于品讲义二-习题 2:反函数定理(上)

这里的解答并不是标准的书面解答，对于一些题目我们会相较书面解答加上一些自己的思考。为了尽量让过程完整不跳步且易懂，这些题目的解答可能会写得略长。

顺便提一下，我发现「于品解答-习题 1: 可数与不可数, Schröder–Bernstein 定理」这篇解答还是有一些小错误，故我们考虑先停更这个系列的解答，尽量将最终版本解答做得绝对严谨。

我们今天开始大量更新！

为避免细节差异，我们先“追忆”一下 -维子流形 和 反函数定理 在于品讲义中的陈述。

（-维子流形）假设  是非空子集，这个  中的坐标用  表示。如果存在整数 ，使得对任意的 ，存在开集 ， 以及（可能是另外一个） 中的开集（这个  中的坐标用  表示） 以及微分同胚

使得

其中我们把  写成 ，上述的表达式要求后面的  个坐标都取 ，我们就称  是  的一个 -维的 （微分）子流形。其中， 称作是  的 维数，记作 。

（反函数定理） 是开集， 是  的。如果对于点 ， 在此点的微分  是可逆的，那么  在  的局部上是  的微分同胚，即存在开集 ， 和开集 ，使得  在  上的限制给出的  双射并且  与  均为  的。

A.微分同胚与反函数定理的基本习题

 考虑映射函数 ，其中

证明， 在  上可微分并且  但是在  附近任意小的邻域上  都不是单射。请对比反函数定理说明反函数定理中哪一个条件没有被满足。

当  时，由导数的基本运算法则，我们有  在  处可导且 ；

在  处，我们有：

从而有  在  上可微分并且 。

对任意正整数 ，计算得 。从而由对  在  中的任意邻域 ，都存在正奇数  和正偶数  使得 。从而此时 ，，这也即  在  内变号，从而  在  上不单调，自然不是单射。

反函数定理要求  在  的局部上是  的，而这个条件没有被满足。 具体地，， 在  处连续而  在  处不连续，从而  在  的局部不是  的。

 考虑映射

证明， 在每个  处都满足反函数定理的要求但是  不是单射也不是满射。

由  均为  的， 是  的。对于 ，计算得  的行列式为 ，从而  是可逆的。故  在  处满足反函数定理的要求。

但是，由于 ，不是单射； 我们知道  不能同时为  而恒有 ，从而  不可能为 ，这也即 不是满射。 得证。

 我们考虑映射

• 证明，存在  的开邻域  和 ，使得  是微分同胚。

• 假设  为  的像，试问  是否为微分同胚？

• 证明，存在  的开邻域  和 ，使得  是微分同胚。

由  的每一维都是  的多项式函数， 是  的。计算得  的行列式为 ，故该矩阵可逆。从而由反函数定理得证。

• 假设  为  的像，试问  是否为微分同胚？

不是。考虑 。注意到 ，故我们有 。从而  不是单射，自然不是微分同胚。

 假设  是连续可微的。如果存在 ，使得对任意的 ，我们都有

那么， 是  的微分同胚。（注意：反函数定理只给出局部的同胚）

我们先证  是单射。 由对任意不同的 ，我们都有 ，这也就代表 。从而  是单射。

我们再证明，对任意 ，我们都有  可逆。 我们只需证明  是单射（ 是  的线性映射，其为单射和其为双射等价），这也即证明对任意单位向量 ，我们都有 。

考虑定义。对于 ，。从而  时  的极限必不为 。（ 的  性保证了这个极限村咋）从而  是单射，这也就说明  可逆。

这里我们已经能在局部上应用反函数定理了。这会得到  在局部上是  的微分同胚，其局部上的逆是  的。但这还不足以推出全局的性质。

接下来我们的主要目标是证明  是满射。 这样  就存在，由题目我们有  是 Lipschitz 连续的，我们就可以合并局部上的性质得到  是  的，这样  就是  的微分同胚，我们的证明也就结束了。

如何处理？考虑用局部的性质来合并出全局的性质！利用反函数定理，对于一个 ，由  在  的附近是  的微分同胚，存在开集  使得  和开集 ，使得  在  上的限制给出的  是双射并且  与  均为  的。从而由 ，我们有 。由  开及开集的任意并仍开，我们有  开。

顺着这个思路，我们此时只需要证明  闭。（连通集  中即开又闭的子集只有空集和其本身，由定义  非空）我们直接验证定义，现在对于收敛到  的收敛列 ，我们需要证明 。这里由  收敛，其为 Cauchy 列。从而对任意 ，存在  使得对任意的 ，我们都有 。

故我们有 ，这也即 。从而  为  中 Cauchy 列，其为收敛列。设 ，由  的连续性，我们就有 。从而 。根据定义， 我们有  闭。

从而 ，这也就说明  是满射。

故  为  上的双射，故  存在。 在每个  的局部上都是  的，从而  在  上是  的。故由  为双射， 在  上均 ，我们有  在  上是  的微分同胚，得证！

 假设  是  的并且存在 ，使得 。定义

• 证明， 是  的映射并且对任意的 ， 可逆。
• 证明，对任意的 ，映射

是压缩映像。

• 证明， 是微分同胚。

• 证明， 是  的映射并且对任意的 ， 可逆。

由  是  的，这会推出  和  都是  的，从而  是  的。

计算得 ，其行列式为 。而由条件，，这也就说明  可逆，从而  可逆，得证。

• 证明，对任意的 ，映射  是压缩映像。

对任意 ，由 Lagrange 中值定理，存在  介于  之间使得 ，从而 。

从而  的每一维都是压缩映像，容易证明  也是压缩映像。故得证。

• 证明， 是微分同胚。

我们先证明  是双射。对于一个 ，我们只需证明  只有唯一解。这等价于  且 ，也即 。由  为压缩映像及 Banach 不动点定理，这样的  是存在唯一的。故  是双射。

从而由  可逆（第一部分结论）及  为  的及反函数定理，我们有  在  的每个局部都是微分同胚，从而  都在  上 。故  是微分同胚。 得证！

我是培淇，我们下期再见！