【免费下载】25-26学年同步培优讲义培优课 函数性质的综合问题(教师版

培优课　函数性质的综合问题

【例1】定义在R上的偶函数y＝f（x），其图象关于点（）对称，且x∈[0，1]时，f（x）＝－x＋f（）＝（）

A.－1B.0

C.1D.

解析：B∵y＝f（x）的图象关于点（）对称，∴f（＋x）＋f（－x）＝0，即f（1＋x）＋f（－x）＝0.又∵y＝f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x），∴f（1＋x）＋f（x）＝0，即f（1＋x）＝－f（x），∴f（）＝－f（）＝0.

通性通法

1.函数图象关于直线对称

2.函数图象关于点对称

【跟踪训练】

1.已知函数f（x）的定义域为R，若f（1－x）为奇函数，f（x－1）为偶函数.设f（－2）＝1，则f（2）＝（）

A.－1B.0

C.1D.2

解析：A∵f（x－1）为偶函数，∴f（－x－1）＝f（x－1），∴f（x）图象关于直线x＝－1对称，∴f（－2）＝f（0）＝1；∵f（1－x）为奇函数，∴f（1＋x）＝－f（1－x），∴f（x）图象关于点（1，0）对称，∴f（2）＝－f（0）＝－1，故选A.

2.已知图象开口向上的二次函数f（x），对任意x∈R，都满足f（－x）＝f（x＋），若f（x）在区间（a，2a－1）上单调递减，则实数a的取值范围为（）

A.（－∞，］B.（1，］

C.［－，＋∞）D.（－∞，2]

解析：B由f（－x）＝f（x＋），得函数f（x）图象的对称轴是直线x＝f（x）图象开口向上，若f（x）在区间（a，2a－1）上单调递减，则解得1＜a≤.故选B.

【例2】已知函数f（x）＝是定义在（－1，1）上的奇函数，且f（）＝.

（1）确定函数f（x）的解析式；

（2）用定义法证明f（x）在（－1，1）上是增函数；

（3）解不等式：f（t－1）＋f（t）＜0.

解：（1）根据题意得即

解得∴f（x）＝.

（2）证明：任取x_1，x2∈（－1，1），且令x₁＜x_2，

f（x₁）－f（x₂）＝－

＝.

∵－1＜x₁＜x₂＜1，

∴x₁－x₂＜0，1＋＞0，1＋＞0，1－x₁x₂＞0，

∴f（x₁）－f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），

∴f（x）在（－1，1）上是增函数.

（3）f（t－1）＜－f（t）＝f（－t）.

∵f（x）在（－1，1）上是增函数，

∴解得0＜t＜.

∴不等式的解集为.

通性通法

解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法

（1）图象法：根据题意，作出符合要求的草图，便可得出结论；

（2）性质法：根据对称性、单调性和奇偶性的性质，逐步推导解决求值和比较大小的问题.

提醒使用性质要规范，切不可自创性质.

【跟踪训练】

已知函数f（x）的定义域为（－2，2），函数g（x）＝f（x－1）＋f（3－2x）.

（1）求函数g（x）的定义域；

（2）若f（x）为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式g（x）≤0的解集.

解：（1）由题意可知

所以解得＜x＜

故函数g（x）的定义域为（）.

（2）由g（x）≤0，得f（x－1）＋f（3－2x）≤0，

所以f（x－1）≤－f（3－2x）.

因为f（x）为奇函数，所以f（x－1）≤f（2x－3）.

而f（x）在（－2，2）上是减函数，

所以解得＜x≤2.

所以不等式g（x）≤0的解集为（］.

1.已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（x）＝f（4－x），当－2≤x＜0时，f（x）＝f（）＝（）

A.－2B.－C.D.2

解析：D∵f（x）＝f（4－x），∴f（x）的图象关于直线x＝2对称，∴f（）＝f（）.又∵函数f（x）为奇函数，∴f（）＝－f（－）＝－（－2）＝2，即f（）＝2.

2.已知定义在R上的奇函数f（x），且当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递增，则不等式f（2x＋1）＋f（1）≥0的解集是（）

A.（－∞，1）B.（－1，＋∞）

C.[－1，＋∞）D.（－∞，1]

解析：C因为函数f（x）是奇函数，所以不等式f（2x＋1）＋f（1）≥0等价于f（2x＋1）≥f（－1）.又当x≥0时，函数f（x）单调递增，所以函数f（x）在R上为增函数，所以f（2x＋1）≥f（－1）等价于2x＋1≥－1，解得x≥－1.

