这里的解答并不是标准的书面解答，对于一些题目我们会相较书面解答加上一些自己的思考。为了尽量让过程完整不跳步且易懂，这些题目的解答可能会写得略长。
我们继续开始解答该部分题目。上期我们做到了 ，这期我们解答 。我们明天开始大量更新，今天还是先稍微写点。
思考题：切空间的抽象/几何定义（这是理解微分和切空间的重要习题）
习题 T
给定开集 和 。我们令 是所有通过 的 的曲线的集合。按照定义，我们有
我们在 定义如下的等价关系，其中 ：
我们考虑 在上述等价关系下的等价类 ：
其中，如果 ，那么在等价类的集合 中，。换句话说，我们把在 点处的切向量相同的曲线认为是同一条曲线，这就是为什么我们把这个空间称作是切空间。
证明，映射
是良好定义的并且是双射。
请将 定义为一个 -线性空间 使得上述映射为线性空间的同构。
我们把具有线性空间结构的 （它本来仅是曲线的等价类的集合）记作 。
令 ， 是 的映射，。证明，映射
是良好定义的。
换句话说，通过和 复合，我们可以把 上通过 点的曲线映射称为 上通过 点的曲线。
下面是我们这期需要完成的题目：
证明，映射
是良好定义线性映射。
这个映射被称作是 切映射。
如果两个曲线 在 处拥有相同的导数（它们被划分到相同的等价类内），那么根据链式法则， 在 处也应该拥有相同的导数，这也即它们会被划分到相同的等价类内，故 是良好定义的。
我们再证明 是线性映射。
结合 中我们对等价类的加法数乘给出的定义（回忆一下，这也即 ，），我们试图“同时考虑” 和 。
先对单个 计算。我们有：
（其中 也即 Jacobi 矩阵， 也即 的微分，下同）
从而我们有如下的等式：
这会推出（利用了 是双射）：
注意到由 及 的定义，我们有 三个映射均为线性映射，故 也为线性映射。
从而得证！
在 上考虑曲线
证明，，其中，我们在 上用 作为坐标系。
记 为 ，那么 也即 的映射。
容易计算得 。这和题目要求的结果并不一样！但我似乎没有找到能算出其他结果的计算方法。似乎一种可能的解释是方向导数均可表示成一些偏微分的线性组合，而这里 表示的是这组基 下的方向向量。
在 上考虑曲线
试用 的偏导数和 来表达 。
由链式法则，我们有
根据 Jacobi 矩阵的定义，我们有：
注意到 ，我们有：
两边同时作用 ，我们也就得到了：
我是培淇，我们下期再见！
