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【时光课件】第447期 | 中国古代历法四分历概述及《史记·历术甲子篇》浅释

2026-06-22 14:09:19

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第447期《史记·历术甲子篇》

主讲嘉宾冯向阳

一、前言

1.天文历法在中国传统文化中占有很重要的位置

今天人们的生活、文化和观念里然渗透着古代天文历法的影响。今天从一部古四分历谈起，唤醒大家共同的文化记忆。究竟怎样的一部历法，值得一群人传承一种文化，传播一种思想，传递一种精神。让我们先一同了解这部古老的四分历，再结合《史记·历术甲子篇》的内容来具体认识并应用历法。

2.自身对古代天文历法学习契机

《河图洛书的源流》古人关于空间和时间的认识；《中国古代纪时》系统的年月日时纪时体系演变；《古代天文历法讲座》张闻玉著，广西师范大学出版社，古代天文历法基础知识，详释四分历及应用，关于《诗·七月》用历，穆天子西征年月日考，武王伐纣公元前1106年。《史记·李斯列传》秦始皇三十七年出巡，秦十月岁首。读《史记·历书·历术甲子篇》《史记·天官书》

3.为什么要了解古天文历

⑴概括言之：

①常识告诉我们，古代典籍有关时间的记载无不与古代天文历法有关。

②翻阅经史子集，学习了解有助正确理解古人的天文、历法、思想、文化。

③有助于从宇宙的、科学的、技术的、地理的、政治的、哲学的、宗教的、术数的多方面全方位的阐释和理解传统文化。

⑵具体应用方面：

①古天文历法反映了古人对自然规律的认识和人生哲学的思考

②古天文历法与农业生产紧密相关

③古天文历法是中华传统文化核心

④古天文历法中季节划分和时间认识

⑤连接古代与现代、科学与人文的重要桥梁

⑥历史事件、文物考古

二、中国古代历法四分历概述

立表测影测定太阳回归年365又1/4日，名曰岁实。这是中国古代天文历法中取得的一个重要数据。周天划分为365又1/4古度，这不同于现代一周360度概念内涵。二十八宿斗宿距度26又1/4，1/4“斗分”专属四分历，四分历制历时天象冬至点太阳日躔在牛初，历法的时间起算点在冬至。

四分历正式行用于周考王十四年，即公元前427年，为各诸侯国普遍采用。

1.四分历是中国古代阴阳合历的典范

⑴阳历：岁实即一个回归年长度365又1/4日，平气法等分时间划分二十四气，节气和中气间隔15又7/32日。365又1/4÷24＝15又7/32。四分历中标注出了交气日日干支和气余分。相当于现代历法推算出交气在某日某时某分某秒。

⑵阴历：推算朔策为29又499/940日（平朔法），平年12个朔望月，354日或355日。闰月年13个朔望月，383日或384日。月份按大小月间排，每隔16-17个月出现连大月。若承前月累积的朔余分≥441/940，则本月为大月，反之为小月。纪月兼用序数和干支。纪日主用序数并兼用干支。四分历会标注出每月的朔日和朔日干支及朔余分，起到了定位作用，方便是查对月中任何一日的干支。

⑶阴阳合历的核心调谐周期。

历法中的岁与年，岁自为岁，年自为年。岁以阳历岁实为基，固定长度。年以阴历朔望月成年，有平年闰年之别，而且平年年内日数有的年份也会有一日差异，如354日与355日的差异，闰年则有383日与384日的差异。历法调谐原则是长周期调谐匹配阳历阴历。

调谐太阳历（岁实）和太阴历（朔望月），使实际季节与历法月份大致吻合。调谐的方法是通过置闰使岁与年的长周期并行适配。

①置闰方法，阴历19年7闰的闰周，无中气置闰法设置闰月位置，平均算下来每隔33个月置闰月。调配太阳历与太阴历的差异，实现阴历和季节的基本匹配。

学者们以19年为一个周期统计古代置闰规律：公元前722—公元前704，置闰7次；公元前703—公元前685，置闰6次；公元前684—公元前666置闰7次；公元前665—公元前647，置闰7次；公元前646—公元前628，置闰7次；公元前627—公元前609，置闰6次；公元前608—公元前590，置闰8次。这期间置闰还不是特别规律。

