初中数学新华东师大版九年级上册全册教案(2026秋)

华东师大版九年级数学上册

教

学

设

计

2026秋

第20章 二次根式

20.1认识二次根式

【教学目标】

1.能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性；(难点)

2.能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围.(重点)

【教学过程】

一、情境导入

问题1：你能用带有根号的式子填空吗？

(1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S的正方形的边长为________.

(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为________m.

(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与落下的高度h(单位：m)满足关系h＝5t2，如果用含有h的式子表示t，则t＝______.

问题2：上面得到的式子，，，5(h)分别表示什么意义？它们有什么共同特征？

二、合作探究

探究点一：二次根式的定义

下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？

(1)；(2)；(3)；

(4)13(3)；(5)6(1)；(6)(x≤3)；

(7)(x≥0)；(8)；(9)；

(10)(ab≥0).

解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数.

解：因为，，6(1)＝30(1)，(x≤3)，，(ab≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式.13(3)的根指数不是2，，(x≥0)，的被开方数小于0，所以不是二次根式.

方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；(2)被开方数是非负数.

探究点二：二次根式有意义的条件

【类型一】根据二次根式有意义求字母的取值范围

求使下列式子有意义的x的取值范围.

(1)4－3x(1)；(2)x－2(3－x)；(3)x(x＋5).

解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解.

解：(1)由题意得4－3x＞0，解得x＜3(4).当x＜3(4)时，4－3x(1)有意义；

(2)由题意得x－2≠0，(3－x≥0，)解得x≤3且x≠2.当x≤3且x≠2时，x－2(3－x)有意义；

(3)由题意得x≠0，(x＋5≥0，)解得x≥－5且x≠0.当x≥－5且x≠0时，x(x＋5)有意义.

方法总结：含二次根式的式子有意义的条件：

(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零.

【类型二】利用二次根式的非负性求解

 (1)已知a、b满足＋|b－|＝0，解关于x的方程(a＋2)x＋b2＝a－1；

(2)已知x、y都是实数，且y＝＋＋4，求yx的平方根.

解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非负性即可求得x的值，进而求得y的值，进而可求出yx的平方根.

解：(1)根据题意得＝0，(2a＋8＝0，)解得.(a＝－4，)则(a＋2)x＋b2＝a－1，即－2x＋3＝－5，解得x＝4；

(2)根据题意得3－x≥0，(x－3≥0，)解得x＝3.则y＝4，故yx＝43＝64，±＝±8，∴yx的平方根为±8.

方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.

探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题

先观察下列等式，再回答下列问题.

①22(1)＝1＋1(1)－1＋1(1)＝12(1)；

②32(1)＝1＋2(1)－2＋1(1)＝16(1)；

③42(1)＝1＋3(1)－3＋1(1)＝112(1).

(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出52(1)的结果；

(2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用

含n的式子表示的等式(n为正整数).

解析：(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是n＋1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子.

解：(1)52(1)＝1＋4(1)－4＋1(1)＝120(1)；

(2)（n＋1）2(1)＝1＋n(1)－n＋1(1)＝1n（n＋1）(1)(n为正整数).

方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来.

【板书设计】

1.二次根式的定义

一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.

2.二次根式有意义的条件

被开方数(式)为非负数；有意义⇔a≥0.

【教学后记】

20.2 二次根式的乘除

1.二次根式的乘法

【教学目标】

1.掌握二次根式乘法法则；(重点)

2.会进行二次根式的乘法运算.(重点、难点)

【教学过程】

一、情境导入

小颖家有一块长方形菜地，长m，宽m，那么这个长方形菜地的面积是多少？

二、合作探究

探究点：二次根式的乘法

【类型一】二次根式的乘法法则成立的条件

式子·＝成立的条件是(　　)

A.x≤2 B.x≥－1

C.－1≤x≤2 D.－1＜x＜2

解析：根据题意得2－x≥0，(x＋1≥0，)解得

－1≤x≤2.故选C.

方法总结：运用二次根式的乘法法则：·＝(a≥0，b≥0)，必须注意被开方数均是非负数这一条件.

【类型二】二次根式的乘法运算

计算：

(1)×；(2)4(1)×；

(3)6×(－3)；

(4)4(3)·a(6b2).

解析：有理式的乘法运算律及乘法公式对二次根式同样适用，计算时注意最后结果要化为最简形式.

解：(1)×＝＝；

(2)4(1)×＝×64(1)＝＝4；

(3)6×(－3)＝－18＝－18＝－18×9＝－162；

4(3)·a(6b2)＝－4(3)·a(2)·a(6b2)＝－2a(3)·＝－2a(3)·6b＝－a(9b).

