【免费下载】25-26学年同步培优讲义9.1.1 简单随机抽样(教师版

第九章　统计

9.1　随机抽样

9.1.1　简单随机抽样

　　2022年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获9金、4银、2铜位列奖牌榜第三，金牌数和奖牌数均创历史新高.奥运会期间对所有参赛运动员进行了兴奋剂检测.

【问题】　北京奥运会对所有参赛运动员进行了兴奋剂检测，是普查还是抽查？

知识点一全面调查和抽样调查

【想一想】

样本与样本量有什么区别？

提示：样本是从总体中抽取的个体组成的集合，是对象；样本量是样本中个体的数目，是一个数.

知识点二　简单随机抽样

1.定义

2.简单随机抽样的方法

（1）抽签法：把总体中的N个个体　编号　，把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片（也可以是卡片、小球等）上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌.最后从盒中不放回地　逐个　抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需的个数.

（2）随机数法：

①定义：先把总体中的个体编号，用随机数工具产生总体范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，并剔除重复的编号，直到抽足样本所需要的个体数；

②产生随机数的方法：（ⅰ）用随机试验生成随机数；（ⅱ）用信息技术生成随机数.

提醒抽签法与随机数法的异同点：相同点：①都属于简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个体数有限；②都是从总体中逐个不放回地进行抽取.不同点：①抽签法比随机数法操作简单；②随机数法更适用于总体中个体数较多的情况，而抽签法适用于总体中个体数较少的情况，所以当总体中的个体数较多时，应当选用随机数法，可以节约大量的人力和制作号签的成本.

知识点三　总体均值和样本均值

1.总体均值：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y_1，Y2，…，Y_N，则称＝＝Y_i为总体均值，又称总体平均数.如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y_1，Y2，…，Y_k，其中Y_i出现的频数为f_i（i＝1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式＝f_iY_i.

2.样本均值：如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y_1，y2，…，y_n，则称＝＝y_i为样本均值，又称样本平均数.

1.为了解高三年级12个班共600名学生的高考填报志愿的情况，决定在12个班中每班随机抽取10人的志愿进行分析，这个问题中样本量是（）

A.600　　　　　　　　　B.120

C.50D.10

解析：B　12个班，每班抽取10人的志愿进行分析，共抽取120人的志愿，所以样本量是120，故选B.

2.用抽签法抽取的一个容量为5的样本，它们的变量值分别为2，3，5，7，9，则该样本的平均数为（）

A.4.5B.4.8

C.5.2D.6

解析：C　计算样本平均数可得＝5.2，故选C.

3.全国高中数学联合竞赛是中国高中数学学科的较高等级的数学竞赛，在每年9月第二个星期日举行，在这项竞赛中取得优异成绩的约200名学生有资格参加由中国数学协会主办的中国数学奥林匹克（CMO）竞赛.某校从初赛成绩优秀的52名学生中选取5名学生参加省赛，若采用简单随机抽样抽取，则每人入选的可能性（）

A.都相等，且为B.都相等，且为

C.都相等，且为D.都不相等

解析：C　根据简单随机抽样的等可能性可知，每人入选的可能性都相等，且为C.

4.以下问题中，适合使用简单随机抽样的是③.（填写编号）

①某市人均寿命调查；②某校高一年级学生体能素质调查；③30个灯泡的使用寿命调查.

解析：根据简单随机抽样的概念，可知简单随机抽样在总体个数不多时使用，所以适合使用简单随机抽样的是③.

【例1】（1）下列问题中最适合用简单随机抽样方法的是（C）

A.某学校有学生1 320人，卫生部门为了了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本

B.为了准备省政协会议，某政协委员计划从1 135个村庄中抽取50个进行收入调查

C.从全班30名学生中，任意选取5名进行家访

D.为了解某地区癌症的发病情况，从该地区的5 000人中抽取200人进行统计

解析：A中不同年级的学生身体发育情况差别较大，B，D的总体容量较大，C的总体容量较小，适宜用简单随机抽样.

