这里的解答并不是标准的书面解答，对于一些题目我们会相较书面解答加上一些自己的思考。为了尽量让过程完整不跳步且易懂，这些题目的解答可能会写得略长。
由于一些与解答该系列题目无关的事情
我们明天才能完成习题 T 的完整解答。今天我们先稍微写两道题，顺便给大家展示一下习题 T 的剩下部分。
思考题：切空间的抽象/几何定义（这是理解微分和切空间的重要习题）
习题 T
给定开集 和 。我们令 是所有通过 的 的曲线的集合。按照定义，我们有
我们在 定义如下的等价关系，其中 ：
我们考虑 在上述等价关系下的等价类 ：
其中，如果 ，那么在等价类的集合 中，。换句话说，我们把在 点处的切向量相同的曲线认为是同一条曲线，这就是为什么我们把这个空间称作是切空间。
证明，映射
是良好定义的并且是双射。
请将 定义为一个 -线性空间 使得上述映射为线性空间的同构。
我们把具有线性空间结构的 （它本来仅是曲线的等价类的集合）记作 。
对于 和 ，我们定义：
由 ，这个定义是良好定义的。容易验证 作为线性空间的八条公理成立。
直接对上式左右两边同时作用 ，这会得到：
这也就说明 为线性同构。
令 ， 是 的映射，。证明，映射
是良好定义的。
换句话说，通过和 复合，我们可以把 上通过 点的曲线映射称为 上通过 点的曲线。
对任意 ，由 和 都是 的，它们的复合 也是 的。而且 ，这也就说明 是良好定义的。得证！
下面是我们下期即将完成的题目：
证明，映射
是良好定义线性映射。
这个映射被称作是 切映射。
在 上考虑曲线
证明，，其中，我们在 上用 作为坐标系。
在 上考虑曲线
试用 的偏导数和 来表达 。
证明，我们有如下的交换图表：
即对任意的 ，我们有
在这个意义， 与 是一样的。
给定 ，如果它们都不是 ，我们可以计算它们的角度：
我们要求角度是在 中的值。考虑反演变换：
证明， 是 的并且对任意的 ，
保持角度。
我是培淇，我们下期再见！
