九年级数学上册《旋转》知识点总结+练习题
- 2026-11-05 06:11:24
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一、本章知识框架
·23.1 图形的旋转：① 旋转的定义（三要素） ② 旋转的性质 ③ 旋转作图
·23.2 中心对称：① 中心对称（两个图形） ② 中心对称图形（一个图形） ③ 关于原点对称的点的坐标
·23.3 课题学习 图案设计：平移 + 旋转 + 轴对称的组合运用
记忆口诀：旋转看“三要素”，中心对称记“180°”，坐标变号要“全变”。
二、 图形的旋转
【知识点 1】旋转的定义（三要素）
在平面内，把一个平面图形绕平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转。点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。旋转的三要素：① 旋转中心；② 旋转方向（顺时针 / 逆时针）；③ 旋转角度。只要三要素确定，图形的旋转就唯一确定。
图1三角形绕旋转中心 O 逆时针旋转，三要素一目了然
【例题 1】
将△ABC 绕点 O 顺时针旋转得到△DEF，已知∠AOD = 50°，OA = 3。（1）写出旋转中心和旋转角；（2）求 OD 的长。
【解析】（1）旋转中心是点 O，旋转角为 50°（对应点与旋转中心连线的夹角）。（2）由旋转的性质——对应点到旋转中心的距离相等，得 OD = OA = 3。
【建议 1】
做题先圈出“三要素”：中心在哪、顺还是逆、转了多少度。很多同学漏看方向，导致旋转角或作图全错，一定要养成习惯。
【知识点 2】旋转的性质（重点）
旋转前后图形具有三条核心性质：
·① 对应点到旋转中心的距离相等；
·② 对应点与旋转中心所连线段的夹角，都等于旋转角；
·③ 旋转前、后的图形全等（形状、大小不变，只改变位置）。
图2对应点距离相等，连线夹角等于旋转角，图形全等
【例题 2】
如图，△ABC 绕点 O 旋转得到△A'B'C'，连接 AA'、BB'。下列结论：① OA = OA'；② ∠AOA' = ∠BOB'；③ △ABC ≌ △A'B'C'。其中正确的有________（填序号）。
【解析】由旋转性质：对应点到旋转中心距离相等 → ①对；对应点与旋转中心连线夹角都等于旋转角 → ②对；旋转前后图形全等 → ③对。答案：①②③。
【建议 2】
旋转性质题的“万能三句话”：距离相等、夹角都等于旋转角、全等。选择题、填空题直接套，几乎不丢分。
【知识点 3】旋转作图（四步法）
已知原图形、旋转中心和旋转角，作旋转后图形的步骤：
·连：连接图形中各个关键点与旋转中心；
·转：把连线按要求绕旋转中心转过规定角度（作旋转角）；
·截：在角的另一边上截取“关键点到旋转中心的距离”，得到各对应点；
·接：按原图形顺序连接各对应点。
（作图依据与图1一致：旋转前后图形全等，对应点到中心距离相等，可据此确定每个对应点位置。）
【例题 3】
在方格纸中，将△ABC 绕点 O 逆时针旋转 90°，画出旋转后的图形△A'B'C'。（请写出作图步骤）
【解析】步骤：① 连 AO、BO、CO；② 分别作 ∠AOA' = ∠BOB' = ∠COC' = 90°（逆时针方向）；③ 在射线 OA'、OB'、OC' 上分别截取 OA' = OA、OB' = OB、OC' = OC；④ 顺次连接 A'、B'、C'。所得△A'B'C' 即为所求。
【建议 3】
作图题务必保留作图痕迹（虚线、弧线），并标注对应点字母；看清“顺时针 / 逆时针”，方向一旦反了整题归零。
三、 中心对称
【知识点 4】中心对称（两个图形之间的关系）
把一个图形绕着某一点旋转 180°，如果它能与另一个图形重合，就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。性质：① 对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；② 两个图形全等；③ 对应线段平行（或共线）且相等。
