【免费下载】25-26学年同步培优讲义8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系(教师版

8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系

在平面内，两条直线的位置关系只有平行和相交两种.在空间中，情况就不同了.例如，如图所示，教室中日光灯管所在直线与黑板左侧所在直线，机械部件蜗杆和蜗轮的轴线a和b，它们既不相交也不平行.

【问题】　你知道空间两条直线的位置关系有哪些吗？

知识点一空间中直线与直线的位置关系

1.异面直线

（1）定义：不同在　任何一个　平面内的两条直线；

（2）异面直线的画法：

2.空间两条直线的位置关系

【想一想】

分别在不同平面内的两条直线一定是异面直线吗？

提示：不一定.分别在两个平面内的直线，既可能是平行直线，也可能是相交直线，还可能是异面直线.

知识点二　直线与平面、平面与平面的位置关系

1.直线与平面的位置关系

2.两个平面的位置关系

【想一想】

直线a在平面α外，则直线a与平面α没有公共点，正确吗？

提示：不正确，当直线a与平面α相交时，有一个公共点，也称为直线a在平面α外.

1.一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，则它与另一条（）

A.相交B.异面

C.相交或异面D.平行

答案：C

2.已知直线a∥平面α，直线b⊂平面α，则（）

A.a∥bB.a与b异面

C.a与b相交D.a与b无公共点

解析：D　因为直线a∥平面α，所以直线a与平面α无公共点，而直线b⊂平面α，所以a与b平行或异面，所以两者无公共点.故选D.

3.若平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a和b的位置关系是平行或异面.

解析：因为平面α∥平面β，则平面α与平面β没有公共点，而a⊂α，b⊂β，于是得直线a和b没有公共点，所以直线a和b是异面直线或是平行直线.

【例1】　如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中：

（1）直线A₁B与直线D₁C的位置关系是平行；

解析：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D₁∥BC，且A₁D₁＝BC.∴四边形A₁BCD₁为平行四边形，∴A₁B∥D₁C.

（2）直线A₁B与直线B₁C的位置关系是异面；

解析：直线A₁B与直线B₁C不同在任何一个平面内.

（3）直线D₁D与直线D₁C的位置关系是相交；

解析：直线D₁D与直线D₁C相交于点D₁.

（4）直线AB与直线B₁C的位置关系是异面.

解析：直线AB与直线B₁C不同在任何一个平面内.

通性通法

1.判断空间中两条直线位置关系的诀窍

（1）建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线；

（2）重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系.

2.判定两条直线是异面直线的方法

（1）定义法：证明两条直线既不平行又不相交；

（2）重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l⇒AB与l是异面直线（如图）.

【跟踪训练】

1.已知空间中两条不重合的直线a，b，则“a与b没有公共点”是“a∥b”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：B　“直线a与b没有公共点”表示两条直线a∥b或者a与b是异面直线，所以“a与b没有公共点”是“a∥b”的必要不充分条件.故选B.

2.（2024·南阳质检）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系可能是平行、相交或异面.

解析：如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，A'D'所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD-A'B'C'D'中的B'C'，DD'，CC'，故a和c可以平行、相交或异面.

【例2】（1）已知a，b是两条平行直线，且a∥平面β，则b与β的位置关系是（D）

A.平行B.相交

C.b在平面β内D.平行或b在平面β内

解析：借助长方体判断.如图所示.A'B'∥C'D'，A'B'∥平面ABCD，C'D'∥平面ABCD，即有b∥β的可能；A'B'∥AB，A'B'∥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，即也有b⊂β的可能.故选D.

（2）给出下列说法：

①若直线a在平面α外，则a∥α；

②若直线a∥b，b⊂平面α，则a∥α；

③若直线a平行于平面α内的无数条直线，则a∥α.

其中说法正确的个数为（A）

A.0B.1

C.2D.3

解析：对于①，直线a在平面α外包括两种情况，即a∥α或a与α相交，∴a和α不一定平行，故①说法错误；对于②，∵直线a∥b，b⊂平面α，只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，故②说法错误；对于③，当a⊂α时，α内也存在无数条直线与直线a平行，故③说法错误.

通性通法

直线与平面位置关系的判断

（1）空间直线与平面位置关系的判断是解决问题的突破口，这类问题，常用分类讨论的方法解决.另外，借助模型（如正方体、长方体等）也是解决这类问题的有效方法；

（2）要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点.

