初中数学新沪科版九年级上册全册教案(2026秋)

沪科版九年级数学上册

教

学

设

计

2026 秋

第21章 二次函数与反比例函数

21.1二次函数

【教学目标】

1.掌握二次函数的概念，能识别一个函数是不是二次函数；(重点)

2.能根据实际情况建立二次函数模型.(难点)

【教学过程】

一、情境导入

已知长方形窗户的周长为6米，窗户面积为y(平方米)，窗户宽为x(米)，你能写出y与x之间的函数关系式吗？它是什么函数呢？

二、合作探究

探究点一：二次函数的概念

【类型一】二次函数的识别

下列函数哪些是二次函数？

(1)y＝2－x2;  (2)y＝x2－1(1)；

(3)y＝2x(1＋4x);  (4)y＝x2－(1＋x)2.

解析：(1)是二次函数；(2)是分式而不是整式不符合二次函数的定义，故y＝x2－1(1)不是二次函数；(3)把y＝2x(1＋4x)化简为y＝8x2＋2x，显然是二次函数；(4)y＝x2－(1＋x)2化简后变为y＝－2x－1，它不是二次函数而是一个一次函数.

解：二次函数有(1)和(3).

方法总结：判定一个函数是否是二次函数常有三个标准：①所表示的函数关系式为整式；②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③所含自变量的关系式最高次数为2，且函数关系式中二次项系数不等于0.

【类型二】根据二次函数的定义求待定字母的值

如果函数y＝(k＋2)xk2－2是y关于x的二次函数，则k的值为多少？

解析：紧扣二次函数定义求解.注意易错点为忽视k＋2≠0.

解：根据题意知k＋2≠0，(k2－2＝2，)k≠－2，(k＝±2，)∴k＝2.

方法总结：紧扣定义中的两个特征：①a≠0；②自变量最高次数为2的二次三项式ax2＋bx＋c.

【类型三】与二次函数系数有关的计算

已知一个二次函数，当x＝0时，y＝0；当x＝2时，y＝2(1)；当x＝－1时，y＝8(1).求这个二次函数中各项系数的和.

解析：

解：设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0).把x＝0，y＝0；x＝2，y＝2(1)；x＝－1，y＝8(1)分别代入函数表达式，得，(1)解得c＝0.(b＝0，)所以这个二次函数的表达式为y＝8(1)x2.所以a＋b＋c＝8(1)＋0＋0＝8(1)，即这个二次函数中各项系数的和为8(1).

方法总结：涉及有关二次函数表达式的问题，所设的表达式一般是二次函数表达式的一般形式y＝ax2＋bx＋c(a≠0).解决这类问题要根据x，y的对应值，列出关于字母a，b，c的方程(组)，然后解方程(组)，即可求得a，b，c的值.

探究点二：建立二次函数模型

某商品的进价为每件40元.当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件.在确保盈利的前提下，若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元.

(1)请写出y与x的函数表达式，并求出自变量x的取值范围；

(2)当每件商品降价15元时，每星期售出商品的利润为多少元？

解析：根据题意可以知道：实际每件商品的利润为(60－x－40)，每星期售出商品的数量为(300＋20x)，则每星期售出商品的利润为y＝(60－x－40)(300＋20x)元，化简，注意要求出自变量x的取值范围.

解：(1)由题意，得：

y＝(60－x－40)(300＋20x)

＝(20－x)(300＋20x)

＝－20x2＋100x＋6000，

自变量x的取值范围为0≤x≤20；

(2)把x＝15代入y＝－20x2＋100x＋6000得y＝3000(元)，即当每件商品降价15元时，每星期售出商品的利润为3000元.

方法总结：销售利润＝单件商品利润×销售数量；单件商品利润＝售价－进价.

【板书设计】

6.确定自变量的取值范围(5.建立二次函数模型)

【教学后记】

21.2二次函数的图象和性质

21.2.1二次函数y＝ax2的图象和性质

【教学目标】

1.正确理解抛物线的有关概念；(重点)

2.会用描点法画出二次函数y＝ax2的图象，概括出图象的特点；(重点)

3.掌握形如y＝ax2的二次函数图象的性质，并会应用；(难点)

4.通过动手操作、合作交流，积累数学活动经验，培养动手能力和观察能力.

