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【免费下载】25-26学年同步培优讲义培优课构造法求数列的通项公式(教师版

2026-10-30 01:22:08

培优课构造法求数列的通项公式

题型一	形如a_n_＋₁＝pa_n＋q（p，q≠0且p≠1）

【例1】在数列{a_n}中，a₁＝_n_＋₁＝a_n＋∈N^*，则a_n＝×（）ⁿ^＋²＋.

解析：因为a_n_＋₁＝a_n＋a_n_＋₁＋λ＝（a_n＋λ），则a_n_＋₁＝a_n－λ，所以－λ＝λ＝－a_n_＋₁－＝（a_n－），所以＝a₁－＝a_n－是首项为的等比数列，所以a_n－＝×（）ⁿ^－¹＝×（）ⁿ^＋^2，所以a_n＝×（）ⁿ^＋²＋.

通性通法

求解递推公式形如a_n_＋₁＝pa_n＋q（p≠0，q≠0且p≠1）的数列{a_n}的通项公式的关键：一是利用待定系数法构造，即构造a_n_＋₁＋λ＝p（a_n＋λ）的形式；二是找到{a_n＋λ}为等比数列（其中 λ＝）.

【跟踪训练】

已知数列{a_n}中，a₁＝1，a_n_＋₁＝2a_n＋3，则a₁₀＝（）

A.2 045B.1 021C.1 027D.2 051

解析：A∵a_n_＋₁＝2a_n＋3，可变形为a_n_＋₁＋3＝2（a_n＋3），故数列{a_n＋3}为等比数列，首项为4，公比为2，∴a_n＋3＝4·2ⁿ^－¹.∴a_n＝4·2ⁿ^－¹－3＝2ⁿ^＋¹－3，∴a₁₀＝2045.故选A.

题型二	形如a_n_＋₁＝pa_n＋f（n）（p≠0）

角度1　f（n）为一次多项式

【例2】在数列{a_n}中，a₁＝1，a_n_＋₁＝3a_n＋2n＋1，则数列{a_n}的通项公式为a_n＝3ⁿ－n－1.

解析：设a_n_＋₁＋A（n＋1）＋B＝3（a_n＋An＋B），∴a_n_＋₁＝3a_n＋2An＋2B－A.与原式比较系数得解得∴a_n_＋₁＋（n＋1）＋1＝3（a_n＋n＋1）.令b_n＝a_n＋n＋1，则b_n_＋₁＝3b_n且b₁＝a₁＋1＋1＝3≠0，∴{b_n}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴b_n＝3·3ⁿ^－¹＝3ⁿ，∴a_n＝3ⁿ－n－1.

通性通法

一般地，当f（n）为一次多项式时，即数列的递推关系为a_n_＋₁＝Aa_n＋Bn＋C型，可转化为a_n_＋₁＋λ₁（n＋1）＋λ₂＝A（a_n＋λ₁n＋λ₂）的形式来求通项公式.

角度2　f（n）为指数式

【例3】已知数列{a_n}中，a₁＝6，a_n_＋₁＝2a_n＋3ⁿ^＋^1，则a_n＝3ⁿ^＋¹－3×2ⁿ^－¹.

解析：令a_n_＋₁－A·3ⁿ^＋¹＝2（a_n－A·3ⁿ），则a_n_＋₁＝2a_n＋·3ⁿ^＋^{1，由已知，}＝1，得A＝3，所以a_n_＋₁－3×3ⁿ^＋¹＝2（a_n－3×3ⁿ），即a_n_＋₁－3ⁿ^＋²＝2（a_n－3ⁿ^＋¹），又a₁－3²＝6－9＝－3≠0，所以{a_n－3ⁿ^＋¹}是首项为－3，公比为2的等比数列，于是a_n－3ⁿ^＋¹＝－3×2ⁿ^－^1，故a_n＝3ⁿ^＋¹－3×2ⁿ^－¹.

通性通法

形如a_n_＋₁＝pa_n＋qⁿ^＋¹的递推关系求通项公式，一般可转化为a_n_＋₁＋λqⁿ^＋¹＝p（a_n＋λqⁿ）的形式，构造出一个新的等比数列{a_n＋λqⁿ}，然后再求a_n.

【跟踪训练】

1.（2024·安阳月考）在数列{a_n}中，a₁＝2，a₂＝3，a_n_＋₂＝2a_n_＋₁－a_n，则{a_n}的通项公式为a_n＝n＋1.

