应像纸一样，随新证据不断更新。
显著不等于重要，相关不等于因果。
不确定是唯一的确定，概率是理解它的语言。
概率思维不是让你成为算命先生，而是让你在信息不全时，依然能做出明智选择。---本质是一种应对不确定性的生存工具。
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