【免费下载】25-26学年同步培优讲义3.3.1 抛物线及其标准方程(教师版

3.3　抛物线

3.3.1　抛物线及其标准方程

把一根直尺固定在图板上直线l的位置，把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角顶点C的长（即点A到直线l的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F.用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线.

【问题】你能画出该曲线并说明该曲线具有哪些性质吗？

知识点一抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的　距离相等　的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的　焦点　，直线l叫做抛物线的　准线　.

提醒定义中要注意强调定点F不在定直线l上.当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线.

知识点二抛物线标准方程的几种形式

提醒四个标准方程的区分方法：焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向.

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）抛物线的方程都是二次函数.（×）

（2）抛物线的焦点到准线的距离是p（p＞0）.（√）

（3）平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线.（×）

（4）只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式.（√）

2.焦点为（0，2）的抛物线的标准方程是（）

A.x²＝8yB.x²＝4y

C.y²＝4xD.y²＝8x

答案：A

3.抛物线y²＝x的准线方程为（）

A.x＝B.x＝

C.x＝－D.x＝－

解析：D抛物线y²＝x的焦点在x轴上，且开口向右，2p＝1，∴＝抛物线y²＝x的准线方程为x＝－D.

4.（2024·淄博月考）已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点M（m，－2）到焦点的距离为4，则m＝±4.

解析：由已知，可设抛物线方程为x²＝－2py（p＞0）.由抛物线定义有2＋＝4，∴p＝4，∴x²＝－8y.将（m，－2）代入上式，得m²＝16.∴m＝±4.

角度1直接法求抛物线的标准方程

【例1】（1）焦点在y轴上，并且焦点到准线的距离等于6的抛物线的标准方程是（C）

A.x²＝±3yB.y²＝±6x

C.x²＝±12yD.x²＝±6y

（2）准线方程为x＝的抛物线的标准方程是y²＝－x.

解析：（1）由已知得p＝6且焦点在y轴上，所以抛物线的标准方程是x²＝±12y.

（2）由题意知＝p＝y²＝－x.

通性通法

在抛物线方程的类型已确定的前提下，由于标准方程中只有一个参数p，所以只需一个条件就可以确定抛物线的方程.

角度2待定系数法求抛物线的标准方程

【例2】顶点在原点，且过点（－4，4）的抛物线的标准方程是（）

A.y²＝－4xB.x²＝4y

C.y²＝－4x或x²＝4yD.y²＝4x或x²＝－4y

解析：C设抛物线方程为y²＝－2p₁x（p₁＞0）或x²＝2p₂y（p₂＞0），把（－4，4）代入得16＝8p₁或16＝8p_2，即p₁＝2或p₂＝2.故抛物线的标准方程为y²＝－4x或x²＝4y.故选C.

通性通法

用待定系数法求抛物线标准方程的步骤

提醒当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y²＝mx（m≠0）或x²＝ny（n≠0），这样可以减少讨论情况的个数.

【跟踪训练】

根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：

（1）经过点（－3，－1）；

（2）焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点.

解：（1）因为点（－3，－1）在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为y²＝－2px（p＞0）或x²＝－2py（p＞0）.

若抛物线的标准方程为y²＝－2px（p＞0），

则由（－1）²＝－2p×（－3），解得p＝；

若抛物线的标准方程为x²＝－2py（p＞0），则由（－3）²＝－2p×（－1），解得p＝.

故所求抛物线的标准方程为y²＝－x或x²＝－9y.

（2）对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，

所以抛物线的焦点为（0，－3）或（4，0）.

当焦点为（0，－3）时，＝3，所以p＝6，此时抛物线的标准方程为x²＝－12y；

当焦点为（4，0）时，＝4，所以p＝8，此时抛物线的标准方程为y²＝16x.

故所求抛物线的标准方程为x²＝－12y或y²＝16x.

角度1焦半径公式及应用

【例3】（1）（2024·常州月考）已知抛物线C：y²＝x的焦点为F，A（x_0，y0）是C上一点，｜AF｜＝x_0，则x₀＝（A）

A.1B.2

C.4D.8

（2）抛物线x²＝4y上的点P到焦点的距离是10，则P点的坐标为（6，9）或（－6，9）.