【教学过程】

一、情境导入

我们都见过篮球运动员投篮，你知道篮球从出手到落入篮圈内的路线是什么图形吗？它是如何画出来的？

我们把篮球从出手到落入篮圈内的曲线叫抛物线，你还能举出一些抛物线的例子吗？

二、合作探究

探究点一：二次函数y＝ax2的图象

【类型一】画二次函数y＝ax2的图象

在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①y＝2(1)x2；②y＝2x2；③y＝－2(1)x2；④y＝－2x2.根据图象回答下列问题：

(1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？

(2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？

解析：要画出已知四个函数的图象，需先列表，因为在这些函数中，自变量的取值范围是全体实数，故应以原点O为中心，对称地选取x的值，列出函数的对应值表.

解：列表：

描点、连线，函数图象如图所示.

(1)这四个函数的图象都是轴对称图形，对称轴都是y轴；

(2)函数y＝2x2和y＝2(1)x2的图象有最低点，函数y＝－2(1)x2和y＝－2x2的图象有最高点，这些最低点和最高点的坐标都是(0，0).

方法总结：(1)画形如y＝ax2(a≠0)的图象时，x的值应从最低(或最高)点起左右两边对称地选取.

(2)连线时，一般按从左到右的顺序将点连接起来，一定注意连线要平滑，不能画成折线.

(3)抛物线的概念：二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是抛物线，简称为抛物线y＝ax2.

(4)抛物线的特点：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点——对称轴与抛物线的交点.抛物线的顶点也是它的最低点或最高点.

【类型二】同一坐标系中两种不同图象的判断

当ab>0时，抛物线y＝ax2与直线y＝ax＋b在同一直角坐标系中的图象大致是()

解析：根据a、b的符号来确定.当a>0时，抛物线y＝ax2的开口向上.∵ab>0，∴b>0.∴直线y＝ax＋b过第一、二、三象限.当a<0时，抛物线y＝ax2的开口向下.∵ab>0，∴b<0.∴直线y＝ax＋b过第二、三、四象限.故选D.

方法总结：本例综合考查了一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2的图象和性质.因为在同一问题中相同字母的取值是相同的，所以应从各选项中两个函数图象所反映的a的符号是否一致入手进行分析.

探究点二：抛物线y＝ax2的开口方向、大小与系数a的关系

如图，四个二次函数图象中，分别对应：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a、b、c、d的大小关系为()

A.a>b>c>d

B.a>b>d>c

C.b>a>c>d

D.b>a>d>c

答案：A

方法总结：抛物线y＝ax2的开口大小由|a|确定，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大.

探究点三：二次函数的图象与几何图形的综合应用

已知二次函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－3相交于点A(1，b)，求：

(1)a，b的值；

(2)函数y＝ax2的图象的顶点M的坐标及直线与抛物线的另一个交点B的坐标；

(3)△AMB的面积.

解析：直线与二次函数y＝ax2的图象交点坐标可利用方程求解，而求△AMB的面积，一般应画出草图进行解答.

解：(1)∵点A(1，b)是直线y＝2x－3与二次函数y＝ax2的图象的交点，∴点A的坐标满足二次函数和直线的关系式，

∴b＝2×1－3，(b＝a×12，)∴b＝－1；(a＝－1，)

(2)由(1)知二次函数为y＝－x2，顶点M(即坐标原点)的坐标为(0，0).由－x2＝2x－3，解得x1＝1，x2＝－3，∴y1＝－1，y2＝－9，∴直线与二次函数的另一个交点B的坐标为(－3，－9)；

(3)如图所示，作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C、D，根据点的坐标的意义，可知MD＝3，MC＝1，CD＝1＋3＝4，BD＝9，AC＝1，∴S△AMB＝S梯形ABDC－S△ACM－S△BDM＝2(1)×(1＋9)×4－2(1)×1×1－2(1)×3×9＝6.