【跟踪训练】

　若a，b是异面直线，且a∥平面α，那么b与平面α的位置关系是（）

A.b∥αB.b与α相交

C.b⊂αD.以上三种情况都有可能

解析：D　若a，b是异面直线，且a∥平面α，则根据空间中线面的位置关系可得，b∥α，或b⊂α，或b与α相交.

【例3】　如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是（）

A.平行B.相交

C.平行或相交D.不能确定

解析：C　如图所示，a⊂α，b⊂β，a∥b.由图形可知，这两个平面可能相交，也可能平行.

【母题探究】

（变条件）本例若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”，则两平面的位置关系如何？

解：如图，a⊂α，b⊂β，a，b异面.由图知这两个平面可能平行，也可能相交.

通性通法

1.平面与平面位置关系的判断方法

（1）平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点；

（2）平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点.

2.常见的平面与平面平行的模型

（1）棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；

（2）长方体的六个面中，三组相对面平行.

【跟踪训练】

1.（多选）以下四个命题中正确的有（）

A.在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行

B.在平面α内有无数条直线与平面β平行，那么这两个平面平行

C.平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行

D.平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交

解析：CD　当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以A、B错误.

2.（2024·梅州月考）已知直线a，平面α，β，且a∥α，a∥β，则平面α与β的位置关系是相交或平行.

解析：因为a∥α，a∥β，所以平面α与β相交（如图①）或平行（如图②）.

1.异面直线是指（）

A.空间中两条不相交的直线

B.分别位于两个不同平面内的两条直线

C.平面内的一条直线与平面外的一条直线

D.不同在任何一个平面内的两条直线

解析：D　对于A，空间中两条不相交的直线有两种可能，一个是平行（共面），另一个是异面，所以A应排除；对于B，分别位于两个不同平面内的两条直线，既可能平行也可能相交也可能异面，如图，就是相交的情况，所以B应排除；对于C，如图中的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，所以C应排除；只有D符合定义.

2.若平面α∥平面β，l⊂α，则l与β的位置关系是（）

A.l与β相交 B.l与β平行

C.l在β内 D.无法判定

解析：B　∵α∥β，l⊂α，可得l∥β.故选B.

3.“直线l与平面α没有公共点”是“直线l与平面α平行”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：C　若直线l与平面α没有公共点，那直线l与平面α只能平行，故充分性成立；若直线l与平面α平行，则直线l与平面α没有公共点，故必要性也成立，所以“直线l与平面α没有公共点”是“直线l与平面α平行”的充要条件.故选C.

4.已知不重合的直线a，b与平面α，满足a∥α，b∥α，则a与b的位置关系是平行、异面或相交.

解析：如图，在长方体中，a∥α，b∥α，a与b相交，b'∥α，a与b'异面，b″∥α，a与b″平行，故a与b的位置关系有：平行、异面或相交.

1.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（）

A.平行或异面B.相交或异面

C.异面D.相交

解析：B　可借助长方体来判断.如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁与BC是异面直线，又AA₁∥BB_1，AA1∥DD_1，显然BB₁∩BC＝B，DD₁与BC是异面直线，故B正确.

2.已知点P，Q，R，S分别是正方体的四条棱的中点，则下列图形中直线PQ与RS是异面直线的是（）

解析：C　A，B中PQ与RS平行，D中PQ与RS相交.

3.在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面ABB₁A₁与平面DCC₁D₁的位置关系是（）

A.相交B.平行

C.不确定D.异面

解析：A　由棱台的定义可知，平面ABB₁A₁与平面DCC₁D₁一定相交.故选A.

4.在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的六个表面与六个对角面（面AA₁C₁C、面ABC₁D₁、面ADC₁B₁、面BB₁D₁D、面A₁BCD₁及面A₁B₁CD）所在的平面内，与棱AA₁平行的平面共有（）

A.2个B.3个

C.4个D.5个

解析：B　如图所示，结合图形可知AA₁∥平面BCC₁B_1，AA1∥平面DCC₁D_1，AA1∥平面BB₁D₁D.

5.（多选）下列说法中正确的是（）

A.若直线l与平面α不平行，则l与α相交

B.直线l在平面α外是指直线l和平面α平行

C.如果直线l经过平面α内一点P，又经过平面α外一点Q，那么直线l与平面α相交

D.如果直线a∥b，且a与平面α相交于点P，那么直线b必与平面α相交

解析：CD　若直线l与平面α不平行，则l与α相交或l⊂α，所以A不正确；若l⊄α，则l∥α或l与α相交，所以B不正确；由平面和直线的位置关系可知，C、D正确.故选C、D.