解析：设a_n_＋₂－x₁a_n_＋₁＝x₂（a_n_＋₁－x₁a_n），结合已知可得x₁＝x₂＝1，a₂－a₁＝3－2＝1≠0，于是{a_n_＋₁－a_n}是首项为1，公比为1的等比数列，所以a_n_＋₁－a_n＝1，所以{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列，所以a_n＝n＋1.

2.在数列{a_n}中，a₁＝1，a_n_＋₁＝2a_n－2^n，则a₁₇＝－15×2¹⁶.

解析：由题意可得＝－－＝－是首项为＝－的等差数列，故＝＋（17－1）×（－）＝－a₁₇＝－15×2¹⁶.

题型三	形如a_n_＋₁＝（p，q，r≠0）

【例4】在数列{b_n}中，若b₁＝－1，b_n_＋₁＝∈N^*，试求{b_n}的通项公式.

解：对递推式b_n_＋₁＝的两边同时取倒数，得＝

即＝2·＋3，

因此＋3＝2·（＋3），＋3＝2，

故{＋3}是以2为首项，2为公比的等比数列，

于是＋3＝2·2ⁿ^－^1，可得b_n＝∈N^*.

通性通法

一般地，形如a_n_＋₁＝（p，q，r≠0）结构的递推式往往可以通过等式两边同时取倒数变形构造出线性递推式a_n＝Aa_n_－₁＋B（n≥2，A，B是常数），进而求出原数列的通项公式.

【跟踪训练】

已知数列{a_n}满足a₁＝1，a_n_＋₁＝（n∈N^*），若b_n＝log₂（＋1），试求数列{b_n}的通项公式.

解：由a_n_＋₁＝＝1＋＋1＝2（＋1），

又＋1＝2，所以数列{＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，

所以＋1＝2·2ⁿ^－¹＝2^n，所以b_n＝log₂（＋1）＝log₂2ⁿ＝n.

1.已知数列{a_n}满足a_n_＋₁＝2a_n＋1，a₁＝1，则a_n＝（）

A.2ⁿ^－¹B.2ⁿ^－¹－1C.2ⁿD.2ⁿ－1

解析：D由a_n_＋₁＝2a_n＋1得a_n_＋₁＋1＝2（a_n＋1），而a₁＋1＝2，故{a_n＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以a_n＋1＝2^n，即a_n＝2ⁿ－1.故选D.

2.已知数列{a_n}中，a₁＝1，a_n_＋₁＝a_n＝（）

A.2n－1B.2n＋1

C.D.

解析：C∵a_n_＋₁＝，∴＝＋2，即－＝2，∴{}是公差为2的等差数列.又a₁＝1，∴＝1＋2（n－1）＝2n－1，即a_n＝.

3.若数列{a_n}满足a₁＝1，且a_n_＋₁＝4a_n＋2^n，则a₅＝496.

解析：因为a_n_＋₁＝4a_n＋2^n，所以a_n_＋₁＋2ⁿ＝4（a_n＋2ⁿ^－¹），所以数列是等比数列，首项为2，公比为4，则a_n＋2ⁿ^－¹＝2×4ⁿ^－¹＝2²ⁿ^－^1，可得a_n＝2²ⁿ^－¹－2ⁿ^－^1，则a₅＝2²^×⁵^－¹－2⁵^－¹＝2⁹－2⁴＝496.

1.数列{a_n}满足a_n_＋₁＝λa_n－1（n∈N^*，λ∈R且λ≠0），若数列{a_n－1}是等比数列，则λ的值为（）

A.1B.－1C.D.2

解析：D由a_n_＋₁＝λa_n－1，得a_n_＋₁－1＝λa_n－2＝λ（a_n－）.∵数列{a_n－1}是等比数列，∴＝1，λ＝2.

2.若在数列{a_n}中，a₁＝1，a_n_＋₁＝a_n＋＋a₉₉＝（）

A.2 550B.2 500C.2 450D.2 401

解析：B因为a_n_＋₁＝a_n＋＋＝（＋）^2，所以－＝{}是首项为＝1，公差为的等差数列，可求得a_n＝（n＋1）^2，故a₉₉＝＝2500.