方法总结：解答此类题目，最好画出草图，利用数形结合，解答相关问题.探究点四：二次函数y＝ax2的性质

【类型一】二次函数y＝ax2的增减性

作出函数y＝－x2的图象，观察图象，并利用图象回答下列问题：

(1)在y轴左侧图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使x2<x1<0，试比较y1与y2的大小；

(2)在y轴右侧图象上任取两点C(x3，y3)，D(x4，y4)，使x3＞x4＞0，试比较y3与y4的大小.

解析：根据画出的函数图象来确定有关数值大小比较，是一种比较常用的方法.

解：(1)图象如图所示，由图象可知y1＞y2；

(2)由图象可知y3<y4.

方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图，进行观察和分析以免解题时产生错误.

【类型二】二次函数y＝ax2的最值

已知函数y＝(1－n)xn2＋n－4是关于x的二次函数，当n为何值时，抛物线有最低点？并求出这个最低点的坐标.这时当x为何值时，y随x的增大而增大？

解：∵函数y＝(1－n)xn2＋n－4是关于x的二次函数，∴1－n≠0.(n2＋n－4＝2，)解得n＝2或n＝－3.∵抛物线有最低点，∴1－n>0，即n<1.∴n＝－3.∴当x>0时，y随x的增大而增大.

方法总结：抛物线有最低点或最高点是由抛物线y＝ax2(a≠0)的二次项系数a的符号决定的；当a>0时，抛物线有最低点；当a<0时，抛物线有最高点.而此题常错误地认为n>0时，抛物线有最低点.正确的答案应为1－n>0，即n<1时，抛物线有最低点，因为二次项系数是(1－n).

探究点五：利用二次函数y＝ax2的图象和性质解题

【类型一】利用二次函数y＝ax2的性质解题

当m为何值时，函数y＝mxm2－m的图象是开口向下的抛物线？当x为何值时，y随x的增大而增大？这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？

解：由题意，得m应满足m2－m＝2，(m<0，)解得m＝－1.当x<0时，y随x的增大而增大.这个函数有最大值，最大值是0.

方法总结：本题主要考查函数y＝ax2(a≠0)的有关性质.当a>0时，图象开口向上，函数有最小值0；当a<0时，图象开口向下，函数有最大值0.当a<0且x<0时，y随x的增大而增大.

【类型二】二次函数y＝ax2的图象和性质的实际应用

如图，是一座抛物线形拱桥的示意图，在正常水位时，水面AB的宽为20m，如果水位上升3m，水面CD的宽为10m.

(1)建立如图所示的坐标系，求此抛物线的函数表达式；

(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶了1h时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时，水位在CD处，当水位涨到桥拱最高点O时，禁止车辆通行).问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？

解：(1)设抛物线的函数表达式为y＝ax2(a≠0)，拱桥最高点O到水面CD的距离为hm，则D(5，－h)，B(10，－h－3).

∴100a＝－h－3，(25a＝－h，)解得h＝1.(，)∴抛物线的函数表达式为y＝－25(1)x2；

(2)水位由CD处涨到最高点O的时间为h÷0.25＝1÷0.25＝4(h)，货车按原来速度行驶的路程为40×1＋40×4＝200<280，∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.设货车速度提高到xkm/h，即当4x＋40×1＝280时，x＝60.∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60km/h.

方法总结：一般地，求二次函数y＝ax2的表达式时，只需一个已知点(坐标原点除外)的坐标即可.而此题由于点B，D的纵坐标未知，故需设出CD到桥顶的距离h作为辅助未知数.

【板书设计】

且y没有最小值，即y≤0(当x＝0时，函数取得最大值，y最大值＝0，)

【教学后记】

21.2.2二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

第1课时二次函数y＝ax2＋k的图象和性质

【教学目标】

1.会用描点法画出y＝ax2＋k的图象；

2.掌握形如y＝ax2＋k的二次函数图象的性质，并会应用；(重点)

3.理解二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k之间的联系.(难点)

【教学过程】

一、情境导入

边长为15cm的正方形铁片，中间剪去一个边长为x(cm)的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y(cm2)与x(cm)的函数关系式是什么？它的顶点坐标是什么？

二、合作探究

探究点一：二次函数y＝ax2＋k的图象与性质

【类型一】确定y＝ax2＋k的图象与坐标轴的交点

抛物线y＝x2－4与x轴的交点坐标是________.