公元前589—公元前571，置闰7次；公元前570—公元前552置闰7次；公元前551—公元前533，置闰7次；公元前532—公元前514，置闰7次；公元前513—公元前495，置闰7次；公元前494—公元前476，置闰7次；这期间有了明显的19年7闰规律。

②为什么要置闰？

十二个朔望月的年比回归年少11.25天，三年下来就少了一个月多，会使历法月份与实际季节不相吻合，失去了历法指导生活的意义。假如不置闰，16年就相差约180天，春节过到了夏天。通过闰周和闰位使历法月份与实际季节大致相吻合，即月份和中气锁定，定季节而合理安排生活。而要精确掌握农时安排农事，古人还要依靠二十四气。

③闰月位置的安置

正常年份阴历每个月都固定对应一个中气，如雨水对应正月。历法的置闰的规则，先是年终置闰，发展到年中置闰，再发展到无中气置闰是一个科学进步的过程。二十四气起到了坐标作用，出现某个朔望月没有中气，只有节气，那么这个月就定为闰月，此为无中气置闰法。闰月名称承上个月名前加一个“闰”字。如《历术甲子篇》游兆执徐三年阴历六月之后置闰六月。

2.四分历章、蔀、纪、元时间层级结构

四分历日、月、年基本要素，还有比年更大的章、蔀、纪、元时间周期层级单位。

19年1章（所谓的“章法”之称）

4章1蔀（76年）

20蔀1纪（1520年）

3纪1元（4560年）

这些都是这部历法的内在算法逻辑的和思想特色体现。体现的是时空的精准掌握数学的巧思，还体现了一个周期性的思想。

1蔀4章（19×4＝76年，76年为一蔀）

365.25×76＝27759

27759÷60＝462……余39（经76年，日干支不是60的整数倍，不能复位）

一纪20蔀（一纪1520年，76×20＝1520）

39÷60＝13/20，要消去分数，要乘以20。

（27759÷60）×20＝9253

即9253个60甲子纪日完整周期。20蔀共76×20＝1520年，即1520年内有9253个60甲子纪日完整周期。1520年为一纪，经此时间日干支复位。

即构成20蔀的时间周期，这时历法的日干支回复到了起点。这是古人的极致追求。

殷历二十蔀蔀名和蔀余数：

第1蔀—第5蔀：甲子蔀0；癸卯蔀39；壬午蔀18；辛酉蔀57；庚子蔀36；

第6蔀—第10蔀：己卯蔀15；戊午蔀54；丁酉蔀33；丙子蔀12；乙卯蔀51；

第11蔀—第15蔀：甲午蔀30；癸酉蔀9；壬子蔀48；辛卯蔀27；庚午蔀6；

第16蔀—第20蔀：己酉蔀45；戊子蔀24；丁卯蔀3；丙午蔀42；乙酉蔀21。

蔀名是由本蔀首年首日干支决定的。蔀名源于干支名。

蔀余数是由本蔀即76年总日数，用日干支周期60相除的余数，除首蔀外每蔀都是余39。余数要累计，满60后计余数，其它各蔀蔀余数均可查一甲次数表（注意一甲次数表中甲子对应的是0）。前蔀的蔀余，加本蔀蔀余，满60减60看余数。如壬午蔀蔀余18的推算：39＋39－60＝18。查一甲次数表中18对应干支为壬午，所以该蔀名为壬午蔀。

一元3纪。

1520÷60＝25……余20（经1520年，年干支不是60的整数倍，不能复位）

20÷60＝1/3，为消去分母3，所以乘3。

（1520÷60）×3＝76

即76个60甲子的年周期。古人用的是干支纪年，以60年为一个周期，1520×3＝4560年，构成3纪一元。即4560年，一元，这时历法的日干支，年干支都复位。

日、月、年、章、蔀、纪、元层级关系梳理：

一章19年235月（含7个闰月）6939.75日

一蔀4章76年940月（含28个闰月）27759日

一纪20蔀1520年（9253个60干支纪日周期）

一元3纪4560年（76个60干支纪年周期），年月日干支大周期复位

3.四分历法内嵌六十甲子序列

六十甲子纪日干支逐日对应日期，有序循环。现有文献支持从鲁隐公三年二月己巳日，即公元前720年2月22日至今准确连续的干支纪日。所以尽管历史上有多部历法交织使用，纪日干支的连续性起到非常重要的续接作用。

