【免费下载】25-26学年同步培优讲义第2课时 双曲线及其标准方程(二)(学生版

第2课时　双曲线及其标准方程（二）

【例1】　如图，在△ABC中，已知｜AB｜＝4为线段AB的中点，且三内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，试求顶点C的轨迹方程.

通性通法

与曲线有关的轨迹问题的求解步骤

第一步：根据题设建立适当的平面直角坐标系，并结合图形灵活运用条件确定动点满足的等量关系式；

第二步：根据动点满足的等量关系式的几何意义，结合有关曲线的定义确定轨迹的形状；

第三步：确定曲线方程中的参数并写出方程；

第四步：验证所得到的曲线方程是否满足题意.

【跟踪训练】

如图所示，已知定圆F₁：（x＋5）²＋y²＝1，定圆F₂：（x－5）²＋y²＝16，动圆M与定圆F_1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.

【例2】（2024·济宁月考）已知定点A的坐标为（1，4），点F是双曲线－＝1的左焦点，点P是双曲线右支上的动点，则｜PF｜＋｜PA｜的最小值为.

通性通法

设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0），F_1，F2分别为双曲线的左、右焦点，Q（x_0，y0）为平面上一定点，M为双曲线右支上任意一点.

（1）若定点Q（x_0，y0）与双曲线右焦点F₂在双曲线右支的同侧，则｜MQ｜＋｜MF₂｜的最小值是｜QF₁｜－2a，最大值不存在；

（2）若定点Q（x_0，y0）与双曲线右焦点F₂在双曲线右支的异侧，则｜MQ｜＋｜MF₂｜的最小值是｜QF₂｜，最大值不存在.

【跟踪训练】

（2024·商丘月考）P为双曲线x²－＝1右支上一点，M，N分别是圆（x＋4）²＋y²＝4和（x－4）²＋y²＝1上的点，则｜PM｜－｜PN｜的最大值为.

【例3】　由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航.某日，甲舰在乙舰正东方向6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4 km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？

通性通法

利用双曲线解决实际问题的步骤

（1）建立适当的坐标系；

（2）求出双曲线的标准方程；

（3）根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题（注意实际意义）.

【跟踪训练】

某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处（如图），｜AP｜＝100 m，｜BP｜＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工.

1.已知点F₁（0，－13），F₂（0，13），动点P到F₁与F₂的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为（）

A.y＝0B.y＝0（｜x｜≥13）

C.x＝0（｜y｜≥13）D.以上都不对

2.（2024·淮安月考）相距4k m的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2 s，若声速为每秒k m，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是（）

A.圆　　B.双曲线

C.椭圆　　D.直线

3.已知点A（0，2），B（0，－2），C（3，2），若动点M（x，y）满足｜MA｜＋｜AC｜＝｜MB｜＋｜BC｜，求点M的轨迹方程.

提示：完成课后作业　第三章　3.23.2.1　第2课时

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