解析：因为抛物线y＝x2－4与x轴的交点纵坐标是0，即y＝0，此时x2－4＝0，解得x＝±2，所以抛物线y＝x2－4与x轴的交点坐标是(2，0)与(－2，0).

方法总结：求抛物线与x轴交点坐标时，可利用交点纵坐标为0构造关于x的方程来求抛物线的横坐标.

【类型二】二次函数y＝ax2＋k增减性判断

已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是()

A.若y1＝y2，则x1＝x2

B.若x1＝－x2，则y1＝－y2

C.若0＜x1＜x2，则y1＞y2

D.若x1＜x2＜0，则y1＞y2

解析：如图所示，选项A：若y1＝y2，则x1＝－x2，所以选项A是错误的；选项B：若x1＝－x2，则y1＝y2，所以选项B是错误的；选项C：若0＜x1＜x2，则在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则y1＜y2，所以选项C是错误的；选项D：若x1＜x2＜0，则在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则y1＞y2，所以选项D是正确的.故选D.

【类型三】二次函数y＝ax2＋k的图象与性质的综合

若二次函数y＝ax2＋2的图象经过点(－2，10)，则下列说法错误的是()

A.a＝2B.当x＜0，y随x的增大而减小

C.顶点坐标为(2，0)D.图象有最低点

解析：把x＝－2，y＝10代入y＝ax2＋2可得10＝4a＋2，所以a＝2，抛物线开口向上，有最低点，当x＜0，y随x的增大而减小，所以A、B、D均正确，顶点坐标为(0，2)，而不是(2，0).故选C.

方法总结：抛物线y＝ax2＋k(a≠0)的顶点为(0，k).

【类型四】在同一坐标系中确定y＝ax2＋k的图象与一次函数的图象

在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c与二次函数y＝ax2＋c的图象大致为()

解析：当a＞0时，抛物线开口向上，且直线从左向右逐渐上升；当a＜0时，抛物线开口向下，且直线从左向右逐渐下降，由此排除选项A，C，D，故选B.

探究点二：二次函数y＝ax2＋k的平移

【类型一】利用平移确定y＝ax2＋k的解析式

已知抛物线y＝ax2＋c向下平移2个单位后，所得抛物线为y＝－3x2＋2.那么抛物线的解析式为____________.

解析：因为抛物线y＝ax2＋c向下平移2个单位后，所得抛物线为y＝－3x2＋2.所以a＝－3，c－2＝2，所以c＝4，所以抛物线的解析式为y＝－3x2＋4.

【类型二】确定y＝ax2与y＝ax2＋k的关系

抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0，3)，求抛物线的表达式，它是由抛物线y＝－5x2怎样得到的？

解：抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状大小相同，开口方向也相同，∴a＝－5.

又∵其顶点坐标为(0，3)，∴c＝3.

∴y＝－5x2＋3.它是由抛物线y＝－5x2向上平移3个单位得到的.

方法总结：对于二次函数y＝ax2的图象来说，向上平移|c|个单位，就在ax2后面加|c|，向下平移|c|个单位，就在ax2后面减|c|.

【板书设计】

性质(的图象和)4.与一次函数、几何图形综合(3.平移规律)

【教学后记】

第2课时二次函数y＝a(x＋h)2的图象和性质

【教学目标】

1.会用描点法画出y＝a(x＋h)2的图象；

2.掌握形如y＝a(x＋h)2的二次函数图象的性质，并会应用；(重点)

3.理解二次函数y＝a(x＋h)2与y＝ax2之间的联系.(难点)

【教学过程】

一、情境导入

涵洞是指在公路工程建设中，为了使公路顺利通过水渠不妨碍交通，修筑于路面以下的排水孔道(过水通道)，通过这种结构可以让水从公路的下面流过.如图建立直角坐标系，你能得到函数图象解析式吗？

二、合作探究

探究点一：二次函数y＝a(x＋h)2的图象与性质

【类型一】 y＝a(x＋h)2的顶点坐标

已知抛物线y＝a(x＋h)2(a≠0)的顶点坐标是(－2，0)，且图象经过点(－4，2)，求a，h的值.

