Manim 制作课件: 导数和变化率——(6):二次函数上 Δx 与 Δy 的动态变化

本动画通过二次函数  的图像，直观展示当动点沿曲线滑动时， 和  的几何意义及其变化规律。

核心思想

动画围绕两个核心概念展开：

1. 变化量的几何意义： 为水平距离（红色）， 为垂直距离（紫色）
2. 非线性函数的特性：在二次函数上，相同的  在不同位置产生的  不同

动画结构

第一部分：基础建立

• 构建坐标系，绘制二次函数  的图像

第二部分：动态可视化

• 在曲线上标记两个动态点，固定 
• 红色线段表示 ，紫色线段表示 
• 第一个点从  向右滑动至 

第三部分：观察现象

• 左侧区域（ 为负）： 较小，曲线变化平缓
• 靠近顶点（）： 接近 ，曲线达到最低点
• 右侧区域（ 为正）： 逐渐增大，曲线越来越陡

视觉设计亮点

• 颜色编码：红色代表 ，紫色代表 ，与之前动画保持一致
• 动态更新：所有元素随点移动实时刷新，直观展示变化
• 固定步长：保持  不变，突出  随位置变化的特性

完整代码

from utils import *

classv6(Scene):
defconstruct(self):
# 定义颜色常量
        DX_COLOR = RED
        DY_COLOR = PURPLE

# ============ 1. 坐标轴和函数图形 ============
        ax, ax_x_label, ax_y_label = axes_func(x_range=(-5, 5), x_length=8, 
                                               y_range=(-1, 9), y_length=6)

        f = f_func2(0.5)                               # 定义函数 f(x) = 0.5x²
        gr = ax.plot(f, x_range=[-4.1, 4.1], stroke_width=4, color=BLUE)
        gr_label = MathTex("y = x^2", color=BLUE).to_edge(UP, buff=1.2).shift(LEFT * 4.2)

# 滞后动画：依次淡入坐标轴、标签、函数图像
        self.play(LaggedStart(FadeIn(ax), FadeIn(ax_x_label, ax_y_label),
                              Create(gr), FadeIn(gr_label), lag_ratio=0.2))
        self.wait(2)

# ============ 2. 动态标记 Δx 和 Δy ============
        x = ValueTracker(-4.1)                         # 第一个点的 x 坐标
        dx = ValueTracker(0.6)                          # Δx 的值

# 两个动态点
        dot_1 = always_redraw(lambda: dot_func(ax, f, x.get_value()))
        dot_2 = always_redraw(lambda: dot_func(ax, f, x.get_value() + dx.get_value()))

# Δx 线段（红色）及其标签
        delta_x_line = always_redraw(lambda: delta_x_line_func(
            ax, f, x.get_value(), dx.get_value(), color=DX_COLOR))
        delta_x_label = always_redraw(lambda: delta_x_label_func(
            ax, f, x.get_value(), dx.get_value(), r"\Delta x", color=DX_COLOR))

# Δy 线段（紫色）及其标签
        delta_y_line = always_redraw(lambda: delta_y_line_func(
            ax, f, x.get_value(), dx.get_value(), color=DY_COLOR))
        delta_y_label = always_redraw(lambda: delta_y_label_func(
            ax, f, x.get_value(), dx.get_value(), r"\Delta y", color=DY_COLOR))

# 添加到场景
        self.add(delta_y_line, delta_x_line, delta_y_label, delta_x_label, dot_1, dot_2)

# 点从左向右滑动，观察 Δx 和 Δy 的变化
        self.play(x.animate.set_value(3.5), run_time=7)
        self.wait(2)

# 淡出所有元素
        self.play(FadeOut(*self.mobjects))
        self.wait(2)

%manim -ql -v WARNING v6

文章首发：微信公众号：数与理 | 发布日期： 2026 年 3 月 27 日