培优课 函数性质的综合问题
【例1】定义在R上的偶函数y＝f（x），其图象关于点（
）对称，且x∈[0，1]时，f（x）＝－x＋
f（
）＝（）
A.－1B.0
C.1D.
解析：B∵y＝f（x）的图象关于点（
）对称，∴f（
＋x）＋f（
－x）＝0，即f（1＋x）＋f（－x）＝0.又∵y＝f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x），∴f（1＋x）＋f（x）＝0，即f（1＋x）＝－f（x），∴f（
）＝－f（
）＝0.
通性通法
1.函数图象关于直线对称
y＝f（x）在定义域内恒满足的条件 | y＝f（x）的图象的对称轴 |
f（a＋x）＝f（a－x） | 直线x＝a |
f（x）＝f（a－x） | 直线x＝ |
f（a＋x）＝f（b－x） | 直线x＝ |
2.函数图象关于点对称
y＝f（x）在定义域内恒满足的条件 | y＝f（x）的图象的对称中心 |
f（a－x）＝－f（a＋x） | （a，0） |
f（x）＝－f（a－x） | （ ） |
f（a＋x）＝－f（b－x） | （ ） |
f（a＋x）＋f（b－x）＝c | （ ） |
【跟踪训练】
1.已知函数f（x）的定义域为R，若f（1－x）为奇函数，f（x－1）为偶函数.设f（－2）＝1，则f（2）＝（）
A.－1B.0
C.1D.2
解析：A∵f（x－1）为偶函数，∴f（－x－1）＝f（x－1），∴f（x）图象关于直线x＝－1对称，∴f（－2）＝f（0）＝1；∵f（1－x）为奇函数，∴f（1＋x）＝－f（1－x），∴f（x）图象关于点（1，0）对称，∴f（2）＝－f（0）＝－1，故选A.
2.已知图象开口向上的二次函数f（x），对任意x∈R，都满足f（
－x）＝f（x＋
），若f（x）在区间（a，2a－1）上单调递减，则实数a的取值范围为（）
A.（－∞，］B.（1，］
C.［－
，＋∞）D.（－∞，2]
解析：B由f（
－x）＝f（x＋
），得函数f（x）图象的对称轴是直线x＝
f（x）图象开口向上，若f（x）在区间（a，2a－1）上单调递减，则
解得1＜a≤
.故选B.
【例2】已知函数f（x）＝
是定义在（－1，1）上的奇函数，且f（
）＝
.
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）用定义法证明f（x）在（－1，1）上是增函数；
（3）解不等式：f（t－1）＋f（t）＜0.
解：（1）根据题意得
即
解得
∴f（x）＝
.
（2）证明：任取x1，x2∈（－1，1），且令x1＜x2，
f（x1）－f（x2）＝
－
＝
.
∵－1＜x1＜x2＜1，
∴x1－x2＜0，1＋
＞0，1＋
＞0，1－x1x2＞0，
∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（－1，1）上是增函数.
（3）f（t－1）＜－f（t）＝f（－t）.
∵f（x）在（－1，1）上是增函数，
∴
解得0＜t＜
.
∴不等式的解集为
.
通性通法
解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法
（1）图象法：根据题意，作出符合要求的草图，便可得出结论；
（2）性质法：根据对称性、单调性和奇偶性的性质，逐步推导解决求值和比较大小的问题.
提醒使用性质要规范，切不可自创性质.
【跟踪训练】
已知函数f（x）的定义域为（－2，2），函数g（x）＝f（x－1）＋f（3－2x）.
（1）求函数g（x）的定义域；
（2）若f（x）为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式g（x）≤0的解集.
解：（1）由题意可知
所以
解得
＜x＜
故函数g（x）的定义域为（
）.
（2）由g（x）≤0，得f（x－1）＋f（3－2x）≤0，
所以f（x－1）≤－f（3－2x）.
因为f（x）为奇函数，所以f（x－1）≤f（2x－3）.
而f（x）在（－2，2）上是减函数，
所以
解得
＜x≤2.
所以不等式g（x）≤0的解集为（
］.
1.已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（x）＝f（4－x），当－2≤x＜0时，f（x）＝
f（
）＝（）
A.－2B.－
C.
D.2
解析：D∵f（x）＝f（4－x），∴f（x）的图象关于直线x＝2对称，∴f（
）＝f（
）.又∵函数f（x）为奇函数，∴f（
）＝－f（－
）＝－（－2）＝2，即f（
）＝2.