解析：（1）由题意，知抛物线的准线方程为x＝－｜AF｜＝x_{0，根据抛物线的定义，得}x₀＋＝｜AF｜＝x_0，所以x₀＝1，故选A.

（2）设点P（x_0，y0），由抛物线方程为x²＝4y，知焦点坐标为（0，1），准线方程为y＝－1.由抛物线的定义，得｜PF｜＝y₀＋1＝10，所以y₀＝9，代入抛物线方程得x₀＝±6.所以P点坐标为（±6，9）.

通性通法

根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题.

角度2与抛物线有关的轨迹问题

【例4】已知圆C的方程为x²＋y²－10x＝0，求与y轴相切且与圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程.

解：设点P的坐标为（x，y），动圆的半径为R，

∵动圆P与y轴相切，∴R＝｜x｜.

∵动圆与定圆C：（x－5）²＋y²＝25外切，

∴｜PC｜＝R＋5，

∴｜PC｜＝｜x｜＋5，

当点P在y轴右侧时，x＞0，则｜PC｜＝x＋5，

∴点P的轨迹是以（5，0）为焦点的抛物线，则圆心P的轨迹方程为y²＝20x（x＞0）；

当点P在y轴左侧时，x＜0，则｜PC｜＝－x＋5，此时点P的轨迹是x轴的负半轴，即方程为y＝0（x＜0）.

∴点P的轨迹方程为y²＝20x（x＞0）或y＝0（x＜0）.

通性通法

解与抛物线有关的轨迹问题的方法

求解与抛物线有关的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解.

角度3最值问题

【例5】已知点P是抛物线y²＝2x上的一个动点，求点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值.

解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.由图可知，当点P，点（0，2）和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小，所以最小距离d＝＝.

【母题探究】

1.（变条件）若将本例中的点（0，2）改为点A（3，2），求｜PA｜＋｜PF｜的最小值.

解：将x＝3代入y²＝2x，

得y＝±.

所以点A在抛物线内部.

设点P到准线x＝－的距离为d，

则｜PA｜＋｜PF｜＝｜PA｜＋d.

由图可知，当PA⊥l时，｜PA｜＋d最小，最小值是.

即｜PA｜＋｜PF｜的最小值是.

2.（变条件）若将本例中的点（0，2）换为直线l₁：3x－4y＋＝0，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值.

解：如图，作PQ垂直于准线l于点Q，

｜PA₁｜＋｜PQ｜＝｜PA₁｜＋｜PF｜≥.

｜A₁F｜的最小值为点F到直线3x－4y＋＝0的距离，设点F到直线l₁的距离为d，d＝＝1.即所求最小值为1.

通性通法

利用抛物线定义研究最值的一般思路

（1）若点M在抛物线的内部，过点M作准线的垂线，该垂线与抛物线的交点到抛物线焦点F和到已知点M的距离最小；

（2）若点M在抛物线的外部，连接MF，则MF与抛物线的交点P可使｜PF｜＋｜PM｜的值最小.

【跟踪训练】

平面上一动点P到定点F（1，0）的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程.

解：由题意，动点P到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离大1，由于点F（1，0）到y轴的距离为1，故当x＜0时，直线y＝0上的点符合题意；

当x≥0时，题中条件等价于点P到点F（1，0）与到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，轨迹方程为y²＝4x.

故所求动点P的轨迹方程为y²＝4x（x≥0）或y＝0（x＜0）.

1.若动点P到定点F（－4，0）的距离与到直线x＝4的距离相等，则P点的轨迹是（）

A.抛物线B.线段

C.直线D.射线

解析：A动点P的条件满足抛物线的定义.故选A.

2.已知抛物线y＝2px²过点（1，4），则抛物线的焦点坐标为（）

A.（1，0）B.

C.D.（0，1）

解析：C由抛物线y＝2px²过点（1，4），可得p＝2，∴抛物线的标准方程为x²＝y，则焦点坐标为C.

3.已知抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点为F_1，若点A（2，－4）在抛物线上，则点A到焦点的距离为4.

解析：把点（2，－4）代入抛物线y²＝2px，得16＝4p，即p＝4，从而抛物线的焦点为（2，0）.故点A到焦点的距离为4.

4.若焦点在y轴上，且抛物线上一点P（m，1）到焦点F的距离为6，求抛物线的标准方程.