3.已知函数f（x）在区间（0，2）上单调递减，又函数y＝f（x＋2）是偶函数，那么f（x）（）

A.在区间（2，4）上单调递减

B.在区间（2，4）上单调递增

C.在区间（－2，0）上单调递减

D.在区间（－2，0）上单调递增

解析：B∵函数y＝f（x＋2）是偶函数，∴函数y＝f（x＋2）关于y轴对称，即函数y＝f（x）关于x＝2对称，∵函数f（x）在（0，2）上单调递减，∴函数f（x）在（2，4）上单调递增.函数在（－2，0）的单调性无法确定.故选B.

4.若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x_1，x2∈R，有f（x₁＋x₂）＝f（x₁）＋f（x₂）＋1，则下列说法一定正确的是（）

A.f（x）－1为奇函数B.f（x）－1为偶函数

C.f（x）＋1为奇函数D.f（x）＋1为偶函数

解析：C∵对任意x_1，x2∈R，有f（x₁＋x₂）＝f（x₁）＋f（x₂）＋1，令x₁＝x₂＝0，得f（0）＝－1.令x₁＝x，x₂＝－x，得f（0）＝f（x）＋f（－x）＋1.∴f（x）＋1＝－f（－x）－1＝－[f（－x）＋1]，∴f（x）＋1为奇函数.

5.设定义在R上的奇函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，且f（1）＝0，则不等式x[f（x）－f（－x）]＜0的解集为（）

A.{x｜－1＜x＜0或x＞1}

B.{x｜x＜－1或0＜x＜1}

C.{x｜x＜－1或x＞1}

D.{x｜－1＜x＜0或0＜x＜1}

解析：D∵奇函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，f（－x）＝－f（x），x[f（x）－f（－x）]＜0，∴xf（x）＜0，又f（1）＝0，∴f（－1）＝0，从而有函数f（x）的大致图象如图所示.则不等式x[f（x）－f（－x）]＜0的解集为{x｜－1＜x＜0或0＜x＜1}.

6.设函数f（x）的定义域为R，f（x＋1）为奇函数，f（x＋2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝ax²＋b.若f（0）＋f（3）＝6，则f（）＝（）

A.－B.－

C.D.

解析：D∵f（x＋1）为奇函数，∴f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称，f（1）＝0.∵f（x＋2）为偶函数，∴f（x）的图象关于直线x＝2成轴对称，∴f（0）＝－f（2），f（3）＝f（1）＝0.又∵f（0）＋f（3）＝6，∴f（0）＝6，f（2）＝－6.如图所示.又当x∈[1，2]时，f（x）＝ax²＋b，∴∴∴当x∈[1，2]时，f（x）＝－2x²＋2，∴f（）＝f（－）＝－f（）＝－f（）＝－（－2×＋2）＝.

7.（多选）已知定义在R上的函数f（x），若函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，且f（x）＞1，则下列结论正确的是（）

A.若f（x）是奇函数，则f（x）的值域为（－∞，－1）∪（1，＋∞）

B.若f（x）是偶函数，则f（x）的值域为（1，＋∞）

C.若f（x）是奇函数，则f（x）在（－∞，0）上单调递增

D.若f（x）是偶函数，则f（x）在（－∞，0）上单调递减

解析：CD当f（x）是定义在R上的奇函数时，f（0）＝0，即0在值域内，故A错误；若f（x）是奇函数，因为函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）在（－∞，0）上单调递增，故C正确；当f（x）是定义在R上的偶函数时，f（x）的图象关于y轴对称，因为函数f（x）在（0，＋∞）上的值域为（1，＋∞），但在x＝0时的函数值不确定，故B错误；若f（x）是偶函数，因为函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，则f（x）在（－∞，0）上单调递减，故D正确.故选C、D.

8.（多选）函数f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x＋a）－b为奇函数，则下列函数有对称中心的是（）

A.f（x）＝xB.f（x）＝x³－3x²

C.f（x）＝x⁴＋x²D.f（x）＝

解析：ABD∵函数y＝f（x＋a）－b为奇函数，∴f（－x＋a）－b＝－f（x＋a）＋b，即f（x＋a）＋f（－x＋a）＝2b.对于A，由f（x＋a）＋f（－x＋a）＝2b得a＝b，∴对于任意的a＝b，P（a，b）都是其对称中心，故A满足题意；对于B，f（x）＝x³－3x²＝（x－1）³－3x＋1＝（x－1）³－3（x－1）－2，∴f（x＋1）＝x³－3x－2，∴f（x＋1）＋2＝x³－3x是奇函数，∴P（1，－2）为其对称中心，故B满足题意；对于C，∵f（x）＝x⁴＋x²是偶函数，图象关于y轴对称，且f（x）在（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减，其图象大致如图①所示，故不可能找到一个点使它为中心对称图形，故C不满足题意；对于D，f（x）＝的图象如图②所示.其图象关于（1，0）对称.