2.已知定义在R上的奇函数f（x），且当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递增，则不等式f（2x＋1）＋f（1）≥0的解集是（）
A.（－∞，1）B.（－1，＋∞）
C.[－1，＋∞）D.（－∞，1]
解析：C因为函数f（x）是奇函数，所以不等式f（2x＋1）＋f（1）≥0等价于f（2x＋1）≥f（－1）.又当x≥0时，函数f（x）单调递增，所以函数f（x）在R上为增函数，所以f（2x＋1）≥f（－1）等价于2x＋1≥－1，解得x≥－1.
3.已知函数f（x）在区间（0，2）上单调递减，又函数y＝f（x＋2）是偶函数，那么f（x）（）
A.在区间（2，4）上单调递减
B.在区间（2，4）上单调递增
C.在区间（－2，0）上单调递减
D.在区间（－2，0）上单调递增
解析：B∵函数y＝f（x＋2）是偶函数，∴函数y＝f（x＋2）关于y轴对称，即函数y＝f（x）关于x＝2对称，∵函数f（x）在（0，2）上单调递减，∴函数f（x）在（2，4）上单调递增.函数在（－2，0）的单调性无法确定.故选B.
4.若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R，有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2）＋1，则下列说法一定正确的是（）
A.f（x）－1为奇函数B.f（x）－1为偶函数
C.f（x）＋1为奇函数D.f（x）＋1为偶函数
解析：C∵对任意x1，x2∈R，有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2）＋1，令x1＝x2＝0，得f（0）＝－1.令x1＝x，x2＝－x，得f（0）＝f（x）＋f（－x）＋1.∴f（x）＋1＝－f（－x）－1＝－[f（－x）＋1]，∴f（x）＋1为奇函数.
5.设定义在R上的奇函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，且f（1）＝0，则不等式x[f（x）－f（－x）]＜0的解集为（）
A.{x｜－1＜x＜0或x＞1}
B.{x｜x＜－1或0＜x＜1}
C.{x｜x＜－1或x＞1}
D.{x｜－1＜x＜0或0＜x＜1}
解析：D∵奇函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，f（－x）＝－f（x），x[f（x）－f（－x）]＜0，∴xf（x）＜0，又f（1）＝0，∴f（－1）＝0，从而有函数f（x）的大致图象如图所示.则不等式x[f（x）－f（－x）]＜0的解集为{x｜－1＜x＜0或0＜x＜1}.
6.设函数f（x）的定义域为R，f（x＋1）为奇函数，f（x＋2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝ax2＋b.若f（0）＋f（3）＝6，则f（
）＝（）
A.－
B.－
C.
D.
解析：D∵f（x＋1）为奇函数，∴f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称，f（1）＝0.∵f（x＋2）为偶函数，∴f（x）的图象关于直线x＝2成轴对称，∴f（0）＝－f（2），f（3）＝f（1）＝0.又∵f（0）＋f（3）＝6，∴f（0）＝6，f（2）＝－6.如图所示.又当x∈[1，2]时，f（x）＝ax2＋b，∴
∴
∴当x∈[1，2]时，f（x）＝－2x2＋2，∴f（
）＝f（－
）＝－f（
）＝－f（
）＝－（－2×
＋2）＝
.
7.（多选）已知定义在R上的函数f（x），若函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，且f（x）＞1，则下列结论正确的是（）
A.若f（x）是奇函数，则f（x）的值域为（－∞，－1）∪（1，＋∞）
B.若f（x）是偶函数，则f（x）的值域为（1，＋∞）
C.若f（x）是奇函数，则f（x）在（－∞，0）上单调递增
D.若f（x）是偶函数，则f（x）在（－∞，0）上单调递减
解析：CD当f（x）是定义在R上的奇函数时，f（0）＝0，即0在值域内，故A错误；若f（x）是奇函数，因为函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）在（－∞，0）上单调递增，故C正确；当f（x）是定义在R上的偶函数时，f（x）的图象关于y轴对称，因为函数f（x）在（0，＋∞）上的值域为（1，＋∞），但在x＝0时的函数值不确定，故B错误；若f（x）是偶函数，因为函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，则f（x）在（－∞，0）上单调递减，故D正确.故选C、D.
8.（多选）函数f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x＋a）－b为奇函数，则下列函数有对称中心的是（）
A.f（x）＝xB.f（x）＝x3－3x2
C.f（x）＝x4＋x2D.f（x）＝
解析：ABD∵函数y＝f（x＋a）－b为奇函数，∴f（－x＋a）－b＝－f（x＋a）＋b，即f（x＋a）＋f（－x＋a）＝2b.对于A，由f（x＋a）＋f（－x＋a）＝2b得a＝b，∴对于任意的a＝b，P（a，b）都是其对称中心，故A满足题意；对于B，f（x）＝x3－3x2＝（x－1）3－3x＋1＝（x－1）3－3（x－1）－2，∴f（x＋1）＝x3－3x－2，∴f（x＋1）＋2＝x3－3x是奇函数，∴P（1，－2）为其对称中心，故B满足题意；对于C，∵f（x）＝x4＋x2是偶函数，图象关于y轴对称，且f（x）在（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减，其图象大致如图①所示，故不可能找到一个点使它为中心对称图形，故C不满足题意；对于D，f（x）＝
的图象如图②所示.其图象关于（1，0）对称.
