《条件概率》教案
授课时间： 45分钟 授课对象： 高二学生 课型： 新授课
一、教学目标
- 【知识与技能】 理解条件概率的概念，掌握条件概率公式 ；理解概率的乘法公式 ；能运用公式解决简单实际问题。
- 【过程与方法】 通过具体实例（班级选代表、家庭孩子性别）体会条件概率的直观意义，经历从特殊到一般的归纳过程，培养逻辑推理能力。
- 【情感态度】 感受数学与生活的紧密联系，培养严谨的思维习惯；通过"抽签公平性"问题体会数学的理性精神。
二、教学重难点
- 重点： 条件概率的定义与公式推导；概率乘法公式的应用。
- 难点： 理解"样本空间缩小"的直观含义；区分 与 、 的不同；条件概率与事件独立性的关系。
三、教学过程（45分钟）
【环节一】情境引入，提出问题（5分钟）
教师活动： 回顾必修"概率"中 成立的条件（A、B相互独立）。提出问题：如果 A、B 不独立，如何求 ？
学生活动： 思考并讨论，意识到需要新的工具。
设计意图： 制造认知冲突，激发求知欲。
【环节二】实例探究，建构概念（12分钟）
问题1（课本引入）
某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示（表7.1-1）：
在班级里随机选择一人做代表。
【解析】
设 表示事件"选到团员"， 表示事件"选到男生"。
（1）根据古典概型：
（2）"已知选到团员，选到男生"的概率，记为 。此时相当于以 为新的样本空间来考虑事件 发生的概率。在新的样本空间中，事件 就是积事件 ，包含的样本点数 。
根据古典概型：
【学生注意细节】
① 读作"在 A 发生的条件下 B 发生的概率"，竖线"|"表示"在…条件下"；
② 条件概率的本质是"样本空间缩小"——从原来的 缩小到 ；
③ 计算时分子是 而不是 ，因为要在 的范围内找 。
问题2（课本引入）
假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭。随机选择一个家庭，那么：
- 如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？
【解析】
样本空间 ，所有样本点等可能。设 表示"有女孩"， 表示"两个都是女孩"。
（1）
（2）已知有女孩，样本空间缩小为 ，此时 ，所以
【归纳】
在上面两个问题中，在事件 发生的条件下，事件 发生的概率都是：
这个结论对于一般的古典概型仍然成立。
【公式推导】
因为
所以，在事件 发生的条件下，事件 发生的概率还可以通过 来计算。
【条件概率定义】
一般地，设 为两个随机事件，且 ，我们称
为在事件 发生的条件下，事件 发生的条件概率（conditional probability）。
【学生注意细节】
① 定义中要求 ，因为分母不能为零； │ > │ ② 两种计算方法等价：（古典概型法）（公式法）；
③ 一般情况下 ，这说明"已知A发生"改变了B发生的概率。
【环节三】乘法公式与独立性（8分钟）
由条件概率的定义，对任意两个事件 与 ，若 ，则
我们称上式为概率的乘法公式。
【思考】
在问题1和问题2中，都有 。一般地， 与 不一定相等。如果 ，那么事件 与 应满足什么条件？
【分析】
直观上看，当事件 与 相互独立时， 发生与否不影响 发生的概率，这等价于 成立。
事实上，若 与 相互独立，即 ，且 ，则
反之，若 ，且 ，则
即事件 与 相互独立。
【结论】
【学生注意细节】
① 独立性是条件概率的"特殊情况"——已知A发生对B的概率没有影响； ② 乘法公式 是普遍成立的，而 只在独立时成立；
③ 判断独立性可以用定义 ，也可以用等价条件 。
【课堂练习一】（穿插在理论讲解后，3分钟）
练习： 设 ，且 ，。根据事件包含关系的意义及条件概率的意义，直接写出 和 的值。
【做法】 学生独立思考1分钟，教师请1位同学口答，全班订正。
【答案提示】 因为 ，所以 。
【环节四】例题精讲，深化理解（15分钟）
例题1（课本例1）
在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回。求：
- 在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率。
【分析】
如果把"第1次抽到代数题"和"第2次抽到几何题"作为两个事件，那么问题（1）就是积事件的概率，问题（2）就是条件概率。可以先求积事件的概率，再用条件概率公式求条件概率；也可以先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率。
【解】
设 ="第1次抽到代数题"，="第2次抽到几何题"，则"第1次抽到代数题且第2次抽到几何题"就是事件 。
方法一：
（1）从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，试验的样本空间 包含 个等可能的样本点。
因为 ，所以
（2）"在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题"的概率就是"在事件 发生的条件下，事件 发生的概率"。显然 。利用条件概率公式，得
方法二：
因为 ，，所以
又 ，利用乘法公式可得
【方法总结】
