《8.4.1 平面》教学设计

教学设计目录

• 一、教学目标
• 二、教学重难点
• 重点
• 难点
• 三、教学过程
• （一）新课导入（5分钟）
• （二）新知探究（15分钟）
• （三）例题讲解（10分钟）
• （四）巩固练习（7分钟）
• （五）课堂小结（3分钟）

一、教学目标

1. 通过观察实例与探究，理解平面的三大特征及表示方法。
2. 通过分析事实与推理，掌握平面的三个基本事实及推论。
3. 通过例题演练与练习，学会运用基本事实解决共面、共线问题。

二、教学重难点

重点

• 平面的基本事实及推论的理解与掌握。
• 运用基本事实解决空间点线面位置问题。

难点

• 平面无限延展性的直观想象与理解。
• 共面、共线、共点问题的逻辑推理过程。

三、教学过程

（一）新课导入（5分钟）

• 教师活动：提问“前面认识的棱柱、棱锥、棱台等多面体由哪些元素构成？”
• 学生活动：思考并回答“顶点、棱、侧面（底面）”等。
• 追问：“这些元素的相互关系反映多面体结构特征，研究立体图形应从何入手？”
• 学生活动：讨论后明确“从点、直线、平面这些基本元素开始”。
• 教师总结：引出本节课主题——平面及其基本性质，为后续研究奠定基础。

（二）新知探究（15分钟）

1. 平面的特征与表示

• 教师活动：提问“平面是从什么现实事物中抽象出来的？有怎样的特征？”

• 学生活动：结合课桌面、黑板面、平静湖面等实例，归纳特征。

• 教师讲解：明确平面的三大特征，介绍平面的画法（水平、垂直放置的平行四边形）和表示方法。

平面的特征：绝对平、无限延展、不计厚薄。

平面的表示： ① 希腊字母表示，如平面、平面； ② 顶点字母表示，如平面、平面。

• 追问：“水平放置和垂直放置的平面，画法有何区别？”
• 学生活动：观察图形，回答“水平放置时锐角画，横边为邻边两倍；垂直放置时一边画竖向”。

2. 平面的基本事实

• 教师活动：提问“两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面？”，结合三角架支撑照相机、自行车的实例。
• 学生活动：思考后得出“不在同一直线上的三点”。

基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

符号语言：，，三点不共线存在唯一的平面使，，。

• 追问：“如果三个点共线，能确定一个平面吗？”

• 学生活动：讨论后明确“不能，共线三点可确定无数个平面”。

• 教师活动：提问“如果直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？有两个公共点呢？”，结合直尺边缘落在桌面的实例。

• 学生活动：结合生活经验，判断“一个公共点不能确定，两个公共点可以确定”。

基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。

符号语言：

• 追问：“基本事实2如何体现平面的‘平’和‘无限延展’？”

• 学生活动：结合“直线网”的讲解，理解直线的“直”和“无限延伸”对平面特征的刻画。

• 教师活动：演示三角尺立在桌面，提问“三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？”

• 学生活动：想象平面无限延展，回答“不是，相交于一条直线”。

基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号语言：，，且。

• 追问：“两个平面相交的画法中，被遮挡部分为何画成虚线或不画？”
• 学生活动：理解“突出直观性，区分可见与不可见部分”。

3. 基本事实的推论

• 教师活动：提问“利用基本事实1和2，结合‘两点确定一条直线’，能推出哪些结论？”
• 学生活动：分组讨论，尝试推导推论。

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

• 追问：“如何证明推论2‘经过两条相交直线，有且只有一个平面’？”
• 学生活动：参考课本证明思路，简述证明过程，教师补充完善。

（三）例题讲解（10分钟）

例1：求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内。

解答： 证法一： ∵，∴和确定一个平面（推论2）。 ∵，∴，又，∴。 同理，，可得。 又，，根据基本事实2，。 故直线、、在同一平面内。

证法二： ∵，∴、确定平面（推论2）；，∴、确定平面（推论2）。 ∵，，∴；，，∴。 同理，、，、。 不共线三点、、既在内又在内，根据基本事实1，与重合，故三线共面。

证法三： ∵、、三点不共线，∴确定平面（基本事实1）。 ∵、，根据基本事实2，；同理，，。 故直线、、在同一平面内。

例2：如图所示，在正方体中，，分别为，的中点。

（1）求证：，，，四点共面；

（2）求证：，，三线交于一点；

（3）若，求证：点，，三点共线。

解答： （1）连接、、。 ∵为中点，为中点，∴（三角形中位线定理）。 在正方体中，（正方体面对边平行），∴。 根据推论3，两条平行直线确定一个平面，故、、、四点共面。

（2）设。 ∵平面，平面，∴是两平面的公共点。 又平面平面（基本事实3），∴。 故、、三线交于一点。

（3）∵，∴、。 ∵平面，∴平面；平面，∴平面。 平面平面（基本事实3），∴。 故点、、三点共线。

（四）巩固练习（7分钟）

练习1：判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”。

（1）书桌面是平面。（ ）

（2）平面与平面相交，它们只有有限个公共点。（ ）

（3）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合。（ ）

（4）平面是处处平的面。（ ）

（5）平面是无限延展的。（ ）

（6）平面的形状是平行四边形。（ ）

（7）一个平面的厚度可以是 cm。（ ）

解答：（1）×（书桌面是平面的一部分，平面无限延展）；

（2）×（两平面相交于直线，有无数公共点）；

（3）√（符合基本事实1）；

（4）√（平面的核心特征）；

（5）√（平面的核心特征）；

（6）×（平行四边形是平面的表示方法，非形状）；

（7）×（平面不计厚薄）。

练习2：下列命题正确的是（ ）

A. 三点确定一个平面  B. 一条直线和一个点确定一个平面  C. 圆心和圆上两点可确定一个平面  D. 梯形可确定一个平面

解答：选D。解析：A错误，不共线三点才确定一个平面；B错误，直线外一点与直线才确定一个平面；C错误，圆心和圆上两点共线时不能确定一个平面；D正确，梯形有一组对边平行，根据推论3，平行直线确定一个平面，故梯形可确定一个平面。

练习3：不共面的四点可以确定几个平面？

解答：4个。解析：不共面的四点中任意三点不共线（若三点共线则四点共面），根据基本事实1，任意三点确定一个平面，共个平面。

练习4：用符号表示下列语句，并画出相应的图形。 （1）点在平面内，点在平面外； （2）直线既在平面内，又在平面内。

解答： （1）符号表示：，。 图形：画平行四边形表示平面，在内部标，外部标。

（2）符号表示：，（或）。 图形：画两个相交平面、，交线为。

练习5：已知直线，且直线与，都相交，求证：直线，，共面。

解答： ∵，根据推论3，、确定一个平面。 设，，则，。 ∵，∴；，∴。 又，，根据基本事实2，。 故直线、、共面。

练习6：如图，已知的三个顶点都不在平面内，它的三边，，延长后分别交平面于点，，，求证：，，三点在同一条直线上。

解答： ∵延长线交平面于，∴，又平面，∴平面。 同时平面，故是平面与平面的公共点（基本事实3）。 设平面平面，则。 同理，延长线交于，平面且，∴；延长线交于，平面且，∴。 故、、三点在直线上。

练习7：如图，在三棱柱中，，，求证：直线，，相交于一点。解答： 连接，∵，，∴且（三角形相似）。 在三棱柱中，且，∴且。 ∴四边形为梯形，故直线与相交，设交点为。 ∵，平面，∴平面；，平面，∴平面。 平面平面（基本事实3），∴。 故直线、、相交于一点。

（五）课堂小结（3分钟）