Manim 制作课件: 导数和变化率——(7):切线的几何意义与局部线性化

本动画通过二次函数  在点  处的实例，直观展示切线的几何意义，并通过割线簇和局部放大演示“局部线性化”的核心思想。

核心思想

动画围绕三个核心概念层层递进：

1. 切线的唯一性：在给定点处，无数条割线中只有一条是切线
2. 局部线性化：在足够小的邻域内，曲线可以用切线近似代替
3. 极限思想：割线逐渐趋近于切线的过程

动画结构

第一部分：基础建立

• 构建坐标系，绘制二次函数  的图像
• 在  处标记点 ，并显示其坐标

第二部分：切线展示

• 绘制该点处的切线，标注其方程 
• 通过箭头高亮切线方程中的斜率项

第三部分：割线簇对比

• 围绕该点绘制一系列旋转的白色线段，模拟不同方向的割线
• 通过对比凸显切线的唯一性——只有一条线与曲线在该点“相切”

第四部分：局部放大观察

• 在切线附近画一个矩形框，标记为待放大区域
• 相机缩放至该区域，展示曲线与切线在局部范围内几乎重合
• 恢复相机，完成“局部线性化”的直观演示

视觉设计亮点

• 颜色编码：蓝色曲线、绿色切线、白色割线簇
• 动态对比：割线簇旋转出现，与静态切线形成鲜明对比
• 相机控制：通过缩放动画，直观展示“局部线性化”概念
• 高亮引导：箭头指向切线方程中的斜率，强化关键信息

完整代码

from utils import *
config.tex_template = myTemplate

classv7(MovingCameraScene):
defconstruct(self):

# ============ 1. 坐标轴和函数图形 ============
        ax, ax_x_label, ax_y_label = axes_func(x_range=(-5, 5), x_length=8,
                                               y_range=(-1, 9), y_length=6)
        f = f_func2(0.5)                               # 定义函数 f(x) = 0.5x²
        gr = ax.plot(f, x_range=[-4.1, 4.1], stroke_width=4, color=BLUE)
        gr_label = MathTex("y = x^2", color=BLUE).to_edge(UP, buff=1.2).shift(LEFT * 4.2)

        self.play(LaggedStart(FadeIn(ax), FadeIn(ax_x_label, ax_y_label),
                              Create(gr), FadeIn(gr_label), lag_ratio=0.2))
        self.wait(2)

# ============ 2. 抛物线上的一点及其切线 ============
# 点 dot_1 和标签
        dot_1 = dot_func(ax, f, 2).set_z_index(6)
        dot_1_label_aux = MathTex(r"(x,\ x^2)").scale(0.8).next_to(dot_1, UL, buff=0.05)
        dot_1_label = MathTex(r"(2,\ 2^2)").scale(0.8).move_to(dot_1_label_aux)

        self.play(GrowFromCenter(dot_1))
        self.wait(2)
        self.play(FadeIn(dot_1_label_aux))
        self.wait(2)
        self.play(ReplacementTransform(dot_1_label_aux, dot_1_label))
        self.wait(2)

        tangent_line = tangent_line_func(ax, f, 2, length=5, color=GREEN)
        tangent_line_label = MathTex("y = ax + b", color=GREEN).next_to(
            tangent_line, RIGHT, buff=0.2).shift(UP * 2.35)
        indicative_arrow_1 = Arrow(ORIGIN, UP * 1.5).next_to(
            tangent_line_label, DOWN, buff=0.1).shift(RIGHT * 0.15
            ).set_color(GRAY).rotate(30 * DEGREES)

        self.play(FadeIn(VGroup(tangent_line, tangent_line_label), shift=UL), run_time=1.5)
        self.wait(2)

# 高亮切线公式中的斜率项
        self.play(FadeIn(indicative_arrow_1),
                  tangent_line_label[0][2].animate.set_color(YELLOW))
        self.wait(2)

        self.play(FadeOut(indicative_arrow_1),
                  tangent_line_label[0][2].animate.set_color(GREEN))
        self.wait(2)

# ============ 3. 一系列割线围绕切线旋转 ============
# 创建一系列旋转的白色线段，模拟割线簇
        base_line = Line(stroke_width=2, color=WHITE).scale(2.7).set_opacity(0.5).move_to(dot_1)
        not_tangent_lines = VGroup()
for i in range(12):
            line = base_line.copy().rotate((i * 15) * DEGREES)
            not_tangent_lines.add(line)

        self.play(LaggedStart(*[GrowFromCenter(line) for line in not_tangent_lines],
                              lag_ratio=0.05))
        self.wait(2)

        self.play(FadeOut(not_tangent_lines))
        self.wait(2)

# ============ 4. 放大展示切线附近区域 ============
        t1 = Tex(r"切线", color=GREEN).scale(0.8).move_to(tangent_line_label).shift(DOWN + LEFT)
        sq_aux_1 = Rectangle(width=4, height=3, stroke_width=2).scale(0.5).move_to(
            dot_1).set_stroke(opacity=0.5)

        self.play(FadeIn(t1))
        self.wait(2)
        self.play(Create(sq_aux_1))
        self.wait(2)

# 保存相机状态，放大显示切线区域
        self.camera.frame.save_state()
        self.play(self.camera.frame.animate.scale(0.2).move_to(dot_1),
                  gr.animate.set_stroke(width=2),
                  tangent_line.animate.set_stroke(width=2).shift(DR * 0.01),
                  sq_aux_1.animate.scale(0.5), run_time=10)
        self.wait(2)

# 恢复相机状态
        self.play(self.camera.frame.animate.restore(),
                  gr.animate.set_stroke(width=5),
                  tangent_line.animate.set_stroke(width=5).shift(UL * 0.01), run_time=2)
        self.wait(2)

        self.play(FadeOut(*self.mobjects))
        self.wait(2)

%manim -ql -v WARNING v7

文章首发：微信公众号：数与理 | 发布日期： 2026 年 3 月 28 日