求条件概率用了两种方法：一种是基于样本空间 ，先计算 和 ，再利用条件概率公式求 ；另一种是根据条件概率的直观意义，增加了" 发生"的条件后，样本空间缩小为 ，求 。
在例1中，已知第1次抽到代数题，这时还余下4道题，其中代数题和几何题各2道。显然，事件 发生的条件下，事件 发生的概率为 ，这等价于将 中的12个样本点合并为4个等可能的样本点，通常用这种方法求 更快捷。
【学生注意细节】
① "不放回"意味着第2次抽取时样本空间已经改变，这是使用条件概率的典型场景；
② 两种方法结果必须一致，可以用来检验计算是否正确；
③ 直观法（缩小样本空间）在理解题意时更快捷，公式法在复杂问题中更通用。
【课堂练习二】（穿插在例题1后，3分钟）
练习： 从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次随机抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回。已知第1次抽到A牌，求第2次抽到A牌的概率。
【做法】 学生独立完成2分钟，教师巡视，请1位同学板演，师生共同点评。
【答案】 设 ="第1次抽到A"，="第2次抽到A"。已知第1次抽到A后，还剩51张牌，其中A牌剩3张。所以 。
例题2（课本例2）
已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张。他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？
【分析】
要知道中奖概率是否与抽奖次序有关，只要考察甲、乙、丙3名同学的中奖概率是否相等。因为只有1张有奖，所以"乙中奖"等价于"甲没中奖且乙中奖"，"丙中奖"等价于"甲和乙都没中奖"，利用乘法公式可求出乙、丙中奖的概率。
【解】
用 分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则 ，。
因为 ，所以中奖的概率与抽奖的次序无关。
【结论】
事实上，在抽奖问题中，无论是放回随机抽取还是不放回随机抽取，中奖的概率都与抽奖的次序无关。
【学生注意细节】
① "不放回"抽取时，前面的人抽走奖券会影响后面人的概率，但最终每个人中奖概率相等；
② 这个结果看似反直觉，但数学证明告诉我们：抽签是公平的，与顺序无关；
③ 用乘法公式 时，注意条件事件是 （甲没中奖），不是 。
【课堂练习三】（穿插在例题2后，2分钟）
练习： 袋子中有10个除颜色外完全相同的小球，其中7个白球，3个黑球。每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回。求：
【做法】 学生独立完成2分钟，同桌互查，教师点评。
【答案】 设 ="第1次白球"，="第2次白球"。
例题3（课本例3）
银行储蓄卡的密码由6位数字组成。某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字。求：
- 如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率。
【分析】
最后1位密码"不超过2次就按对"等价于"第1次按对，或者第1次按错但第2次按对"。因此，可以先把复杂事件用简单事件表示，再利用概率的加法公式及乘法公式求解。
【解】
（1）设 ="第 次按对密码"（），则事件"不超过2次就按对密码"可表示为
事件 与事件 互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得
因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为 。
（2）设 ="最后1位密码为偶数"，则
因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为 。
【学生注意细节】
① "不超过2次"包含"第1次对"和"第1次错且第2次对"两种情况，要用加法公式；
② 第2次按对时，样本空间已经缩小（去掉第1次按错的数字），所以 ；
③ 条件 （记得是偶数）将样本空间从10个数字缩小到5个偶数，所以概率翻倍。
【环节五】课堂小结与高考真题演练（5分钟）
知识梳理（2分钟）
- 两种计算思路： ① 缩小样本空间法：；② 公式法：
【高考真题演练】（2023年全国甲卷理科第6题改编）（3分钟）
题目： 某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪。若在该地随机抽取一名中学生，已知该生爱好滑雪，则该生也爱好滑冰的概率为（ ）
A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 0.8
【做法】 学生独立完成2分钟，教师公布答案并简要点评。此题作为课堂收尾，检验学生对本节核心公式的掌握程度。
【解析】
设 ="爱好滑冰"，="爱好滑雪"。已知 ，，。
由加法公式：
所求为
答案：D
【点评】 本题是2023年高考真题，考查条件概率与加法公式的综合应用。学生易错点：① 混淆"爱好滑冰或滑雪"与"同时爱好两者"；② 忘记先求 再代入条件概率公式。通过本题让学生体会：高考题源于课本、高于课本，扎实掌握基本概念和公式是解题关键。
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