【免费下载】25-26学年同步培优讲义培优课 空间几何体的截面问题(学生版

培优课　空间几何体的截面问题

截面定义：用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面，与几何体表面的交集（交线）叫做截线，与几何体棱的交集（交点）叫做截点.

【例1】在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为BB₁的中点，画出过A_1，C1，P三点的截面.

通性通法

若截面上的点都在几何体的棱上，且两两在同一个平面内，可借助基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，直接连线作截面.

【跟踪训练】

（多选）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点E，F，G，H分别为棱A₁C_1，B1C_1，BC，AC上的点，过E，F，G，H四点作截面，则截面的形状可以为（）

A.矩形B.菱形

C.正方形D.梯形

【例2】在长方体ABCD-A'B'C'D'中，点P是棱BB'的中点，画出过点A'，D'，P三点的截面.

通性通法

若截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行，可以借助于两个性质：①如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；②如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行，利用平行线法作截面.

【跟踪训练】

1.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为BC，CC₁的中点，则平面AEF截正方体所得的截面多边形的形状为（）

A.三角形B.四边形

C.五边形D.六边形

2.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为3，点P在棱AD上，过点P作该正方体的截面，当截面平行于平面B₁D₁C且该截面的面积为时，线段AP的长为（）

A.B.1

C.D.

【例3】如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为6，M是A₁B₁的中点，点N在棱CC₁上，且CN＝2NC₁.作出过点D，M，N的平面截正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁所得的截面，写出作法.

通性通法

若截面上的点中至少有两个点在几何体的一个表面上，可以借助于基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，利用延长线法作截面.

【跟踪训练】

已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，PA＝AD＝4，BA＝BC＝2，M为PA中点，过C，D，M的平面截四棱锥P-ABCD所得的截面为α.若α与棱PB交于点F，画出截面α，保留作图痕迹（不用说明理由），求点F的位置.

1.用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体不可能是（）

A.圆锥B.圆柱

C.三棱锥D.正方体

2.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面α和线段AA_{1，BB1，CC1，DD1}分别交于点E，F，G，H，则截面EFGH的形状不可能是（）

A.梯形B.正方形

C.长方形D.菱形

3.（2024·中山月考）在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是正方形ABCD、正方形BB₁C₁C的中心，则过点A，M，N的平面截正方体的截面面积为.

4.如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P，Q，R分别是A₁D_1，C1D_1，AA1的中点，试过P，Q，R三点作其截面.

提示：完成课后作业第八章培优课