培优课等差数列
【例1】已知两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若
＝
＝（）
A.
B.
C.
D.
通性通法
若{an}，{bn}为等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则
＝
＝
·
.
【跟踪训练】
（2024·济宁月考）已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且
＝
＝.
【例2】已知两个等差数列4，7，10，…和8，12，16，…都有100项，则它们共同的项有（）
A.12个B.24个
C.11个D.36个
通性通法
有关两个等差数列公共项的问题，处理办法一般有两种：一是先利用两数列的公共项组成的新等差数列的公差为两个等差数列公差的最小公倍数求新数列的公差，然后找到第一项后用通项公式解决；二是从通项公式入手，建立am＝bn这样的方程，利用n＝f（m），借助n，m均为正整数，得到n（或m）可取的整数形式，再求一定范围内的整数解，从而解决问题.
【跟踪训练】
已知两个等差数列{an}：5，8，11，…，与{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是.
【例3】已知数列{an}满足an＋1＝
a1＝3（n∈N*）.
（1）求证：数列{
}是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式.
通性通法
当已知数列{an}不是等差数列时，需构造与已知数列相关的等差数列，利用等差数列的通项公式，求出含an的式子与n的关系式，进而求出an.由递推公式转化为等差数列的常见形式如下：
（1）转化为（an＋2－an＋1）－（an＋1－an）＝常数，则数列{an＋1－an}是等差数列；
（2）转化为
－
＝常数，则数列
是等差数列；
（3）转化为
－
＝常数，则数列
是等差数列；
（4）转化为
－
＝常数，则数列{
}是等差数列；
（5）转化为
－
＝常数，则数列{
}是等差数列.
【跟踪训练】
在数列{an}中，若a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0（n≥2，n∈N*），求数列{an}的通项公式.
【例4】（2023·全国乙卷18题）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{｜an｜}的前n项和Tn.
通性通法
求数列{｜an｜}的前n项和的步骤
（1）解不等式an≥0（或an≤0）寻找{an}的正负项分界点；
（2）求和：①若{an}各项均为正数（或均为负数），则{｜an｜}各项的和等于{an}的各项的和（或其相反数）；②若a1＞0，d＜0（或a1＜0，d＞0），这时数列{an}只有前面有限项为正数（或负数），可分段求和再相加.
【跟踪训练】
已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－5n＋2，则数列{｜an｜}的前10项和为（）
A.56B.58
C.62D.60
1.等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，对一切自然数n，都有
＝
＝（）
A.
B.
C.
D.
2.（2024·郑州月考）有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为（）
A.15B.16
C.17D.18
3.在等差数列{an}中，a1＝8，a4＝2.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜，求T10.
提示：完成课后作业第四章培优课