图3两个图形关于点 O 中心对称，对应点连线被 O 平分
【例题 4】
如图，△ABC 与△A'B'C' 关于点 O 中心对称。若 AO = 2，则 A'O = ___；线段 AA' 与 BB' 有什么位置关系？
【解析】由中心对称性质，对应点连线被对称中心平分，所以 A'O = AO = 2；AA'、BB' 都经过点 O，因此它们在对称中心 O 处相交（都过 O 且被 O 平分）。
【建议 4】
务必区分“中心对称”（两个图形的位置关系）与“中心对称图形”（一个图形自身的属性）。前者是两个图形，后者是一个图形绕中心转 180° 与自身重合。
【知识点 5】中心对称图形（一个图形）
把一个图形绕某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，这个图形就叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。常见中心对称图形：平行四边形、圆、正六边形、线段、矩形、菱形、正方形，以及字母 S、Z、N、H、I、O、X 等。
图4平行四边形、圆、正六边形都是中心对称图形
【例题 5】
下列图形中，是中心对称图形的有 ________（填序号）：① 平行四边形；② 等边三角形；③ 圆；④ 正五边形；⑤ 线段。
【解析】绕中心旋转 180° 能与自身重合的：① 平行四边形（对角线交点为对称中心）→ 是；② 等边三角形旋转 120° 才重合，180° 不重合 → 否；③ 圆 → 是；④ 正五边形中心角 72°，180° 不重合 → 否；⑤ 线段（中点为对称中心）→ 是。答案：①③⑤。
【建议 5】
判断中心对称图形，脑子里“转半圈”看是否重合；平行四边形是中考最常考的中心对称图形，务必记牢。
【知识点 6】关于原点对称的点的坐标
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号都相反，即点 P(x, y) 关于原点的对称点为 P'(-x, -y)。补充规律：① 关于 x 轴对称 → (x, -y)；② 关于 y 轴对称 → (-x, y)。
图5点 P(3,2) 关于原点对称得 P'(-3,-2)，横纵坐标都变号
【例题 6】
点 P(2, -3) 关于原点对称的点的坐标是 ________；关于 x 轴对称的点的坐标是 ________。
【解析】关于原点对称 → (-2, 3)；关于 x 轴对称 → (2, 3)。
【建议 6】
记口诀：“关于原点对称，横纵都变号；关于谁对称，谁不变”。坐标变换最怕只变一个符号，落笔前先想清楚对称轴 / 对称中心。
四、 课题学习 图案设计
【知识点 7】图案设计
灵活运用平移、旋转、轴对称（可单独使用，也可组合）进行图案设计。思路：先确定“基本图形”，再选择一种或多种变换方式重复，得到具有美感的新图案。例如：以一个基本三角形为原型，绕某点连续旋转 60° 多次，可得到雪花、风车等图案。
【例题 7】
用“一个基本等边三角形 + 旋转”设计图案：将该三角形绕其一个顶点每次旋转 60°，连续旋转 5 次，会得到什么图形？
【解析】等边三角形内角为 60°，绕顶点每次转 60°，旋转 6 次回到原位；连续旋转 5 次（共 6 个全等三角形），得到由 6 个三角形组成的“六角星 / 风车”图案。
【建议 7】
图案设计题常考“平移 + 旋转”组合。平时多观察生活中的对称与旋转图案（雪花、万花筒、地板砖），考试时才能信手拈来。
五、四大易错点提醒
·❌ 把旋转角当成任意角——旋转角 = 对应点与旋转中心连线的夹角（图2）。
·❌ 混淆“中心对称”与“中心对称图形”——前者是两个图形，后者是一个图形。
·❌ 关于原点对称只变一个坐标——应为横、纵坐标都变号。
·❌ 旋转作图方向搞反（顺 / 逆）——看清题目要求再动手。
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