高中数学 必修第一册(精品讲义)同步讲义(必修一)第01讲 1.1集合的概念(学生版)-(人教A版数学必修一)

第01讲 1.1集合的概念（学生版）-（人教A版数学必修一讲义）

一、学习目标

1. 理解集合的含义，能判断给定对象能否构成集合，明确集合中元素的三大特性。

2. 掌握集合的表示方法，能根据实际情况选择列举法或描述法表示集合。

3. 熟悉常用数集的专用符号，能准确运用符号表示对应的数集。

4. 理解元素与集合的属于关系，能正确使用“∈”和“∉”符号。

二、核心知识点梳理

（一）集合的含义

在数学中，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。

例：我们班的所有同学、所有正整数、平面内到定点距离等于定长的点，都可以构成集合。

注意：集合是一个确定的总体，其确定性由元素的特性决定。

（二）集合中元素的三大特性

1. 确定性：给定一个集合，任何一个元素要么在这个集合内，要么不在，二者必居其一，不存在模糊不清的情况。 反例：“个子高的同学”“漂亮的花”不能构成集合，因为“个子高”“漂亮”没有明确标准，无法确定元素范围。

2. 互异性：集合中的任意两个元素都是不同的，即集合中不允许出现重复元素。 例：集合{1,2,2,3}是错误的，正确表示应为{1,2,3}。

3. 无序性：集合中的元素没有先后顺序之分，改变元素的排列顺序，集合本身不变。 例：集合{1,2,3}与{3,2,1}是同一个集合。

解题关键：判断一组对象能否构成集合，核心看是否满足“确定性”；处理集合问题时，需时刻注意“互异性”。

（三）元素与集合的关系

设集合为A，元素为x：

1. 若x是集合A的元素，记作x∈A，读作“x属于A”；

2. 若x不是集合A的元素，记作x∉A，读作“x不属于A”。

例：设集合A={1,2,3}，则2∈A，4∉A。

（四）常用数集及专用符号

为了方便表示，数学中对常用数集规定了专用符号，需牢记：

例：0∈N，1∈N₊，-2∈Z，√2∈R，1/2∈Q。

（五）集合的表示方法

1. 列举法

把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法。

适用场景：集合元素个数较少、可以一一列举的情况。

例：① 由1,2,3,4,5组成的集合，可表示为{1,2,3,4,5}；② 由小于10的正奇数组成的集合，可表示为{1,3,5,7,9}。

注意：列举时不重复、不遗漏，元素顺序无关。

2. 描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式为{ x | P(x) }，其中“x”表示集合中的代表元素，“P(x)”表示x满足的共同特征。

适用场景：集合元素个数较多、无法一一列举，或元素有明显共同特征的情况。

例：① 由大于2且小于5的实数组成的集合，可表示为{ x | 2 < x < 5, x∈R }（可简化为{ x | 2 < x < 5 }，默认x∈R）；② 由所有偶数组成的集合，可表示为{ x | x = 2k, k∈Z }。

注意：描述法中，代表元素的取值范围需明确（若为实数可省略），共同特征需准确简洁，避免歧义。

三、典型例题解析

例题1：判断下列对象能否构成集合

（1）所有善良的人；（2）高一（3）班所有身高超过1.7米的同学；（3）所有小于10的质数；（4）接近0的数。

解析：（1）不能，“善良”无明确标准，不满足确定性；（2）能，身高标准明确，满足确定性、互异性、无序性；（3）能，小于10的质数为2,3,5,7，范围明确；（4）不能，“接近0”无明确界限，不满足确定性。

例题2：利用元素特性求参数值

已知集合A={2,3,a²+4a+2}，且4∈A，求实数a的值。

解析：∵4∈A，∴a²+4a+2=4，整理得a²+4a-2=0，解得a=-2±√6。 验证互异性：当a=-2+√6或a=-2-√6时，a²+4a+2=4，与集合中已有元素2,3不重复，故a=-2+√6或a=-2-√6。

例题3：集合的表示方法转换

（1）用列举法表示集合{ x | x是小于10的正偶数 }；（2）用描述法表示集合{1,3,5,7,9}。

解析：（1）小于10的正偶数为2,4,6,8，故列举法表示为{2,4,6,8}；（2）该集合元素为小于10的正奇数，描述法表示为{ x | x是小于10的正奇数 }（或{ x | x=2k+1, k∈Z且0≤k≤4 }）。

四、课堂练习

基础题

1. 下列说法正确的是（  ） A. “著名的科学家”可以构成集合  B. 集合{1,2}与{2,1}是同一个集合  C. 集合{0}是空集  D. 元素1既属于N，也属于Z

2. 用符号“∈”或“∉”填空： （1）0____N；（2）√3____Q；（3）-5____Z；（4）π____R。

3. 用列举法表示集合{ x | x是12的正因数 }。

提升题

1. 已知集合A={x | ax²-3x+2=0}，若A中只有一个元素，求实数a的值。

2. 已知集合A={1,2,3}，集合B={x | x=2m-1, m∈A}，用列举法表示集合B。

五、易错点提醒

1. 忽略元素互异性：求解含参数的集合问题时，需验证参数取值是否导致集合中出现重复元素。

2. 描述法代表元素混淆：如{ x | y=x² }表示函数的定义域，{ y | y=x² }表示函数的值域，二者不是同一个集合。

3. 常用数集符号记错：注意N是自然数集（含0），N₊不含0；π∈R但π∉Q。

4. 空集的误解：空集是不含任何元素的集合，记作∅，{0}不是空集（含元素0）。

六、课堂小结

1. 核心逻辑：元素→集合（满足三大特性）→ 元素与集合的关系（∈/∉）→ 集合的表示（列举法/描述法）。

2. 解题核心：紧扣确定性、互异性，根据集合特点选择合适的表示方法，熟练运用常用数集符号。

七、课后作业

1. 判断下列对象能否构成集合，若能，用适当方法表示出来： （1）所有小于20的质数；（2）方程x²-4=0的解；（3）所有大于3且小于10的实数。

2. 已知集合A={2, a+1, a²-3}，且-2∈A，求实数a的值。

3. 用描述法表示下列集合： （1）所有正整数组成的集合；（2）直线y=2x+1上所有点组成的集合。

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