于品讲义二-习题 1(上)

自本文起，我们将开始编写 于品数学分析讲义 第二部分的解答。这个系列仍然注重于“全收集”，即尽量每道题都要写题解。

这里的解答并不是标准的书面解答，对于一些题目我们会相较书面解答加上一些自己的思考。为了尽量让过程完整不跳步且易懂，这些题目的解答可能会写得略长。

若有笔误请留言或私信。

基本习题

热身：多元函数的连续性

试判断下列极限是否存在；如果存在，计算之。

当  时，我们有 。从而由 ，我们有：

故极限存在且为 。

我们证明该极限不存在。

考虑沿 （其中 ）的方向趋近 ，此时 。

再考虑沿 （其中 ）的方向趋近，此时 。

沿这两条路径所得极限不相同，故极限不存在。

我们证明该极限不存在。

考虑沿 （其中 ）的方向趋近 ，此时由于  而集合的要求至少是 ， 总成立，故此路径所得极限为 。

再考虑沿 （其中 ）的方向趋近 ，此时由定义  总成立，故此路径所得极限为 。

沿这两条路径所得极限不相同，故极限不存在。

对 ，我们有：

由于  在  上连续，我们有 。

从而由两边夹定理，我们有原极限存在且值为 。

我们证明该极限不存在。

考虑沿 （其中 ）的方向趋近 ，此时 。

再考虑沿 （其中 ）的方向趋近 ，此时 。

沿这两条路径所得极限不相同，故极限不存在。

当  时，我们有 。从而由 ，我们有：

考虑运用不等式 ：

由于  在  上连续，我们有 。

从而由两边夹定理，我们有原极限存在且值为 。

考虑运用不等式 ：

由于  在  上连续，我们有 。

从而由两边夹定理，我们有原极限存在且值为 。

本小问最简洁的解决方法是使用极坐标换元。设 ，其中 ，，。取极限  等价于让 。

从而，。

分类讨论：

• 当  时，我们有 。

由  及  有界，我们有原极限的值为 。

• 当  时，我们有 。

由  沿不同方向的极限不同（例如  时该根式的值为 ， 时该根式的值为 ），我们有此时原极限不存在。

• 当  时，我们有 。

考虑沿  的方向趋近 。此时我们有  及 ，故此时原极限不存在。

综上，当  时原极限存在且值为 ；当  时原极限不存在。

微分的定义与计算

习题 A

我们总假设  是开集， 是一个给定的点。如果不另加说明  将代表一个函数。

（微分的唯一性）考虑映射 。

假设存在两个线性映射 （），使得对  和  时，都有 。

证明，。

 和  相减得 。

记  是线性映射，满足 。这也即 。

固定一个 。由上述极限存在，我们有：

从而  对任意  都成立。显然这对  也成立。这也就意味着  对任意  成立，从而 ，即 。得证。

 假设  在  处可微， 是  个坐标函数。

证明，。

我们通常将这个式子记作 。

由定义， 是满足  的线性映射。

记  为  的标准基。

对 ，，代入  的定义，我们有 ，从而 。

由偏导数的定义，我们有 。

从而由线性性，对任意的 ，由  的线性性及 ，我们有：

得证。

 沿用上一问题的符号。证明， 给出了 （这是  的对偶空间，即它上面的线性函数所构成的线性空间）的一组基，其中 。

我们证明两件事： 线性无关； 可线性表出  的任一元素。

先证明  线性无关。若  使得 ，则取等号左的算子在每个  处的取值，由 ，我们有 ，从而得证。

再证明  可线性表出  的任一元素。对任意 ，记 ，则对任意 ，由  的线性性，我们有：

这也即 。故  可线性表出  的任一元素。

综上得证！

 假设  是凸集， 是  上的可微函数。如果对任意的 ，都有 。证明， 是常值函数。

对任意 ，我们想证明 。

由  的凸性，对任意 ，都有 。对 ，取 。

那么，由  及链式法则，我们有  对任意  成立，从而  为常数，这也即 。

故  常值，得证！

我是培淇，我们下期再见！