方法总结：在运算过程中要注意根号前的因数是带分数时，必须化成假分数，如果被开方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘.

【板书设计】

【教学后记】

2.积的算术平方根

【教学目标】

1.掌握积的算术平方根的性质；(重点)

2.会用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简.(难点)　　　　　　　　　　　　　　　

【教学过程】

一、情境导入

计算：

(1)×与；

(2)×与.

思考：

对于×与呢？

从计算的结果我们发现×＝，这是什么道理呢？

二、合作探究

探究点一：积的算术平方根的性质

化简：

(1)；

(2)；

(3).

解析：主要运用公式＝·(a≥0，b≥0)和＝a(a≥0)对二次根式进行化简.

解：(1)＝＝＝××＝6×4×3＝72；

(2)＝＝＝×＝12×5＝60；

(3)＝＝·＝|x＋3y|.

方法总结：利用积的算术平方根的性质可以对二次根式进行化简.

探究点二：二次根式乘法的综合应用

小明的爸爸做了一个长为cm，宽为cm的矩形木相框，还想做一个与它面积相等的圆形木相框，请你帮他计算一下这个圆的半径(结果保留根号).

解析：根据矩形的面积公式、圆的面积公式，构造等式进行计算.

解：设圆的半径为rcm.因为矩形木相框的面积为×＝168π(cm2)，所以πr2＝168π，r＝2cm(r＝－2舍去).

答：这个圆的半径是2cm.

方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想.

【板书设计】

1.二次根式的乘法法则：

·＝(a≥0，b≥0)

2.积的算术平方根：

＝·(a≥0，b≥0)

【教学后记】

3.二次根式的除法

【教学目标】

1.掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算；(重点)

2.能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算.(难点)

【教学过程】

一、情境导入

计算下列各题，观察有什么规律？

(1)49(36)＝________；49(36)＝________.

(2)16(9)＝________；16(9)＝________.

49(36)________49(36)；16(9)________16(9).

二、合作探究

探究点一：二次根式的除法

【类型一】二次根式的除法运算

计算：

(1)0.19(0.76)；(2)－3(2)÷54(5)；

(3)2ab(6a2b)；(4)÷5(4).

解析：本题主要运用二次根式的除法法则来进行计算，若被开方数是分数，则被开方数相除时，可先用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行计算，再进行约分.

解：(1)0.19(0.76)＝0.19(0.76)＝＝2；

(2)－3(2)÷54(5)＝－54(5)＝－5(54)＝－＝－3；

(3)2ab(6a2b)＝2ab(6a2b)＝；

(4)÷5(4)＝－÷55(9)＝－×5(1)×9(5)＝－5(1)×3(5)＝－3(1).

方法总结：利用二次根式的除法法则进行计算时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分化简.

【类型二】二次根式的乘除混合运算

计算：

(1)9÷32(1)×2(3)3(2)；

(2)a2··ba(b)÷a(9b2).

解析：先把系数进行乘除运算，再根据二次根式的乘除法则运算.

解：(1)原式＝9×3(1)×2(3)×3(8)＝18；

(2)原式＝a2·b·9b2(a)＝3(a2b).

方法总结：二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数.

探究点二：商的算术平方根的性质

【类型一】利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围

若2－a(a)＝2－a(a)，则a的取值范围是(　　)

A.a＜2 B.a≤2

C.0≤a＜2 D.a≥0

解析：根据题意得2－a＞0，(a≥0，)解得0≤a＜2.故选C.

方法总结：运用商的算术平方根的性质：a(b)＝a(b)(a＞0，b≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件.

【类型二】利用商的算术平方根的性质化简二次根式

化简：

(1)9(7)；　　(2)4a4b2(3c3)(a＞0，b＞0，c＞0).

解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根.

解：(1)9(7)＝9(16)＝9(16)＝3(4)；

(2)4a4b2(3c3)＝4a4b2(3c3)＝2a2b(c).

方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式.

探究点三：最简二次根式

在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由.

(1)；(2)3(1)；(3)2(5)；(4)；(5)5(4).

解析：根据满足最简二次根式的两个条件判断即可.

解：(1)＝3，被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式；

(2)3(1)＝3(3)，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；

(3)2(5)，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式；

(4)＝2(1)＝2(2)，被开方数含有小数，因此不是最简二次根式；

(5)5(4)＝5(9)＝5(5)，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式.

方法总结：解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：

(1)被开方数不含分母；

(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.