（2）（多选）关于简单随机抽样的特点有以下几种说法，其中正确的是（ABC）

A.要求总体中的个体数有限

B.从总体中逐个抽取

C.每个个体被抽到的机会相等，与先后顺序无关

D.每个个体被抽到的机会不一样，与先后顺序有关

解析：由简单随机抽样的定义可知A、B、C正确.

通性通法

简单随机抽样的判断方法

判断所给的抽样是否为简单随机抽样的依据是简单随机抽样的三个特征：

【跟踪训练】

1.（多选）下列抽样方法是简单随机抽样的有（）

A.从20名同学中随机抽取5名同学参加义务劳动

B.从20个零件中一次性抽取3个进行质量检验

C.某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动

D.中国福利彩票30选7，得到7个彩票中奖号码

解析：AD　B不是简单随机抽样，不是“逐个抽取”；C不是简单随机抽样，不符合“等可能性”，因为5名同学是指定的，而不是随机抽取的；A，D是简单随机抽样.

2.炎炎夏日，冰淇淋成为许多人的热宠，现用简单随机抽样的方法检测某品牌冰淇淋是否符合食品安全标准，若从21个冰淇淋中逐个抽取一个容量为3的样本，则其中某一个体A“第一次被抽到”的可能性是，“第二次被抽到”的可能性是.

解析：在抽样过程中，个体A每一次被抽到的可能性是相等的，因为总体容量为21，所以个体A“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为.

【例2】　某班有50名学生，要从中随机地抽出6人参加一项活动，请分别写出利用抽签法和随机数法抽取该样本的过程.

解：（1）利用抽签法步骤如下：

第一步：将这50名学生编号，编号为01，02，03，…，50；

第二步：将50个号码分别写在外观、质地均无差别的小纸片上，并揉成团，制成号签；

第三步：将得到的号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀；

第四步：从容器中逐个不放回地抽取6个号签，并记录上面的号码.

对应上面6个号码的学生就是参加该项活动的学生.

（2）利用随机数法步骤如下：

第一步：将这50名学生编号，编号为00，01，02，…，49；

第二步，准备10个大小、质地一样的小球，小球上分别写上数字0，1，2，…，9，把它们放入一个不透明的袋中.从袋中有放回地摸取两次，每次摸取前充分搅拌，并把第一、二次摸到的数字分别作为十、个位数，这样就生成了一个二位随机数.

如果这个二位数在00～49范围内，就代表对应编号的学生被抽中，否则舍弃编号.

第三步，重复第二步，若产生的随机数重复，则剔除，继续摸球，直到选到所需的样本量.

第四步，符合条件的编号对应的学生即是参加该项活动的学生.

通性通法

1.抽签法、随机数法的步骤

2.抽签法、随机数法的注意事项

（1）利用抽签法抽取样本时，号签的大小、形状要相同，必须“搅拌均匀”，已抽取号签不能放回；

（2）利用随机数法抽取样本时，如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，要剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的个数.

【跟踪训练】

1.（2024·济宁月考）总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成，从中选取5个个体.利用科学计算器依次生成一组随机数如下，则选出来的第5个个体的编号为（）

66 06 58 61 54 35 02 42 35 48 96 32 14 52 41 52 48

A.54B.14

C.35D.32

解析：B　生成的随机数中落在编号01，02，…，39，40内的有06，35，02，35（重复），32，14.故第5个个体的编号为14.

2.某大学为了支援西部教育事业，现从报名的28名志愿者中选取8人组成志愿小组.用抽签法设计抽样方案如下：

第一步，将28名志愿者编号，号码分别为1，2，…，28；

第二步，将号码分别写在外观、质地均无差别的纸条上，揉成团，制成号签；

第三步，将号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀；

第四步，　　；

第五步，所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员.

则第四步应为从袋子中依次不放回地抽出8个号签，并记录上面的号码.