四分历还有干支纪月，再上层还有干支纪年，纪年名称干支别名，如焉逢摄提格。

干支一甲数次表（六十进制），60干支的排序，甲子排序首位，特殊的是标号为0。

4.历元

历法选取的推算起点。结合制历天象和干支纪日、干支纪年、十九年七闰，理想历元甲子年甲子月甲子日夜半合朔冬至作为起点(建子正岁首推算)。日月合朔并交冬至中气，正合天文意义上太阳地球月亮特殊位置关系。日得甲子，时为甲子时即夜半，年得甲子，月甲子，构成历法理想起点。最后经大周期回归复位。

实际四分历选取了公元前427年作为历元近距，年、章、蔀、纪、元多层级周期推算，前427年是甲寅年甲子月己酉日。该年归属于四分历一纪二十蔀表的第十六蔀己酉蔀，前推历元甲寅年甲子月甲子日夜半冬至合朔，是一纪第一蔀甲子蔀首年公元前1567年，这也是后人托古制历称四分历为殷历的原因。掌握历元近距基本信息，这是四分历后续推步应用的基点。

在四分历之前，属观象授时阶段，历随时在借助观察天象调整。四分历系统精密的算法，“历”进入了“法”的室内推步阶段。

岁实365又1/4日，是当时世界上最精密的回归年数据。365又1/4较现代回归年测量值365.2422日偏大，所以四分历运行约307年辄有一日的误差，日食能检验历法，本该是日食在朔，而历法是日食在晦，历后于天象一日，这是推动后世改历的直接原因。

三、《史记·历书》历史地位和《历书》

阐述主要内容（《历术甲子篇》）

1.《史记·历书》的历史地位

《历书》是中国最早记述古代历法史的专著，首次系统阐述了历法天文学重要意义，也是最早明确提出把天文学纳入国家政体的历史文献，由此可见《历书》的历史地位。

2.《历书》阐述主要内容

《历书》第一部分主要阐述了三个问题:

关于历法的发生、发展及制历原则。

用史实论述天文历法对社会发展的重大意义。

武帝修“太初历”的大致情形。

《历书》第二部分附记《历术甲子篇》原文。

⑴《历书》第一部分主要阐述了三个问题:

①历法发生、发展及制历原则

人们观察自然万物变化，观察日月星辰的运行，从认知的天文现象和万物生长规律来编制社会生活的时间规则——历法。历法的作用是引导人们按天行事尊重人心。

司马迁转引《大戴礼记》“昔自在古，历建正作于孟春”，说明古代正月是在春天的第一个月，所谓历法“建正”。

中国古代历法三种建正方式。周以黄昏时北斗斗柄指子（含冬至之月）为正月，称作“建子”，又称“子正”。殷正以黄昏时斗柄指丑（冬至后一月）为正月，称作“建丑”，又称“丑正”；夏正以黄昏时斗柄指寅（冬至后二月）为正月，即今农历之孟春月，称作“建寅”，又称“寅正”。

汉高祖至武帝太初前都遵循秦历“建亥”，以夏历的十月为岁首。历史上“建正”和岁首选择为汉武帝改历提供了理论依据。武帝要建立大汉的正朔，以别于以前的朝代，这是改历的政治动机。

太初改历选取公元前104年农历丁丑年甲子日夜半交冬至并日月合朔天象作为合适改历的天文契机。

②用史实论述天文历法对社会发展的重大意义

司马迁述说黄帝以来历法与社会兴衰、朝代更替的关系，总结出历法正则社会兴旺，历数失序则社会混乱。“天之历数在尔躬”，君主组织，按天体运行制历、颁历社稷大事。改朝换代修历法，承天意，顺天时，“王者易姓受命，必慎始初，改正朔，易服色，推本天元。顺承厥意”。这样天文历法就进入政体，与国家政权联系在一起了。

③武帝修“太初历”的大致情形

《历书》详说汉武帝改历的背景。厉、幽之后，诸侯国天文历法与星占理论“废而不统”。秦统一六国，据邹衍五德终始说，自认得水德，用颛顼历。汉初大臣们附会刘邦得了水德瑞应，沿用了秦朝历法，文帝时有人宣称见了土德瑞应，文帝有了改历想法，但直到武帝时才下决心编制新历，由唐都负责天部，落下闳负责历部而完成了太初历。