9.（多选）已知函数f（x）对∀x∈R，都有f（－x）＝－f（x），f（2－x）＝f（x），且f（1）＝1，则（）

A.f（x）的图象关于直线x＝2对称B.f（x）的图象关于点（－2，0）中心对称

C.f（6）＝0D.f（5）＝－1

解析：BC因为f（－x）＝－f（x），所以f（x）为奇函数，又因为f（2－x）＝f（x），所以f（x）关于x＝1对称，所以f（2－x）＝－f（－x），令x等价于－x，所以f（2＋x）＝－f（x），再令x等价于x＋2，所以f（x）＝f（x＋4），由f（x）＝f（x＋4），f（－x）＝－f（x）可得：－f（－x）＝f（x＋4），所以f（x）的图象关于（2，0）对称，故A不正确；又因为f（x）的图象关于（2，0）对称，且f（x）＝f（x＋4），所以f（x）的图象关于点（－2，0）中心对称，故B正确；令f（2－x）＝f（x）中x＝0，可得f（2）＝0，所以f（6）＝f（2）＝0，故C正确；f（5）＝f（1）＝1，故D不正确.故选B、C.

10.已知偶函数f（x）和奇函数g（x）的定义域都是（－4，4），且在（－4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f（x）·g（x）＜0的解集是（－4，－2）∪（0，2）.

解析：设h（x）＝f（x）g（x），则h（－x）＝f（－x）·g（－x）＝－f（x）g（x）＝－h（x），所以h（x）是奇函数，由图象可知，当－4＜x＜－2时，f（x）＞0，g（x）＜0，即h（x）＜0，当0＜x＜2时，f（x）＜0，g（x）＞0，即h（x）＜0，所以h（x）＜0的解集为（－4，－2）∪（0，2）.

11.已知函数f（x）＝若f（x－1）＜f（2x＋1），则x的取值范围为（－∞，－2）∪（0，＋∞）.

解析：若x＞0，则－x＜0，f（－x）＝（－x）²＋2x＝x²＋2x＝f（x），同理可得，当x＜0时，f（－x）＝f（x），且x＝0时，f（0）＝0，所以f（x）是偶函数.因为当x＞0时，函数f（x）单调递增，所以不等式f（x－1）＜f（2x＋1）等价于｜x－1｜＜｜2x＋1｜，整理得x（x＋2）＞0，解得x＞0或x＜－2.

12.已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＜0时，f（x）＝1＋.

（1）求f（2）的值；

（2）用定义法判断y＝f（x）在区间（－∞，0）上的单调性；

（3）求当x＞0时，f（x）的解析式.

解：（1）根据题意，得函数f（x）为奇函数，

当x＜0时，f（x）＝1＋

则f（2）＝－f（－2）＝－（1＋）＝－.

（2）根据题意得，当x＜0时，f（x）＝1＋.

在（－∞，0）上任取x_1，x2，且x₁＜x_2，

则f（x₁）－f（x₂）＝（1＋）－（1＋）＝－＝.

又由x₁－1＜0，x₂－1＜0，x₂－x₁＞0，

可得f（x₁）－f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）.

由定义可知，函数y＝f（x）在区间（－∞，0）上单调递减.

（3）当x＞0时，－x＜0，则f（－x）＝1－

由函数f（x）为奇函数知f（x）＝－f（－x），

所以f（x）＝－1＋＝－.

13.已知函数f（x）＝x²－mx（m＞0）在区间[0，2]上的最小值为g（m）.

（1）求函数g（m）的解析式；

（2）定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的函数h（x）为偶函数，且当x＞0时，h（x）＝g（x）.若h（t）＞h（4），求实数t的取值范围.

解：（1）因为f（x）＝x²－mx＝（x－）²－（m＞0），

所以当0＜≤2，即0＜m≤4时，g（m）＝f（）＝－.

当m＞4时，函数f（x）＝（x－）²－在区间[0，2]上单调递减，

此时g（m）＝f（2）＝4－2m.

综上可知，g（m）＝

（2）因为当x＞0时，h（x）＝g（x），

所以当x＞0时，h（x）＝

易知函数h（x）在（0，＋∞）上单调递减，

因为定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的函数h（x）为偶函数，且h（t）＞h（4），

所以0＜｜t｜＜4，

解得－4＜t＜0或0＜t＜4.

综上所述，实数t的取值范围为（－4，0）∪（0，4）.