解析：按照抽签法设计的步骤可知第四步应为：从袋子中依次不放回地抽出8个号签，并记录上面的号码.

【例3】　个体户李某经营一家快餐店，下面是快餐店所有工作人员8月份的工资表（单位：元）：

（1）计算所有工作人员8月份的平均工资；

（2）计算出的平均工资能否反映打工人员这个月收入的一般水平？为什么？

解：（1）这7个人8月份的平均工资是x＝×（30000＋4500＋3500＋4000＋3200＋3200＋4100）＝7500（元）.

（2）计算出的平均工资不能反映打工人员当月收入的一般水平，可以看出，打工人员的工资都低于该平均工资，因为这7个值中有一个异常值——李某的工资特别高，所以他的工资对平均工资的影响较大.

通性通法

样本均值与总体均值的关系

（1）在简单随机抽样中，我们常用样本均值去估计总体均值，一般情况下，样本容量越大，估计值越准确；

（2）总体均值是一个确定的数，样本均值具有随机性.

【跟踪训练】

1.从全校2 000名女学生中用随机数法抽取300名调查其身高，得到样本量的平均数为148.3 cm，则可以推测该校女学生的平均身高（）

A.一定为148.3 cm

B.高于148.3 cm

C.低于148.3 cm

D.约为148.3 cm

解析：D　由抽样调查的意义可知该校女学生的平均身高约为148.3cm.

2.某校组织了一次知识竞赛，在参加的同学中随机抽取100位同学的回答情况进行统计，答题情况如下：答对5道题的有10人，答对6道题的有30人，答对7道题的有30人，答对8道题的有15人，答对9道题的有10人，答对10道题的有5人，则可以估计在这次知识竞赛中这所学校的每位学生答对的题数为7.

解析：因为答对5道题的有10人，答对6道题的有30人，答对7道题的有30人，答对8道题的有15人，答对9道题的有10人，答对10道题的有5人，所以答对题目的平均数是＝7.

1.抽签法确保样本具有代表性的关键是（）

A.制签B.搅拌均匀

C.逐一抽取D.抽取不放回

解析：B　若样本具有很好的代表性，则每一个个体被抽取的机会相等，故需要对号签搅拌均匀.

2.为了大致了解某公司员工的身高情况，决定从50名员工（已编号为00～49）中选取10名进行测量.如果利用随机数法进行抽取，得到如下4组编号，则符合要求的编号是（）

A.26，94，29，27，43，99，55，19，81，06

B.20，26，31，40，24，36，19，34，03，48

C.02，38，22，41，38，24，49，44，03，11

D.04，00，45，32，44，22，04，11，08，49

解析：B　观察选项A中的编号，有不在00～49内的数字，故排除选项A；选项C、D中都有重复的编号，故排除选项C和D.故选B.

3.在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除一个人，再在剩余的100中随机抽取10人，那么下列说法正确的是（）

A.这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会

B.每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等，因为每个人被剔除的可能性相等，那么不被剔除的机会也是均等的

C.由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少

D.每个人被抽到的可能性不相等

解析：B　由于第一次剔除时采用抽签法，对每个人来说可能性相等，然后随机抽取10人对每个人的机会也是均等的，所以总的来说每个人的机会都是均等的，被抽到的可能性都是相等的.故选B.

4.从一个篮球训练营中抽取10名学员进行投篮比赛，每人投10次，统计出该10名学员投篮投中的次数，4人投中5次，3人投中6次，2人投中7次，1人投中8次.则估计该训练营学员平均投篮投中的比例为0.6.

解析：10名学员投中的平均次数为＝6，所以投中的比例约为＝0.6.

1.下列抽样试验中，适合用抽签法的是（）

A.从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验

B.从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验

C.从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验

D.从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验

解析：B　总体容量和样本容量较小时适合用抽签法，排除A、D；C中甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大，也不适用.