改历时点已验，“十一月甲子朔旦冬至已詹，其更以七年为太初元年”，改历效果“气复正”，“阴阳离合之道行焉”，各种名称又和实际相符合了。

太初历详细修制过程司马迁没有记载，《历书》篇末附上《历术甲子篇》。后人疑说武帝曾让人试制了十八部历法，《历术甲子篇》是司马迁与壶遂编制，属于被否定的十七部历法之一。到底真相是什么，可以阅读张闻玉《古代天文历法讲座》相关内容，从历史、历法还原一个真实的太史公和一部太初历。

《‌史记·天官书‌》记载四种“岁首”：‌“凡候岁美恶,谨候岁始。岁始或冬至日,产气始萌；腊明日，人众卒岁，一会饮食，发阳气，故曰初岁；正月旦，王者岁首；立春日，四时之卒始也。”腊日，一般认为在冬至后第三个戌日。

岁首选择是历法改革的核心内容。太初历选取“正月旦，王者岁首”。这一岁首应用于历法，延续至今，演变为今天的传统节日春节。

⑵《历书》阐述主要内容《历术甲子篇》

《历术甲子篇》原文内容在此不做复述，后面章节会引用三段原文详释。

四、太史令司马迁的天文成就和张汝舟对《历术甲子篇》的贡献

《历术甲子篇》涉及历史人物司马迁做为太史令特殊身份的解读，太史令有其广博深厚的天文学素养，我们不得不叙述，还有一位是现代学者贵州大学张汝舟教授，治学严谨，又有学者的人格风范，上世纪60年代，张汝舟揭开了历术甲子篇秘密，开创了古历研究的新篇，并经他的弟子和再传弟子弘扬这种学说，用于历史学术研究。张汝舟是二十世纪章黄学派代表人物。

1.太史令司马迁

⑴司马迁简介：

司马迁生于汉景帝中元五年（公元前145年），武帝太初元年（公元前104年）参与改历，是年42岁，之后开始撰写《史记》。天汉三年（公元前98年）因李陵事受宫刑，到太始四年（公元前93年）写《报任安书》时，《史记》一书已成，是年53岁。史家认为自此以后，司马迁事迹已不可考，约卒于公元前87年武帝末年。

⑵太史令司马迁天文成就：

司马迁是中国历史上第一位将天文学系统化、科学化并载入正史的天文学家，他不仅开创了史书专设《天官书》的体例，当时先秦天文文献如《甘石星经》等多已散佚，而《天官书》正是在“前无所承”的背景下，首次将零散星象记录、占验之术、历法知识熔铸为统一文本。

公元前104年司马迁又亲历并主导太初元年历法改革，拥有第一手观测与制度实践基础。“定东西，立仪，下漏刻，以追二十八宿相距于四方”，构建全天星官体系，测定冬至位置，建立行星动态模型，记录五大行星逆行规律，首次提出交食周期，实现了从星占迷信到天文观测的范式跃迁。

⑶司马迁立“究天人之际”宗旨，确立天文——人事互动范式

司马迁立“究天人之际”宗旨，确立天文——人事互动范式。“天垂象，见吉凶”逻辑，将星变与王朝兴衰、君臣关系绑定，如“三能色齐，君臣和”，虽受后世批评“未走出天人感应怪圈”，却深刻塑造影响了中国古代天文的政治文化功能。

⑷司马迁历法贡献：

《历书》附记《历术甲子篇》，是司马迁完整保存并传世的战国时期古四分历历术宝典，专用于推算甲子蔀76年的朔、闰与节气，是现存最早最系统的先秦历术实录。

《历术甲子篇》是一篇纯技术性文献，通篇以干支别名、大余数、小余数、蔀余数等专业术语书写，形如密码，长期被误读，或误读为玄学。

2.学者张汝舟研究成果

一部四分历，是战国时期天文历算家总结前人天文观测成果，精准观测掌握新数据365又1/4，用精巧的构思和数学的巧思编制阴阳合历，凝聚着古人的智慧。司马迁记录了这部历法和法则，是宝贵的资料。可惜历史上还没人能完全正确解读。

