【免费下载】25-26学年同步培优讲义第3课时 等差数列的综合应用(学生版

第3课时等差数列的综合应用

【例1】（2024·青岛月考）在数列{a_n}中，a₁＝3，a₁₀＝21，已知a_n＝pn＋q（p，q为常数），则a_{2 024}＝（）

A.4 046B.4 047

C.4 048D.4 049

通性通法

利用一次函数的性质解等差数列问题的思路

（1）若d＞0，则该数列为递增数列，若d＝0，则该数列为常数列，若d＜0，则该数列为递减数列；

（2）由等差数列与一次函数的关系知等差数列的图象是直线上的孤立的点，且任意两点连线的斜率为直线的斜率，即点（n，a_n）（n∈N^*）共线且＝d（d为等差数列的公差）.

【跟踪训练】

1.已知（1，3），（3，－1）是等差数列{a_n}图象上的两点，若5是p，q的等差中项，则a_p＋a_q＝.

2.已知等差数列{a_n}中，a₃＝3，＝.

（1）求{a_n}的通项公式；

（2）判断{a_n}的单调性.

【例2】（1）三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数；

（2）四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数.

通性通法

等差数列的设项方法和技巧

（1）当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a_{1，公差为}d，利用已知条件建立方程（组）求出a₁和d，即可确定此等差数列的通项公式；

（2）当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.若有5项、7项、……，可同理设出；

（3）当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d.若有6项、8项、……，可同理设出.

【跟踪训练】

已知成等差数列的四个数的和为26，第二个数与第三个数的积为40，求这四个数.

【例3】某公司2023年经销一种数码产品，获利200万元，从2024年起，预计其利润每年比上一年减少20万元.按照这一规律，如果该公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将出现亏损？

通性通法

解决等差数列实际应用问题的步骤

提醒在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题.

【跟踪训练】

（2024·无锡月考）《周髀算经》中有一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长的和是37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则冬至的日影长为（）

A.12.5尺B.10.5尺

C.15.5尺D.9.5尺

1.已知数列{a_n}是等差数列，a₄＝15，a₇＝27，则过点P（3，a₃），Q（5，a₅）的直线斜率为（）

A.4B.

C.－4D.－

2.体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数.如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，则队伍里一共有人.

3.已知单调递增的等差数列{a_n}满足a₁＝1，a₃＝－4则a_n＝.

4.已知三个数成等差数列，它们的和为9，它们的平方和为59，求这三个数的积.

提示：完成课后作业第四章4.24.2.1第3课时