2.某学校为了解高一年级800名新入学同学的数学学习水平，从中随机抽取100名同学的中考数学成绩进行分析，在这个问题中，下列说法正确的是（）

A.800名同学是总体B.100名同学是样本

C.每名同学是个体D.样本量是100

解析：D　据题意，总体是指800名新入学同学的中考数学成绩，样本是指抽取的100名同学的中考数学成绩，个体是指每名同学的中考数学成绩，样本量是100，故只有D正确.

3.（2024·宿迁月考）某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的第5个零件编号是（）

0347 4373 8636 9647 3661 4698

6371 6233 2616 8045 6011 1410

A.36B.16

C.11D.14

解析：C　从题中给的随机数表第一行第3列开始从左往右开始读取，重复的数字只读一次，读到的小于40的编号分别为36，33，26，16，11.所以选出来的第5个零件编号是11.故选C.

4.某年级美术特长班有4个班级，每班各有40位学生（其中男生8人，女生32人）.若从该年级美术特长生中以简单随机抽样的方法抽出20人，则下列选项中正确的是（）

A.每班至少会有一人被抽中

B.抽出来的女生人数一定比男生人数多

C.已知小文是男生，小美是女生，则小文被抽中的可能性小于小美被抽中的可能性

D.若学生甲和学生乙在同一个班，学生丙在另外一个班，则甲、乙两人同时被抽中的可能性跟甲、丙两人同时被抽中的可能性一样

解析：D　在抽样过程中，每个个体被抽到的可能性都相等，从该年级美术特长生中以简单随机抽样的方法抽出20人，所有班的学生被抽到的可能性都一样，男生、女生被抽到的可能性都一样，其中任何两人被同时抽到的可能性一样.

5.某学校高一年级（1）班，（2）班，（3）班的人数分别为45，50，55，在某次考试中，（1）班的平均分为83分，（3）班的平均分为91分，三个班的平均分为86.6分，则（2）班的平均分为（）

A.84分B.85分

C.86分D.87分

解析：B　设（2）班的平均分为x分，则有：＝86.6，解得x＝85.故选B.

6.（多选）下列抽样方法是简单随机抽样的是（）

A.从50个零件中随机抽取5个做质量检验

B.从50个零件中一次性抽取5个做质量检验

C.从整数集中随机抽取10个分析奇偶性

D.运动员从8个跑道中随机选取一个跑道

解析：AD　对于A中，从50个零件中随机抽取5个做质量检验，符合简单随机抽样的定义和条件，所以是简单随机抽样；对于B中，从50个零件中一次性抽取5个做质量检验，不符合简单随机抽样的使用条件，不是简单随机抽样；对于C中，从整数集中随机抽取10个分析奇偶性，其中整数集为无限集，不符合简单随机抽样的条件，不是简单随机抽样；对于D中，运动员从8个跑道中随机选取一个跑道，符合简单随机抽样的定义和条件，所以是简单随机抽样.故选A、D.

7.已知x₁＝－1，x₂＝0，x₃＝1，x₄＝2，x₅＝3，y₁＝－2，y₂＝0，y₃＝2，y₄＝4，y₅＝6，则（x_i＋y_i）＝0.

解析：（x_i＋y_i）＝x_i＋y_i＝（－1＋0＋1）＋（－2＋0＋2）＝0.

8.某学校用简单随机抽样的方法抽取了100位老师，调查了他们的年龄，得到数据如下：

则估计该校老师年龄不低于40岁的比例是0.74.

解析：抽取的100位老师中，年龄不低于40岁的人数为74，＝0.74，故估计该校老师不低于40岁的比例为0.74.

9.从总体容量为N的一批零件中使用简单随机抽样的方法抽取一个容量为40的样本，若某个零件在第2次抽取时被抽到的可能性为1%，则N＝4 000.

解析：简单随机抽样中，每个个体被抽到的可能性相等，即＝1%，解得N＝4000.

10.选择合适的抽样方法抽样，并写出抽样过程.