一部历法情结，跨越2000年的知音，传承文化，传播思想，传递精神。

学者张汝舟考证确认:《历术甲子篇》由司马迁悉心抄录、原貌保存，属于古四分历的操作手册，而非汉代《太初历》。

《次度》所记天象，正合战初年实际天象。推定四分历创制于公元前427年，历元甲子蔀首年对应公元前1567年殷商时代，但该历法本身并非诞生于殷商，而是战国学者用四分历数据反推所得，托古自重而又称名殷历。

论证《历术甲子篇》是中国现存最早的可实操验证的古代历术原始档案。它证明战国历家已掌握高度成熟的周期推算体系，并被司马迁作为信史材料郑重载入《史记》。

《历术甲子篇》代表的是更早的理论化、系统化四分历传统。是法则。

明晰了四分历历算层级结构和逻辑。

“蔀”是古四分历核心周期单位。

1蔀=4章=76年=940朔望月=27759日，365.25×76=27759；

揭示蔀余计算。27759÷60=462…余39，揭示蔀余干支规律和二十蔀蔀名由来，列二十蔀表，蔀余数。制一甲次数表，甲子0，乙丑1，丙寅2，……，癸亥59。标号明确了蔀名意义，而且标号数值对应解析《历术甲子篇》“大余”数内容。朔策、朔余，940进制；气余分，32进制，等一系列构成历算的基本运算基础。

五、《历术甲子篇》原文和《历术甲子篇》浅释

深入了解四分历，主要理清日、月、年、章、蔀、纪、元的关系，要统观殷历二十蔀表、蔀名、蔀余、干支一甲数次表（六十进制）、十九年七闰和置闰月位置，才能更好地明白四分历逻辑和计算原理，及其背后的科学、思想、文化。

1.[原文]元年，岁名焉逢摄提格，月名毕聚，日得甲子，夜半朔旦冬至。

正北十二

无大余无小余

【浅释】元年，历元之年，有特定天象。甲寅岁、甲子月、甲子日夜半零点子时合朔冬至。即《后汉书·律历志》所谓“历始冬至，月先建子，时平夜半”。也即四分历甲子蔀第一年。

【浅释】岁名焉逢摄提格～甲寅年；焉逢：岁阳名，等同天干甲；摄提格：岁阴名，等同地支寅。焉逢摄提格转述为干支纪年就是甲寅年。

【浅释】月名毕聚。《尔雅·释天》“月在甲曰毕，正月为陬。”月名毕聚转述成干支纪月就是甲子月。该月相当于夏历十一月。整部历法叙述统一标准采用夏正纪月的月序。

【浅释】正北，古人以十二地支配四方，子属正北，是年零点合朔冬至，故曰正北。

【浅释】十二，记这一年为十二个月，无闰月，平年。即“焉逢摄提格”甲寅年是平年，有十二个朔望月。

【浅释】无大余无小余。因为原文中有两行文字，都是“大余、小余”，为区分之，前一行的记为前大余、前小余。前大余对应十一月即子月的朔日干支号，查纪日一甲数次表0即甲子日。前小余对应朔余分，无小余就是朔余分为0，即分数0/940，只记分子0。也即前大余、前小余是和月亮“朔”有关的。对应历法的阴历。

【浅释】无大余无小余。后大余为十一月中气即冬至日干支号，0即冬至日正逢甲子日；后小余为冬至气余分，无小余为0。分数0/32，只记分子0。后大余、后小于是和二十四气有关的。对应历法的阳历。

以上是第一年的原文浅释。

据此可以推步元年（甲寅年）朔气干支表。相当于排出全年每月朔日和本月大小月天数，并标明朔日朔余分和朔日干支。还有全年二十四气交气日干支及气余分。在此内容略，有兴趣的读者可阅读张闻玉《古代天文有办法讲座》相关章节内容。

元年（甲寅年）朔气干支表说明

用干支和数字表示月份名称和月序，按夏历月序对应：子月十一月，丑月十二月，寅月正月，卯月二月，辰月三月，巳月四月，午月五月，未月六月，申月七月，酉月八月，戌月九月，亥月十月。

