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第2课时双曲线的标准方程及性质的应用

1.“直线与双曲线有唯一公共点”是“直线与双曲线相切”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.（2024·周口月考）直线y＝x－1被双曲线2x²－y²＝3所截得的弦的中点坐标是（）

A.（1，2）B.（－2，－1）

C.（－1，－2）D.（2，1）

3.已知F是双曲线C：x²－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）

A.B.

C.D.

4.已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若｜AB｜＝2（）

A.x²－y²＝6B.x²－y²＝9

C.x²－y²＝16D.x²－y²＝25

5.（多选）双曲线的标准方程为x²－＝1，则下列说法正确的是（）

A.该曲线两顶点的距离为2

B.该曲线与双曲线y²－＝1有相同的渐近线

C.该曲线上的点到右焦点的距离的最小值为1

D.该曲线与直线l：y＝（x－2）有且仅有一个公共点

6.（多选）（2024·湖州月考）已知平面上两点M（－5，0）和N（5，0），若直线上存在点P使｜PM｜－｜PN｜＝6，则称该直线为“单曲型直线”.下列直线中是“单曲型直线”的有（）

A.3y＝x＋1B.y＝2

C.y＝xD.y＝2x＋1

7.若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）与直线y＝2x无交点，则离心率e的取值范围是.

8.已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x²－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x²＋y²＝5上，则实数m＝.

9.设动点M到定点F（3，0）的距离与它到直线l：x＝的距离之比为M的轨迹方程为.

10.双曲线的两条渐近线的方程为y＝±x，且经过点（3，－2）.

（1）求双曲线的方程；

（2）过双曲线的右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于A，B两点，求｜AB｜.

11.（2024·扬州月考）若直线y＝kx与双曲线x²－y²＝1的两支各有一个交点，则实数k的取值范围是（）

A.（－1，0）B.（0，1）

C.（－1，1）D.（1，＋∞）

12.过双曲线x²－＝1的右焦点F作直线l，交双曲线于A，B两点，若｜AB｜＝4，则这样的直线l有（）

A.1条B.2条

C.3条D.4条

13.过双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为.

14.（2024·漳州月考）已知双曲线C的焦点在x轴上，其渐近线方程为y＝±x，实轴长为2.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）过点P（0，1）的直线与双曲线C的左、右两支各交于一点，求该直线斜率的取值范围.

15.已知点A（3，1），双曲线x²－＝1，F为双曲线的右焦点，P是双曲线右支上的动点，则2｜PA｜＋｜PF｜的最小值为　　　　，此时点P的坐标为.

16.（2024·郑州月考）祖暅，祖冲之之子，是我国南宋时期的数学家.他提出了体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”.意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线C的焦点在y轴上，离心率为（）.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）若直线x＝0，x＝1在第一象限内与C及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，求阴影图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积.

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