3.已知数列{a_n}满足a₁＝_n_＋₁＝3a_n－4n＋2，数列{b_n}满足b_n＝a_n－2n，则数列{b_n}的通项公式为（）

A.b_n＝3ⁿB.b_n＝3ⁿ^－¹

C.b_n＝3ⁿ^－²D.b_n＝3ⁿ^＋¹

解析：C因为a_n_＋₁＝3a_n－4n＋2，所以a_n_＋₁－2（n＋1）＝3（a_n－2n），又b_n＝a_n－2n≠0，所以b_n_＋₁＝3b_n，所以＝3，又b₁＝a₁－2＝{b_n}是首项为3的等比数列，所以b_n＝·3ⁿ^－¹＝3ⁿ^－^2，故选C.

4.已知正项数列{a_n}中，＋＋…＋＝{a_n}的通项公式为（）

A.a_n＝nB.a_n＝n²

C.a_n＝D.a_n＝

解析：B∵＋＋…＋＝，∴＋＋…＋＝（n≥2），两式相减得＝－＝n（n≥2），∴a_n＝n²（n≥2），①.又当n＝1时，＝＝1，a₁＝1，适合①式，∴a_n＝n^2，n∈N^*.故选B.

5.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁＝2，S_n_＋₁＝4a_n＋2，则a₁₂＝（）

A.20 480B.49 152

C.60 152D.89 150

解析：B由题意得S₂＝4a₁＋2，所以a₁＋a₂＝4a₁＋2，解得a₂＝8，又a_n_＋₂＝S_n_＋₂－S_n_＋₁＝4a_n_＋₁－4a_n，于是a_n_＋₂－2a_n_＋₁＝2（a_n_＋₁－2a_n），因此数列{a_n_＋₁－2a_n}是以a₂－2a₁＝4为首项，2为公比的等比数列，即a_n_＋₁－2a_n＝4×2ⁿ^－¹＝2ⁿ^＋^1，于是－＝1，因此数列是以1为首项，1为公差的等差数列，得＝1＋（n－1）×1＝n，即a_n＝n·2ⁿ.所以a₁₂＝12×2¹²＝49152.

6.数列{a_n}满足a_n_＋₁＝2a_n＋3，n∈N^*，若a_{2 025}≥a_1，则a₁的取值范围为（）

A.（－∞，－3]B.（－∞，－3）

C.（－3，＋∞）D.[－3，＋∞）

解析：D由a_n_＋₁＝2a_n＋3可得a_n_＋₁＋3＝2（a_n＋3），当a₁＝－3时，a_n＝－3，满足题意；当a₁≠－3时，＝2，所以数列{a_n＋3}是首项为a₁＋3，公比为2的等比数列，所以a_n＋3＝（a₁＋3）×2ⁿ^－^1，所以a_n＝（a₁＋3）×2ⁿ^－¹－3，所以a₂₀₂₅＝（a₁＋3）×2²⁰²⁴－3≥a_1，所以（a₁＋3）×2²⁰²⁴≥a₁＋3，所以a₁＞－3.综上a₁≥－3.

7.（多选）已知数列{a_n}中，a₁＝1，a_n·a_n_＋₁＝2^n，n∈N^{*，则下列说法正确的是}（）

A.a₄＝4B.{a₂_n}是等比数列

C.a₂_n－a₂_n_－₁＝2ⁿ^－¹D.a₂_n_－₁＋a₂_n＝2ⁿ^＋¹

解析：ABC∵a₁＝1，a_n·a_n_＋₁＝2ⁿ，∴a₂＝2，a₃＝2，a₄＝4，由a_n·a_n_＋₁＝2ⁿ可得a_n_＋₁·a_n_＋₂＝2ⁿ^＋¹，∴＝2，∴{a₂_n}，{a₂_n_－₁}分别是以2，1为首项，公比为2的等比数列，∴a₂_n＝2·2ⁿ^－¹＝2^n，a₂_n_－₁＝1·2ⁿ^－¹＝2ⁿ^－¹，∴a₂_n－a₂_n_－₁＝2ⁿ^－^1，a₂_n_－₁＋a₂_n＝3·2ⁿ^－¹≠2ⁿ^＋^{1，综上可知，A}、B、C正确，D错误.

8.定义：若＝q（n∈N^*，q为非零常数且q≠1），则称{a_n}为“差等比数列”，已知在“差等比数列”{a_n}中，a₁＝1，a₂＝2，a₃＝4，则a_{2 025}－a_{2 024}＝　2^{2 023}.

解析：在“差等比数列”{a_n}中，a₁＝1，a₂＝2，a₃＝4，可得＝2，a₂－a₁＝1，即数列{a_n_＋₁－a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，可得a_n_＋₁－a_n＝2ⁿ^－^1，则a₂₀₂₅－a₂₀₂₄＝2²⁰²³.