气，二十四气中含十二个中气。惊蛰（今雨水）、清明（今谷雨），括号标示气名在战国时期顺序和名称，与汉《淮南子》所记有所不同，反映的是二十四气的更古老形态。

朔日朔余分的推算举例

子月小，0/940（夜半合朔）

丑月大，0/940+499/940=499/940（月初承上月的朔余分499，大于441）

寅月小，499/940+499/940-940/940=58/940（月初承上月的朔余分58，小于441）

卯月大，58/940+499/940=557/940

辰月小，557/940+499/940-940/940=116/940

巳月大，116/940+499/940=615/940

朔余940进制，满940进一位干支，这是运算法则。

朔余定大小月。承上月朔余≥441/940则本月为大月，反之小于441/940本月为小月。据此排定一年内的大小月，还可续推至下年的首月情况。

气余分的计算举例

子月，0/32（夜半冬至）

丑月，0/32+14/32=14/32

寅月，14/32+14/32=28/32

卯月，28/32+14/32-32/32=10/32（28+14-32=10）

辰月，10/32+14/32=24/32

巳月，24/32+14/32-32/32=6/32

计算太阳历二十四气，计算交气干支和气余分。气余分满32进一位干支。太阴历的推算也以岁实365又1/4日为基础，背后还有干支纪日六十循环的周期累积。

平气法，12节气和12中气间排，岁实365日又1/4日，所以相邻中气间隔30日又14/32日。

元年甲寅年，阴历全年十二个月，平年。六大月六小月，全年354天。朔望月历法关联月相来用于日常生活纪时。

阴历全年29×6＋30×6＝354天。

该年阴历十二个月每个月都对应有一个中气。

太阳年与阴历年相差365.25－354＝11.25天。

农时安排锚定二十四气，精准指导农业生产。

阴历方便日常生活，实现阴阳合历指导生产生活。

2.[原文] 端蒙单阏二年十二

大余五十四小余三百四十八

大余五小余八

【浅释】端蒙单阏，此年乙卯年，即四分历甲子蔀第二年；前大余、前小余与年前十一月合朔有关，属太阴历系统；后大余、后小余与冬至有关，属于太阳历系统；一部历法中这两者结合联用就构成阴阳合历，是中国特色的历法。

【浅释】前大余五十四，实是本年初的朔日干支序号。上一年焉逢摄提格六大月六小月354日，354÷60=5……54，查干支表，54为戊午，即知乙卯年十一月戊午朔(此时进入了端蒙单阏～乙卯年)。前小余三百四十八，朔余计算：(29+499/940)×12－354=348/940日，此处只记分子348，不写分母940。这就是焉逢摄提格年交接到端蒙单阏年十一月（岁首，子正）的朔余。

【浅释】十二，指本年十二个月，无闰月，平年。

【浅释】大余五，回归年365日又1/4日，以60干支除之。（365+1/4）÷60=6……5又1/4日，后大余只记冬至日干支号5，5是整数部分，查干支表序号5对应为己巳，即十一月己巳冬至（该月戊午朔，可推出冬至为阴历十二日，日干支己巳）。

【浅释】小余八，后大余只记整数五，尚余1/4=8/32，此处小余只记气余的分数部分的分子八，不写分母32。因历法年日数取整数365，所以气余分8/32要顺推至下一日，即下一年首日。

二年（乙卯年）朔气干支表（此处略，详细可参阅《古代天文历法讲座》相关内容）。

本年内出现了阴历连大月。

第二年乙卯年，全年十二个月，平年，并且阴历每个月都固定对应一个中气。该年有连大月，但也是六大月六小月，全年29×6＋30×6＝354天。连大月调整历法纪日日期，使历日能与天象朔望月月相完美匹配——历合天象。