（1）现有一批电子元件600个，从中抽取6个进行质量检测；

（2）现有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个入样.

解：（1）总体中个体数较大，用随机数法.

第一步，给元件编号为001，002，003，…，099，100，…，600；

第二步，用随机数工具产生001～600范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的电子元件进入样本；

第三步，依次操作，如果生成的随机数有重复，则剔除并重新产生随机数，直到样本量达到6；

第四步，以上这6个号码对应的元件就是要抽取的对象.

（2）总体中个体数较小，用抽签法.

第一步，将30个篮球，编号为1，2，…，30；

第二步，将以上30个编号分别写在外观、质地等无差别的小纸条上，揉成小球状，制成号签；

第三步，把号签放入一个不透明的盒子中，充分搅拌；

第四步，从盒子中逐个不放回地抽取3个号签，并记录上面的号码；

第五步，找出和所得号码对应的篮球.

11.为了调查某市城区某条河流的水体污染状况，某学校甲班的同学就某个指标抽取了样本量为50的样本5个，乙班的同学抽取了样本量为100的样本5个，得到如下数据：

据此可以认定乙班的同学调查结果能够更好地反映总体，估计这两个班的同学调查的该项指标约为120（答案不唯一，只要合理即可）.

解析：由抽样调查的意义可以知道，增加样本量可以提高估计效果，所以乙班同学的调查结果能够更好地反映总体，由题表可知，该项指标约为120.

12.一位学生在计算20个数据的平均数时，错把68输成86，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为0.9.

解析：设20个数分别为x_{1，x2，…，x20，且}x₂₀就是输错的数据，则求出的平均数为＝＝，∴求出的平均数与实际平均数的差为－＝＝0.9.

13.某些商家为消费者提供免费塑料袋，使购物消费更加方便快捷，但是我们更应关注它对环境的潜在危害.为了解某市所有家庭每年丢弃塑料袋个数的情况，统计人员采用了科学的方法，随机抽取了200户，对他们某日丢弃塑料袋的个数进行了统计，结果如下表：

（1）求当日这200户家庭平均每户丢弃塑料袋的个数；

（2）假设某市现有家庭100万户，据此估计全市所有家庭每年（以365天计算）丢弃塑料袋的总数.

解：（1）×（1×15＋2×60＋3×65＋4×35＋5×20＋6×5）＝×600＝3，

故当日这200户家庭平均每户丢弃塑料袋的个数为3.

（2）3×365×100＝109500，

由此估计全市所有家庭每年丢弃塑料袋109500万个.

14.从一群做游戏的小孩中随机选出k人，一人分一个苹果，让他们返回继续做游戏.过了一会儿，再从中随机选出m人，发现其中有n个小孩曾分到过苹果，估计参加游戏的小孩的人数为（）

A.　　B.k＋m－nC.　 D.不能估计

解析：C　设参加游戏的小孩有x人，则＝x＝.

15.（2024·开封月考）为了节约用水，制定阶梯水价，同时又不加重居民生活负担，某市物价部门在8月份调查了本市某小区300户居民中的50户居民，得到如下数据：

物价部门制定的阶梯水价实施方案为：

（1）计算这50户居民的用水的平均数；

解：这50户居民用水的平均数为×（18×2＋19×4＋20×4＋21×6＋22×12＋23×10＋24×8＋25×2＋26×2）＝22.12（m³）.

（2）写出水价的函数关系式，并计算用水量为28 m³时的水费；

解：设月用水量为xm^3，

则水价为f（x）＝

当x＝28时，f（28）＝4.5×28－31.5＝94.5（元）.

（3）物价部门制定的水价合理吗？为什么？

解：不合理.从时间上看，物价部门是在8月份调查的居民用水量，而这个月，该市的居民用水量普遍偏高，不能代表居民全年的月用水量；从居民比例上看，仅仅有16户居民，即32%的居民月用水量没有超过21m^{3，加重了大部分居民的生活负担}.

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