解：由题意，可设抛物线的标准方程为x²＝2py（p＞0）.点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，故1－（－）＝6，解得p＝10，所以抛物线的标准方程为x²＝20y.

1.抛物线y＝－x²的准线方程为（）

A.x＝B.x＝1

C.y＝1D.y＝2

解析：C抛物线的标准方程为x²＝－4y，则准线方程为y＝1.

2.在平面直角坐标系中，与点（1，2）和直线x＋y－3＝0的距离相等的点的轨迹是（）

A.直线B.抛物线

C.圆D.双曲线

解析：A因为点（1，2）在直线x＋y－3＝0上，所以所求点的轨迹是过点（1，2）且与直线x＋y－3＝0垂直的直线，故选A.

3.准线与x轴垂直，且经过点（1，－）的抛物线的标准方程是（）

A.y²＝－2xB.y²＝2x

C.x²＝2yD.x²＝－2y

解析：B由题意可设抛物线的标准方程为y²＝mx（m≠0），则（－）²＝m，解得m＝2，因此抛物线的标准方程为y²＝2x.

4.（2024·温州月考）已知P为抛物线y²＝4x上一个动点，Q为圆x²＋（y－4）²＝1上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是（）

A.5B.

C.－1D.＋1

解析：C点P到抛物线的准线的距离等于点P到抛物线焦点F（1，0）的距离.圆心坐标是（0，4），圆心到抛物线焦点的距离为Q到抛物线焦点的距离的最小值是－1.

5.（多选）经过点P（4，－2）的抛物线的标准方程为（）

A.y²＝xB.x²＝8y

C.x²＝－8yD.y²＝－8x

解析：AC若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为y²＝mx（m≠0），因为抛物线经过点P（4，－2），所以（－2）²＝4m，解得m＝1，所以抛物线的标准方程为y²＝x.若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x²＝ny（n≠0），因为抛物线经过点P（4，－2），所以4²＝－2n，解得n＝－8，所以抛物线的标准方程为x²＝－8y.故选A、C.

6.（多选）对标准形式的抛物线给出下列条件，其中满足抛物线y²＝10x的有（）

A.焦点在y轴上

B.焦点在x轴上

C.开口向右，焦点坐标为（5，0）

D.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于

解析：BD抛物线y²＝10x的焦点在x轴上，B满足，A不满足；易知抛物线开口向右，焦点坐标为（不满足；设M（1，y₀）是抛物线y²＝10x上一点，F为焦点，则｜MF｜＝1＋＝1＋＝D满足.

7.已知双曲线－y²＝1的右焦点恰好是抛物线y²＝8x的焦点，则m＝3.

解析：由题意得m＋1＝2^2，解得m＝3.

8.在抛物线y²＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是（－6，6）或（－6，－6）.

解析：由方程y²＝－12x，知焦点F（－3，0），准线l：x＝3.设所求点为P（x，y），则由抛物线定义知｜PF｜＝3－x.又｜PF｜＝9，所以3－x＝9，x＝－6，代入y²＝－12x，得y＝±6.所以所求点的坐标为（－6，6）或（－6，－6）.

9.（2024·泰州月考）已知直线l₁：4x－3y＋6＝0和直线l₂：x＝－1，抛物线y²＝4x上一动点P到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值是2.

解析：易知直线l₂：x＝－1恰为抛物线y²＝4x的准线，如图所示，动点P到l₂：x＝－1的距离可转化为PF的长度，其中F（1，0）为抛物线y²＝4x的焦点.由图可知，距离之和的最小值即F到直线l₁的距离d＝＝2.

10.根据下列条件分别求抛物线的标准方程：

（1）抛物线的焦点是双曲线16x²－9y²＝144的左顶点；

（2）抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，｜AF｜＝5.

解：（1）双曲线方程可化为－＝1，左顶点为（－3，0），

由题意设抛物线方程为y²＝－2px（p＞0）且＝－3，

∴p＝6，∴抛物线的方程为y²＝－12x.

（2）设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y²＝2px（p≠0），A（m，－3），

由抛物线定义得5＝｜AF｜＝｜m＋｜.

又（－3）²＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，

故所求抛物线方程为y²＝±2x或y²＝±18x.