6.（多选）下列结论正确的是（）

A.直线a∥平面α，直线b⊂α，则a∥b

B.若a⊂α，b⊄α，则a，b无公共点

C.若a⊄α，则a∥α或a与α相交

D.若a∩α＝A，则a⊄α

解析：CD　a和b可以异面，故A错误；若b⊄α则b和α可以相交，故B错误；若直线在平面外，则直线和平面相交或平行，故C正确；若a∩α＝A，说明直线和平面只有一个交点，故D正确.故选C、D.

7.若点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的位置关系是相交.

解析：因为点A∈α，B∉α，C∉α，所以平面ABC与平面α有公共点，且不重合，所以平面ABC与平面α的位置关系是相交.

8.直线a与直线b相交，直线c与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是相交、平行或异面.

解析：如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB与AA₁相交，A₁B₁与AA₁相交，AB∥A₁B₁；又AD与AA₁相交，AB与AD相交；又A₁D₁与AA₁相交，AB与A₁D₁异面.

9.过三棱柱ABC-A₁B₁C₁的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB₁A₁平行的直线共有6条.

解析：如图所示，与平面ABB₁A₁平行的直线有6条：D₁E_1，E1E，ED，DD_1，D1E，DE₁.

10.如图，根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系：

（1）点P与直线AB；

（2）点C与直线AB；

（3）点A₁与平面AC；

（4）直线AB与直线BC；

（5）直线AB与平面AC；

（6）平面A₁B与平面AC.

解：（1）点P∈直线AB.

（2）点C∉直线AB.

（3）点A₁∉平面AC.

（4）直线AB∩直线BC＝点B.

（5）直线AB⊂平面AC.

（6）平面A₁B∩平面AC＝直线AB.

11.若直线l₁和l₂是异面直线，l₁在平面α内，l₂在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）

A.l与l_1，l2都相交

B.l与l_1，l2都不相交

C.l至少与l_1，l2中的一条相交

D.l至多与l_1，l2中的一条相交

解析：C　由图①可知，A、B错误；由图②可知，D错误.

12.（2024·开封月考）三个平面将空间分成n个部分，则n不可能是（）

A.5B.6

C.7D.8

解析：A　按照三个平面中平行的个数来分类：

（1）三个平面两两平行，如图①，可将空间分成4个部分；

（2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图②，可将空间分成6个部分；

（3）三个平面中没有平行的平面：（ⅰ）三个平面两两相交且交线互相平行，如图③，可将空间分成7个部分；（ⅱ）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图④，可将空间分成8个部分；（ⅲ）三个平面两两相交且交线重合，如图⑤，可将空间分成6个部分；

综上所述，可以为4，6，7，8个部分，不能为5个部分.

13.已知点A，B是平面α外的两点，则过点A，B与平面α平行的平面有0或1个.

解析：当A，B两点在平面α两侧时，不存在这样的平面与α平行；当A，B两点在平面α同侧时，若直线AB∥平面α，则存在一个平面与平面α平行，若直线AB与平面α不平行，则不存在与平面α平行的平面.故过点A，B与α平行的平面有0或1个.

14.如图所示，在三棱锥P-ABC中，E是PC的中点，连接AE.求证：AE与PB是异面直线.

证明：假设AE与PB共面于平面α，连接BE（图略）.

因为A∈α，B∈α，E∈α，

所以平面ABE即为平面α，所以P∈平面ABE，

这与P∉平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线.

15.（多选）（2024·泉州月考）以下结论中正确的是（）

A.过平面α外一点P，有且仅有一条直线与α平行

B.过平面α外一点P，有且仅有一个平面与α平行

C.过直线l外一点P，有且仅有一条直线与l平行

D.过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l平行

解析：BC　如图①所示，过点P有无数条直线与α平行，这无数条直线都在平面β内，过点P有且只有一个平面与α平行，故A错误，B正确；如图②所示，过点P只有一条直线与l平行，但有无数个平面与l平行，故C正确，D错误.

16.如图，已知平面α和β相交于直线l，A∈α，B∈α，C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线和l有什么关系？证明你的结论.

解：平面ABC与平面β的交线和l相交，证明如下：

∵AB与l不平行，AB⊂α，l⊂α，∴AB与l是相交直线.

设AB∩l＝P，则点P∈AB，点P∈l.

又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC且P∈平面β，

即点P是平面ABC与平面β的一个公共点.

又∵点C也是平面ABC与平面β的一个公共点，且P，C不重合，

∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线，即平面ABC∩平面β＝直线PC.

∵直线PC∩l＝P，∴平面ABC与平面β的交线和l相交.

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