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【免费下载】25-26学年同步培优讲义第2课时相互独立事件概率的应用(学生版

2026-04-14 05:01:21

第2课时相互独立事件概率的应用

题型一	相互独立事件乘法公式的应用

【例1】（2024·淄博月考）在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是、乙两人都回答错误的概率是、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否相互独立.

（1）求乙答对这道题的概率；

（2）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.

通性通法

用相互独立事件的乘法公式解题的步骤

（1）用恰当的字母表示题中有关事件；

（2）根据题设条件，分析事件间的关系；

（3）将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和（相互乘积的事件之间必须满足相互独立）；

（4）利用乘法公式计算概率.

【跟踪训练】

甲、乙、丙三人打靶，他们的命中率分别为p_1，p_{2，，若三人同时射击一个目标，甲}、丙击中目标而乙没有击中目标的概率为.设事件A表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”，事件C表示“丙击中目标”.已知A，B，C是相互独立事件.

（1）求p_1，p₂；

（2）写出事件A∪B∪C包含的所有互斥事件，并求事件A∪B∪C发生的概率.

题型二	相互独立事件的综合应用

【例2】一次数学考试有4道填空题，共20分，每道题完全答对得5分，否则得0分.在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题能答对的概率分别为p，，，且每道题答对与否相互独立.

（1）当p＝时，求考生填空题得20分的概率；

（2）若考生填空题得10分与得15分的概率相等，求p的值.

通性通法

求较复杂事件的概率的一般步骤

（1）列出题中所涉及的各个事件，并且用适当的符号表示；

（2）厘清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立），列出关系式；

（3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；

（4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.

【跟踪训练】

（2024·开封月考）11分制乒乓球比赛，每赢1球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.已知甲、乙两位同学进行11分制乒乓球比赛，双方10∶10平后，甲先发球，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.

（1）求事件“两人又打了2个球比赛结束”的概率；

（2）求事件“两人又打了4个球比赛结束且甲获胜”的概率.

题型三	统计与事件相互独立性的综合应用

【例3】2022年3月5日，第十三届全国人民代表大会第五次会议在北京人民大会堂开幕，会议报告指出，2021年，国内生产总值和居民人均可支配收入明显增长，某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取100人，经统计，这100人去年可支配收入（单位：万元）均在区间[4.5，10.5]内，按[4.5，5.5），[5.5，6.5），[6.5，7.5），[7.5，8.5），[8.5，9.5），[9.5，10.5]分成6组，所得频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第60百分位数为8.1.

（1）求a，b的值，并估计这100位居民可支配收入的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）在100位居民中随机抽取甲、乙、丙3人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的3人中至少有2人去年可支配收入在[7.5，8.5）内的概率.

通性通法

求统计与事件相互独立性综合问题的步骤

（1）由统计图表及文字叙述厘清问题中所涉及的事件，对应该事件的数据，并用字母表示；

（2）研析各事件的相互关系（互斥、对立、相互独立）以及和事件、积事件等；

（3）利用事件间的关系及相应的概率公式求解.

提醒（1）注意公式的正用和逆用；（2）只有明确了两事件具有的关系后，才能使用相应的概率公式.

【跟踪训练】

某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试.现从男、女生中各随机抽取20人，把他们的测试数据按照《国家学生体质健康标准》整理成下表.规定：总分≥60体质健康为合格.

等级	总分	男生人数	男生平均分	女生人数	女生平均分
优秀	[90，100]	5	91.3	2	91
良好	[80，89.9]	4	83.9	4	84.1
及格	[60，79.9]	8	70	11	70.2
不及格	60以下	3	49.6	3	49.1
总计	—	20	—	20	—