回归年与阴历年相差365.25－354＝11.25天。

两年下来累积相差11.25＋11.25＝22.5天。

为防季历失谐，下一年历法要置闰月纠差。

3.[原文] 游兆执徐三年闰十三

大余四十八小余六百九十六

大余十小余十六

【浅释】游兆执徐，此年丙辰年，即四分历甲子蔀第三年；闰十三，指本年十三个月，闰月年。具体闰几月，后面会依据无中气置闰法则推算。

无中气月的推算：

二十四气间距（365+1/4）÷24＝15+7/32

例如：立春为节气，雨水为中气，惊蛰为节气，春分为中气，立春至雨水间隔15又7/32日，雨水至惊蛰间隔15又7/32日。则相邻两个中气间隔30又14/32日，雨水至春分间隔30又14/32日，因为两中气中间还有一个惊蛰节气。历法中朔望月平均29.5天。中气间隔天数减平均朔望月天数＝（30又14/32）－（29又1/2）＝30/32 即平均下来两者每月差30/32日，约33个月后累积差数必然会大于30天，已经超过一个朔望月30天大月的长度了。破坏了中气与月份对应关系，这时要置闰月了。

【浅释】大余四十八。本年初的朔日干支序号为48，查干支表为壬子。计算：第一年大余54，加第二年大余54，54＋54－60＝48，即丙辰年十一月壬子朔（此时进入了游兆执徐～丙辰年）。

【浅释】小余六百九十六，朔余计算：348/940＋348/940＋696/940日，此处只记分子696，不写分母940。这就是端蒙单阏年交接到游兆执徐年十一月（岁首）的朔余。

【浅释】大余十，5（第一年气干支余数365+1/4－60*6取整数部）＋5（第二年余数取整）＝10，查一甲数次表10为甲戌，即该年十一月甲戌冬至。可通过前面算出的十一月朔日干支壬子，推算出冬至甲戌为阴历十一月廿二。

【浅释】小余十六，8（一年气余8/32）＋8（二年气余8/32）=16分，此处只记分子16，不写分母32。气余分数逐年余分积累，满32整进余留，因为适应历法只能整数纪日。

排出三年（丙辰年）朔闰气干支表（此处略，详细可参阅《古代天文历法讲座》相关内容）。

第三年丙辰年，阴历全年十三个月，闰月年。该年有闰月，七大月六小月，而且有连大月，全年29×6＋30×7＝384天。闰月位置按无中气置闰法则。

正常年份阴历每个月都固定对应一个中气。现未月（六月）之后的这个月没有中气，只有节气，就定为闰月，月名承上个月名前加“闰”字。游兆执徐三年阴历六月之后置闰六月，大月，接下来申月（七月）也是大月，出现了连大月。这一年是既有闰月，又有连大月。

六、四分历成果应用列举

四分历主要应用方面：天文、古历辨析、历史大事史实考、考古器物铭文日期、历史文献订正。

1.厘清四分历与古六历的关系。

四分历已具备完整的系统性历法结构，包括岁实、朔策、闰周、节气及章、蔀、纪、元等，朔余按排大小月，二十四气历法定位，气余分确定交气准确时间，阴阳合历，后世历法的基础。

古六历：黄帝历、颛顼历、夏历、殷历、周历、鲁历，历名托古，实为四分历，区别在于岁首、历元、使用地域。如鲁历主要通行于鲁国，颛顼历为秦及汉初官方历法。四分历深远影响中国历法体系建立。

厘清三正论产生的根源，迷信五行五德。四分历之前，历法处于观象授时阶段，岁首不同，是失闰改变建正所致。

2.四分历的误差修订与扩展应用

张汝舟明确认识四分历的误差，并将修正值年差分3.06分应用于推算，验证上推千百年至西周殷商，下推千百年至今，所得朔闰也能与实际天象密近，扩大了四分历的应用场域。

以公元前427年为界，建立前加后减模型，以所求年份与427年的差再乘以年差分值3.06，构成积年线性纠偏数值，应用到历史记录天象的历法推断和判断。他还应用失闰限、失朔限辅助判断历法推步是否准确。

3.《诗·七月》用历建丑

“七月流火”，观象授时阶段周族先人对用历与天象的实录，“流火”是授时主星大火星（星宿二）南天偏西30度的天象。《诗·七月》反复咏唱“七月流火”，用历在史学家和气象物候学家眼中有许多迷团，七月流火的天象和诗中多处物候的精确描述，是生活的写实。张汝舟考订《诗经·七月》用历建丑，七月相当于夏历六月。用丑正能通释全诗。

4.商周断代

引用和阐述观点：文献中天文记录/利簋铭文/穆天子传/王国维月相四分说到张汝舟月相定点说/失闰限和失朔限/刘歆三统历系统性误差。