探究点四：二次根式除法的综合运用

座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其周期计算公式为T＝2πg(l)，其中T表示周期(单位：秒)，l表示摆长(单位：米)，g＝9.8米/秒2，假若一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声(π≈3.14)?

解析：由给出的公式代入数据计算即可.要先求出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到次数.

解：∵T＝2π9.8(0.5)≈1.42，T(60)＝1.42(60)≈42(次)，∴在1分钟内，该座钟大约发出了42次滴答声.

方法总结：解决本题的关键是正确运用公式.用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一.

【板书设计】

1.二次根式的除法运算

2.商的算术平方根

3.最简二次根式

被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

【教学后记】

20.3 二次根式的加减

【教学目标】

1.会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算；(重点)

2.熟练进行二次根式的加减运算，并运用其解决问题.(难点)

3.正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简.(难点)

【教学过程】

一、情境导入

小明家的客厅是长7.5m，宽5m的长方形，他要在客厅中截出两个面积分别为8m2和18m2的正方形铺不同颜色的地砖，问能否截出？

二、合作探究

探究点一：同类二次根式

已知最简二次根式与3a－4(a＋b)能够合并同类项，求a＋b的值.

解析：利用最简二次根式的概念求出a，b的值，再代入a＋b求解即可.

解：∵最简二次根式与3a－4(a＋b)能够合并同类项，∴a＋b＝2，2a＋b＝3a－4，解得a＝3，b＝－1，∴a＋b＝3＋(－1)＝2.

方法总结：根据同类二次根式的概念求待定字母的值时，应该根据同类二次根式的概念建立方程或方程组求解.

探究点二：二次根式的运算

【类型一】二次根式的加减运算

计算：－－()2＋|2－|.

解析：二次根式的加减运算应先化简，再合并同类二次根式.

解：原式＝2－3(3)－2＋2－＝－1(1)＝3(3).

方法总结：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并时系数相加减，根式不变.

【类型二】二次根式的四则运算

计算：

(1)2(1)3(2)×945(1)÷5(3)；

(2)48(1)÷2＋3(1)；

(3)－(＋2)÷.

解析：先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算.

解：(1)原式＝2(1)×9×3(5)＝2(1)×9×9(2)＝；

(2)原式＝3()÷2＋3(1)＝3(3)×＋3(1)＝3(14)＋3(1)＝5；

(3)原式＝－(＋2)÷3(1)＝－3(3＋2)＝－1－3(3).

方法总结：二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.

【类型三】二次根式的化简求值

先化简，再求值：a(a2－b2)÷a(2ab－b2)，其中a＝2＋，b＝2－.

解析：先将原式化为最简形式，再将a与b的值代入计算即可求出.

解：原式＝a(（a＋b）（a－b）)÷a(a2－2ab＋b2)＝a(（a＋b）（a－b）)·（a－b）2(a)＝a－b(a＋b).当a＝2＋，b＝2－时，原式＝3(3)＝3(4)＝3(3).

方法总结：化简求值时一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解.

【类型四】二次根式运算在实际生活中的应用

母亲节快到了，为了表示对妈妈的感恩，小号同学特地做了两张大小不同的正方形的壁画送给妈妈，其中一张面积为800cm2，另一张面积为450cm2，他想如果再用金色细彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他手上现有1.2m长的金色细彩带，请你帮他算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金色细彩带(≈1.414，结果保留整数)?

解析：先求出每张正方形壁画的边长，再根据正方形的周长公式求所需金色细彩带的长.

解：镶壁画所用的金色细彩带的长为：4×(＋)＝4×(20＋15)＝140≈197.96(cm).因为1.2m＝120cm＜197.96cm，所以小号的金色细彩带不够用.197.96－120＝77.96≈78(cm)，即还需买78cm的金色细彩带.

方法总结：利用二次根式来解决生活中的问题，应认真分析题意，注意计算的正确性与结果的要求.

【板书设计】

1.同类二次根式

2.二次根式的加减

▲篇幅有限 只能展示一小部分

此份资料非常齐全

【领取方式】

长按扫描以下二维码

资料包的获取很简单，希望大家珍惜我们的劳动成果。

作者：

声明：

1.“阿辉资源”微信公众号刊载此文，是由作者授权。若有错误或侵犯了您的合法权益，请及时与我们联系，我们将及时更正、删除或依法处理。

2.内容为作者独立观点，不代表“第一课件”立场。未经允许不得转载，授权事宜请与客服联系。

素材：本文图片来源网络，如有侵权请联系删除。

商务：微信：hz0088fu