解：∵抛物线y＝a(x＋h)2(a≠0)的顶点坐标为(－2，0)，∴h＝2.又∵抛物线y＝a(x＋2)2经过点(－4，2)，∴a(－4＋2)2＝2.∴a＝2(1).

方法总结：二次函数y＝a(x＋h)2的顶点坐标为(－h，0).

【类型二】二次函数y＝a(x＋h)2图象的形状

顶点为(－2，0)，开口方向、形状与函数y＝－2(1)x2的图象相同的抛物线的解析式为()

A.y＝2(1)(x－2)2  B.y＝2(1)(x＋2)2C.y＝－2(1)(x＋2)2  D.y＝－2(1)(x－2)2

解析：因为抛物线的顶点在x轴上，所以可设该抛物线的解析式为y＝a(x＋h)2(a≠0)，而二次函数y＝a(x＋h)2(a≠0)与y＝－2(1)x2的图象相同，所以a＝－2(1).而抛物线的顶点为(－2，0)，所以h＝2.把a＝－2(1)，h＝2代入y＝a(x＋h)2得y＝－2(1)(x＋2)2.故选C.

方法总结：决定抛物线形状的是二次项的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同.

【类型三】二次函数y＝a(x＋h)2的增减性及最值

对于二次函数y＝9(x－1)2，下列结论正确的是()

A.y随x的增大而增大

B.当x＞0时，y随x的增大而增大

C.当x＝－1时，y有最小值0

D.当x＞1时，y随x的增大而增大

解析：因为a＝9＞0，所以抛物线开口向上，且h＝－1，顶点坐标为(1，0)，所以当x＞1时，y随x的增大而增大.故选D.

探究点二：二次函数y＝a(x＋h)2图象的平移

【类型一】利用平移确定y＝a(x＋h)2的解析式

抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式.

解析：y＝ax2向右平移3个单位后的关系式可表示为y＝a(x－3)2，把点(－1，4)的坐标代入即可求得a的值.

解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，a＝4(1)，∴平移后二次函数关系式为y＝4(1)(x－3)2.

方法总结：根据抛物线平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”.

【类型二】确定y＝a(x＋h)2与y＝ax2的关系

向左或向右平移函数y＝－2(1)x2的图象，能使得到的新的图象过点(－9，－8)吗？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由.

解：能，理由如下：设平移后的函数为y＝－2(1)(x＋h)2，

将x＝－9，y＝－8代入得－8＝－2(1)(－9＋h)2，所以h＝5或h＝13，

所以平移后的函数为y＝－2(1)(x＋5)2或y＝－2(1)(x＋13)2.

即抛物线的顶点为(－5，0)或(－13，0)，所以应向左平移5或13个单位.

【类型三】二次函数y＝a(x＋h)2图象的平移与几何图形的综合

把函数y＝2(1)x2的图象向右平移4个单位后，其顶点为C，并与直线y＝x分别相交于A、B两点(点A在点B的左边)，求△ABC的面积.

解析：利用二次函数平移规律先确定平移后的抛物线解析式，确定C点坐标，再解由所得到的二次函数解析式与y＝x组成的方程组，确定A、B两点坐标，最后求△ABC的面积.

解：平移后的函数为y＝2(1)(x－4)2，顶点C的坐标为(4，0)，

解方程组y＝x，(（x－4）2，)得y＝2，(x＝2，)或y＝8.(x＝8，)

∵点A在点B的左边，∴A(2，2)，B(8，8).

▲篇幅有限 只能展示一小部分

此份资料非常齐全

【领取方式】

长按扫描以下二维码

资料包的获取很简单，希望大家珍惜我们的劳动成果。

作者：

声明：

1.“阿辉资源”微信公众号刊载此文，是由作者授权。若有错误或侵犯了您的合法权益，请及时与我们联系，我们将及时更正、删除或依法处理。

2.内容为作者独立观点，不代表“第一课件”立场。未经允许不得转载，授权事宜请与客服联系。

素材：本文图片来源网络，如有侵权请联系删除。

商务：微信：hz0088fu