11.若动点M（x，y）到点F（4，0）的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是（）

A.x＋4＝0B.x－4＝0

C.y²＝8xD.y²＝16x

解析：D依题意可知，点M到点F的距离等于点M到直线x＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p＝8，顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，所以其方程为y²＝16x.故选D.

12.（多选）设抛物线y²＝4x，F为其焦点，P为抛物线上一点，则下列结论正确的是（）

A.抛物线的准线方程是x＝－1

B.当PF⊥x轴时，｜PF｜取最小值

C.若A（2，3），则｜PA｜＋｜PF｜的最小值为

D.以线段PF为直径的圆与y轴相切

解析：ACD对于A，抛物线的准线方程为x＝－＝－1，故A正确；对于B，设P（x_0，y0），则x₀≥0，＝4x_0，F（1，0），则｜PF｜＝＝x₀＋1≥1，当x₀＝0时取得最小值，此时P（0，0）在原点，故B错误；对于C，A在抛物线外部，故当P，A，F三点共线时｜PA｜＋｜PF｜取得最小值，为｜AF｜＝＝C正确；

对于D，过点P作准线的垂线，垂足为Q，设P（m，n），线段PF的中点为B（x_1，y1），可得x₁＝（1＋m），由抛物线的定义，得｜PF｜＝｜PQ｜＝m＋1，∴x₁＝｜PF｜，即点B到y轴的距离等于以PF为直径的圆的半径，因此，以PF为直径的圆与y轴相切，故D正确.故选A、C、D.

13.已知M是抛物线C：y²＝2px（p＞0）上一点，F是抛物线C的焦点，过M作抛物线C的准线的垂线，垂足为N，若∠MFO＝120°（O为坐标原点），△MNF的周长为12，则｜NF｜＝4.

解析：因为∠MFO＝120°，所以∠FMN＝60°.又M是抛物线C上一点，所以｜FM｜＝｜MN｜，则△FMN是等边三角形.又△FMN的周长为12，所以｜NF｜＝＝4.

14.（2024·青岛月考）如图所示，已知抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.

（1）求抛物线的方程；

（2）过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标.

解：（1）抛物线y²＝2px的准线方程为x＝－

于是4＋＝5，p＝2，

所以抛物线的方程为y²＝4x.

（2）由题意得A（4，4），B（0，4），M（0，2）.

又F（1，0），所以k_AF＝

则FA的方程为y＝（x－1）.

因为MN⊥FA，所以k_MN＝－

则MN的方程为y＝－x＋2.

解方程组

得所以N.

15.（2024·泉州质检）已知抛物线C：y²＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，点P在抛物线上，且｜PM｜＝｜PF｜，则△PMF的面积为（）

A.4B.8

C.16D.32

解析：B如图所示，易得F（2，0），过点P作PN⊥l，垂足为N.因为｜PM｜＝｜PF｜，｜PF｜＝｜PN｜，所以｜PM｜＝｜PN｜，所以｜MN｜＝｜PN｜.设P（），则｜t｜＝＋2，解得t＝±4，所以△PMF的面积为·｜t｜·｜MF｜＝×4×4＝8.

16.已知抛物线y²＝4ax（a＞0）的焦点为A，以B（a＋4，0）为圆心，｜BA｜为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同两点M，N，点P为线段MN的中点.

（1）求｜AM｜＋｜AN｜的值；

（2）是否存在这样的a，使2｜AP｜＝｜AM｜＋｜AN｜？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.

解：（1）设M（x_M，yM），N（x_N，yN），由抛物线的定义，得｜AM｜＋｜AN｜＝x_M＋x_N＋2a.又圆的方程为[x－（a＋4）]²＋y²＝16，将y²＝4ax代入，得x²－2（4－a）x＋a²＋8a＝0，∴x_M＋x_N＝2（4－a），∴｜AM｜＋｜AN｜＝8.

（2）不存在.假设存在这样的a，使得2｜AP｜＝｜AM｜＋｜AN｜.过点P作PP'垂直抛物线的准线，垂足为P'.

∵｜AM｜＋｜AN｜＝2｜PP'｜，∴｜AP｜＝｜PP'｜.由抛物线的定义知点P必在抛物线上，这与点P是线段MN的中点矛盾，∴这样的a不存在.

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