9.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁＝1，S_n＝a_n_＋₁－3，若S_k≥125，则k的最小值为6.

解析：由S_n＝a_n_＋₁－3＝S_n_＋₁－S_n－3，得S_n_＋₁＋3＝2（S_n＋3），又S₁＝a₁＝1，所以S₁＋3＝4，所以{S_n＋3}是首项为4，公比为2的等比数列，所以S_n＋3＝4×2ⁿ^－¹＝2ⁿ^＋^1，S_n＝2ⁿ^＋¹－3，所以S_k＝2^k^＋¹－3≥125，解得k≥6.所以k的最小值为6.

10.（2024·韶关质检）数列{a_n}满足a₁＋2a₂＋3a₃＋…＋na_n＝（n－1）·2ⁿ＋1，则a₇＝64.

解析：当n≥2时，由a₁＋2a₂＋3a₃＋…＋na_n＝（n－1）·2ⁿ＋1，①，得a₁＋2a₂＋3a₃＋…＋（n－1）a_n_－₁＝（n－2）·2ⁿ^－¹＋1，②，①－②，得na_n＝[（n－1）·2ⁿ＋1]－[（n－2）·2ⁿ^－¹＋1]＝n·2ⁿ^－¹（n≥2），当n＝1时，a₁＝1符合上式，所以a_n＝2ⁿ^－^1，则a₇＝64.

11.已知a₁＝1，当n≥2时，a_n＝a_n_－₁＋2n－1，求{a_n}的通项公式.

解：当n≥2时，设a_n＋An＋B＝[a_n_－₁＋A（n－1）＋B]，即a_n＝a_n_－₁－An－A－B，与原式比较系数得解得所以a_n－4n＋6＝[a_n_－₁－4（n－1）＋6]，

所以数列{a_n－4n＋6}是首项为a₁－4＋6＝3，公比为的等比数列，

所以a_n－4n＋6＝3·（）ⁿ^－^1，所以a_n＝＋4n－6，n∈N^*.

12.已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁＝2，a_n＋b_n_－₁＝3（n≥2）.

（1）若a_n＝b_n，求{a_n}的通项公式；

（2）若b₁＝0，a_n_－₁＋b_n＝1（n≥2），证明{a_n}为等差数列，并求{a_n}和{b_n}的通项公式.

解：（1）当a_n＝b_n，n≥2时，a_n_－₁＝b_n_－_1，

所以a_n＋b_n_－₁＝3，即a_n＝－a_n_－₁＋3，

整理得a_n－＝－（a_n_－₁－），

所以{a_n－}是以a₁－＝为首项，－1为公比的等比数列.

故a_n－＝×（－1）ⁿ^－^1，

即a_n＝＋×（－1）ⁿ^－¹.

（2）当n≥2时，由a_n＋b_n_－₁＝3，得a_n_＋₁＋b_n＝3，

又a_n_－₁＋b_n＝1，

所以a_n_＋₁－a_n_－₁＝2（n≥2）.

因为b₁＝0，所以a₂＝3，

则{a₂_k_－₁}是以a₁＝2为首项，2为公差的等差数列，a₂_k_－₁＝2＋（k－1）×2＝2k，k∈N^*；

{a₂_k}是以a₂＝3为首项，2为公差的等差数列，a₂_k＝3＋（k－1）×2＝2k＋1，k∈N^*.

综上所述，a_n＝n＋1.

所以a_n－a_n_－₁＝（n＋1）－n＝1，n≥2，

故{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列.

当n≥2时，b_n＝1－a_n_－₁＝1－n，且b₁＝0满足b_n＝1－n，

所以b_n＝1－n.

13.1979年春，美籍华裔物理学家、诺贝尔物理学奖获得者李政道博士，在访问中国科技大学时，向科大少年班学生提出了一个“五猴分桃”的趣题：有五只猴子在海边发现一堆桃子，决定第二天来平分.第二天清晨，第一只猴子来了，它左等右等，见别的猴子还没来，便自作主张把桃子分成相等的五份，分完后还剩一个，它便把剩下的那个顺手扔到海里，自己拿了五份中的一份走了.第二只猴子来了，它不知道刚才发生的事，也把桃子分成相等的五份，还是多一个，它也扔掉一个，自己拿了一份走了.以后每只猴子来时也都遇到类似情形，也全都照此办法处理.问：原来至少有多少个桃子？最后至少有多少个桃子？