这里的解答并不是标准的书面解答，对于一些题目我们会相较书面解答加上一些自己的思考。为了尽量让过程完整不跳步且易懂，这些题目的解答可能会写得略长。
如有笔误请留言或私信。
导数和微分的计算
习题 B（复合函数求偏导数）
假设 为可微函数，用 的偏导数表达下列多元函数的偏导数：
这是直接的计算，让我们直接写出答案，其中 的变量（如有这么多的话）依次记为 ，如果无额外说明的话默认偏导数都在原坐标对应的 之一处取值：
习题 C
求如下坐标变换 的 Jacobi 矩阵 并计算 ：
这仍然是直接的计算，让我们直接写出答案。
我们考虑 上的柱面坐标系：。这个坐标变换用映射来写就是
设 是 上的二次可微函数。当 时，试通过计算来证明：
这就是 straightforward 的式子展开任务，是不难完成的。限于篇幅，我们就不展开来写了。
在最终的于品讲义二的整合版题解中，我们会展开来写这种题。
我们考虑 上的球坐标系 。证明：
同上。
习题 D（齐次函数与 Euler 公式）
考虑函数 。如果存在 ，使得对任意的 和任意的 ，我们都有 ，我们就称 为 次齐次的，其中 称作是它的次数。
证明，满足下面条件之一的函数 是齐次函数：
是线性函数；；；，其中当 时，，并且 和 都是齐次函数。
我们依次证明。
是线性函数。
由 的线性性，对任意的 和任意的 ，我们都有 。
从而 是 次齐次的。得证。
。
对任意的 和任意的 ，我们都有：
从而 是 次齐次的。得证。（或者说，我们容易证明 次多项式是 次齐次的）
。
对任意的 和任意的 ，我们都有：
从而 是 次齐次的。得证。
，其中当 时，，并且 和 都是齐次函数。
设 是 次齐次函数， 是 次齐次函数。
对任意的 和任意的 ，我们都有：
从而 是 次齐次的。得证。
（Euler）假设 是可微的。证明： 是 次齐次函数当且仅当它满足 Euler 等式
先证充分性。
若 是 次齐次函数，我们固定 ，考虑定义中的式子 。
等号两边对 求偏导，我们有：
在该式中令 我们就得到了 Euler 等式，得证。
再证必要性。
若 满足 Euler 等式，我们固定 ，我们想证明 为常数。（这样就能由 的值得证）
求导，计算得：
从而对任意的 ，我们都有 。这也就证明了 。
故 是 次齐次函数，得证！
假设可微函数 是 次齐次函数。证明，对任意 ， 是 次齐次函数。
我们固定 ，下面的过程中我们认为 。
对 ，我们直接对定义式 两边对 求偏导。计算得：
从而每个偏导数 都是 次齐次的，它们的线性组合 自然也是 次齐次的。得证！
令
证明， 和 。
容易证明 次齐次多项式是 次齐次的。
而我们知道，行列式的完全展开中的每一项都是一个连乘，而这个连乘会包含第 行的各一个数。从而该行列式（Vandermonde 行列式）的完全展开中的每一项都是 次的。这也就说明 是 次齐次多项式，从而 是 次齐次的，第一个等式得证。
对于第二个等式，我想我们还是最好依托 Vandermonde 行列式的值的公式来证明，不然会比较繁琐。（例如我们可能需要用代数余子式等工具来回计算）
经典地，数学归纳法可以证明，。
从而对于常数 ，由 ，我们总有 。
从而定义 这个常值函数，将其对 求导，计算得 。
从而在上式中令 我们就有 。得证！
限于篇幅，我们今天先写习题 T 的一道小题，明天更新剩下的部分。
思考题：切空间的抽象/几何定义（这是理解微分和切空间的重要习题）
习题 T
给定开集 和 。我们令 是所有通过 的 的曲线的集合。按照定义，我们有
我们在 定义如下的等价关系，其中 ：
我们考虑 在上述等价关系下的等价类 ：
其中，如果 ，那么在等价类的集合 中，。换句话说，我们把在 点处的切向量相同的曲线认为是同一条曲线，这就是为什么我们把这个空间称作是切空间。
证明，映射
是良好定义的并且是双射。
良定性由等价类划分的方式直接得证（若两个函数的等价类相同，那么它们的 处微分相同）。
若两个函数的 处微分相同，那么它们应被划分到同一等价类中。从而 是单射。
最后我们证明 是满射。对任意 ，我们尝试构造 使得 。
由 的开性，存在 使得 。故存在 使得对任意的 ，我们都有 。考虑定义 。容易验证 且 。
从而 是满射。得证！
Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
--- Albert Einstein
我是培淇，我们下期再见！
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