【免费下载】25-26学年同步培优讲义培优课 平面向量中的最值(范围)问题(学生版

培优课　平面向量中的最值（范围）问题

【例1】如图，延长线段AB到点C，使得＝2点在线段BC上运动，点O∉直线AB，满足＝λ＋μλμ的取值范围是（）

A.［－］B.［－2，］

C.［－］D.[－1，1]

通性通法

利用向量的概念及线性运算，将所求问题转化为关于参数的等式或不等式，然后利用函数的性质或基本不等式求最值（范围）.

【跟踪训练】

（2024·杭州月考）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n（m，n均为正实数），则＋的最小值为.

【例2】已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则·（－）的最大值为.

通性通法

解决此类问题时，先进行数量积的有关运算，将数量积用某一个变量或两个变量表示，利用数量积的运算法则建立关于变量的关系式，然后利用函数、不等式、方程等有关知识求解.在求最值时我们也可以利用图形直观求解.

【跟踪训练】

在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ＝·的最小值为.

【例3】已知e_1，e2是夹角为的两个单位向量，非零向量b＝xe₁＋ye_2，x，y∈R，若x＋2y＝2，则｜b｜的最小值为.

通性通法

求向量模的最值（范围）一般要利用公式｜a｜＝ 转化为函数或不等式求解，或利用不等式｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜求解.

【跟踪训练】

已知｜a＋b｜＝2，向量a，b的夹角为｜a｜＋｜b｜的最大值为.

【例4】非零向量a，b满足2a·b＝a²b²，｜a｜＋｜b｜＝2，则a与b的夹角的最小值为.

通性通法

求向量夹角的最值（范围）问题一般转化为求向量夹角θ的余弦值cosθ＝的最值（范围）问题.

【跟踪训练】

（2024·深圳月考）已知向量a，b满足a＝（t，2－t），｜b｜＝1，且（a－b）⊥b，则a，b夹角θ的最小值为（）

A.B.

C.D.

1.已知向量m＝（a－1，1），n＝（2－b，2）（a＞0，b＞0），若m∥n，则m·n的取值范围是（）

A.[2，＋∞）B.（0，＋∞）

C.[2，4）D.（2，4）

2.已知点A（4，3）和B（1，2），O为坐标原点，则｜＋t｜（t∈R）的最小值为（）

A.5B.5

C.3D.

3.如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点，且＝x＋y＋的最小值为（）

A.3B.4C.5D.9

4.（2024·菏泽月考）已知向量a＝（5，5），b＝（λ，1），若a＋b与a－b的夹角是锐角，则实数λ的取值范围是.

提示：完成课后作业第六章培优课