1.2 数学的预见性：无理数是毕达哥拉斯定理的推论毕达哥拉斯曾说：万物皆数，认为世界一切的秩序都可用整数比（有理数）表示出来。（我们都知道整数与分数统称有理数，整数可以看成是分母是1的分数，所以有理数都可以写成整数比）取一根单弦琴（monochord），量好全长 L：弦长 L → 基准音 do
弦长 ½ L → 高八度 do′ （2:1）
弦长 ⅔ L → 高五度 sol （3:2）
弦长 ¾ L → 高四度 fa （4:3）
这些比例今天仍叫“纯律骨架”。毕达哥拉斯把耳朵的“和谐”翻译成“整数比”，提出宇宙就是一张调好音的琴——行星轨道、原子比例、甚至“正义”都应符合简单整数比。
但是，毕达哥拉斯定理被证明之后，他的“万物皆数”（有理数）就被打脸了。举个最简单的例子，边长为1的正方形，它对角线是多长呢？能不能表示成有理数（也就是整数比）？那这个比值是什么呢？传说最先发现矛盾的是毕达哥拉斯的学生希帕索斯，他认为有理数中没有谁的平方是2，觉得世界上一定存在一种和有理数不一样的数。这个质疑吓坏了毕达哥拉斯学派，就好像本来以为修建了一座完美的大厦，突然有人告诉你大厦地基有一处是空的，上面随之摇摇欲坠了。学派中的人为了维护“完美”，偷偷把希帕索斯扔大海里了。300年后，希帕索斯的质疑得到了数学家的证明，无理数被发现了。世界了还存无限的，不循环的小数（无法写成整数比）。预备定义：先要知道任何有理数都可以写成 p/q 的形式，其中 p、q 互质 （最简分数），q≠0。
反证法：
1 假设 √2 是有理数，那么存在互质的整数 p、q，使得√2 = p/q
两边平方2 = p²/q² ⇒ p² = 2q²
所以得出 p² 是2的倍数，所以p²偶数 ⇒ p 必为偶数（因为奇数的平方 仍是奇数）。
令 p = 2k，k是整数。
代入p² = 2q² 即 (2k)² = 2q² ⇒ 4k² = 2q² ⇒ q² = 2k²
同理 q² 也是偶数 ⇒ q 也是偶数。
2 出现矛盾 p、q 都是偶数 ⇒ 它们至少有公因数 2，与“互质”前提矛盾。
3 结论 假设错误，√2 不能写成任何最简分数 ⇒ √2 不是有理数 ⇒无理数存在，证毕。
在遇到数学和现实产生矛盾时，我们需要仔细检查推理的过程是否有疏漏，这种情况很多，若确定推理没问题，那么我们就要质疑起点是不是有错误，这种情况危机也是转机，人们往往在化解危机之后，会拓展认知，建立新的理论与秩序。约翰.霍普金斯大学的天体物理学家亚当.赖斯等人通过计算，发现宇宙的质量是负数，这怎么可能？难道是数学错了？还是我们对宇宙的理解完全错了？赖斯在做了仔细的检查后首先排除了推理有误的可能性，然后他们不得不承认数学的结论是对的。出错的是我们的眼睛（包括观测的仪器）。于是他们认定宇宙中一定存在我们看不见，更不了解的东西，就是所谓的暗能量，赖斯等人也因此获得得了2011年诺贝尔物理学奖。总之，数学的预见性使数学家们的工作往往用推理先推出结论（这个结论有什么用数学家们可能根本不知道），然后才可能被实验验证的并广泛应用。反过来，对于模糊不清的事件，我们只需在逻辑上推演一遍，就能把问题的真相搞清楚。所以数学不会错，犯错的是我们的眼睛。