9.（多选）已知函数f（x）对∀x∈R，都有f（－x）＝－f（x），f（2－x）＝f（x），且f（1）＝1，则（）
A.f（x）的图象关于直线x＝2对称B.f（x）的图象关于点（－2，0）中心对称
C.f（6）＝0D.f（5）＝－1
解析：BC因为f（－x）＝－f（x），所以f（x）为奇函数，又因为f（2－x）＝f（x），所以f（x）关于x＝1对称，所以f（2－x）＝－f（－x），令x等价于－x，所以f（2＋x）＝－f（x），再令x等价于x＋2，所以f（x）＝f（x＋4），由f（x）＝f（x＋4），f（－x）＝－f（x）可得：－f（－x）＝f（x＋4），所以f（x）的图象关于（2，0）对称，故A不正确；又因为f（x）的图象关于（2，0）对称，且f（x）＝f（x＋4），所以f（x）的图象关于点（－2，0）中心对称，故B正确；令f（2－x）＝f（x）中x＝0，可得f（2）＝0，所以f（6）＝f（2）＝0，故C正确；f（5）＝f（1）＝1，故D不正确.故选B、C.
10.已知偶函数f（x）和奇函数g（x）的定义域都是（－4，4），且在（－4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f（x）·g（x）＜0的解集是（－4，－2）∪（0，2）.
解析：设h（x）＝f（x）g（x），则h（－x）＝f（－x）·g（－x）＝－f（x）g（x）＝－h（x），所以h（x）是奇函数，由图象可知，当－4＜x＜－2时，f（x）＞0，g（x）＜0，即h（x）＜0，当0＜x＜2时，f（x）＜0，g（x）＞0，即h（x）＜0，所以h（x）＜0的解集为（－4，－2）∪（0，2）.
11.已知函数f（x）＝
若f（x－1）＜f（2x＋1），则x的取值范围为（－∞，－2）∪（0，＋∞）.
解析：若x＞0，则－x＜0，f（－x）＝（－x）2＋2x＝x2＋2x＝f（x），同理可得，当x＜0时，f（－x）＝f（x），且x＝0时，f（0）＝0，所以f（x）是偶函数.因为当x＞0时，函数f（x）单调递增，所以不等式f（x－1）＜f（2x＋1）等价于｜x－1｜＜｜2x＋1｜，整理得x（x＋2）＞0，解得x＞0或x＜－2.
12.已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＜0时，f（x）＝1＋
.
（1）求f（2）的值；
（2）用定义法判断y＝f（x）在区间（－∞，0）上的单调性；
（3）求当x＞0时，f（x）的解析式.
解：（1）根据题意，得函数f（x）为奇函数，
当x＜0时，f（x）＝1＋
则f（2）＝－f（－2）＝－（1＋
）＝－
.
（2）根据题意得，当x＜0时，f（x）＝1＋
.
在（－∞，0）上任取x1，x2，且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝（1＋
）－（1＋
）＝
－
＝
.
又由x1－1＜0，x2－1＜0，x2－x1＞0，
可得f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）.
由定义可知，函数y＝f（x）在区间（－∞，0）上单调递减.
（3）当x＞0时，－x＜0，则f（－x）＝1－
由函数f（x）为奇函数知f（x）＝－f（－x），
所以f（x）＝－1＋
＝－
.
13.已知函数f（x）＝x2－mx（m＞0）在区间[0，2]上的最小值为g（m）.
（1）求函数g（m）的解析式；
（2）定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的函数h（x）为偶函数，且当x＞0时，h（x）＝g（x）.若h（t）＞h（4），求实数t的取值范围.
解：（1）因为f（x）＝x2－mx＝（x－
）2－
（m＞0），
所以当0＜
≤2，即0＜m≤4时，g（m）＝f（
）＝－
.
当m＞4时，函数f（x）＝（x－
）2－
在区间[0，2]上单调递减，
此时g（m）＝f（2）＝4－2m.
综上可知，g（m）＝
（2）因为当x＞0时，h（x）＝g（x），
所以当x＞0时，h（x）＝
易知函数h（x）在（0，＋∞）上单调递减，
因为定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的函数h（x）为偶函数，且h（t）＞h（4），
所以0＜｜t｜＜4，
解得－4＜t＜0或0＜t＜4.
综上所述，实数t的取值范围为（－4，0）∪（0，4）.
