1.观看介绍埃及金字塔的视频，并提出真实问题：“古人没有先进的仪器，是如何测量金字塔侧面与底面所成的角的呢？
2.师生活动：教师引导学生思考，如何将这个问题转化为我们已经学过的三角形知识？
【设计意图】通过历史名题创设真实、有效的情境，让学生感受到数学不是抽象的符号，而是解决实际问题的强大工具，深刻体会数学的应用价值和历史文化内涵，激发探究欲望。
（二）新知探究：外角的定义与性质——贯穿抽象、直观、推理与建模
活动一：探究三角形外角的定义（聚焦数学抽象与直观想象）
问题1：如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.观察思考∠ACD有什么特征？
师生活动：教师提出问题，激发学生积极探寻解决问题的办法，通过合作探究从而归纳外角定义。
解：顶点在三角形的一个顶点上；
一条边是三角形的一条边；
另一条边是三角形的某条边的延长线.
引出三角形外角定义：像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.
【设计意图】从实际出发，让学生理解三角形外角的特征，以便在之后的练习中能够更快的找到外角。
思考：如图，延长 AC 到 E，∠BCE 是不是△ABC 的一个外角？∠DCE 是不是△ABC 的一个外角？
解：∠BCE 是△ABC 的一个外角，∠DCE 不是△ABC 的一个外角.
问题2：想一想△ABC的外角有几个，每个顶点处有几个外角？它们有何关系？试着画一画.
（1）每一个三角形都有___个外角.
（2）每一个顶点相对应的外角都有___个.
师生活动:学生独立思考后小组讨论，选派代表作答，教师顺势总结.
解：(1)6；(2)2；它们是对顶角，因此它们相等。
总结：研究有关外角的问题时，通常每个顶点处取一个外角.
【设计意图】培养学生的自主学习能力和归纳总结能力，锻炼学生的实践能力.
例1 如图，∠BEC 是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD 是哪个三角形的外角？
解：∠BEC 是△AEC 的外角；∠AEC 是△BEC 的外角；∠EFD 是△BEF 和△DCF的外角.
活动二：探究三角形外角的性质（聚焦逻辑推理、数据分析与模型观念）
问题3（建模基础）：如图，△ABC的外角∠ACD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？
师生活动:教师提出问题，学生独立思考并举手回答.
解：因为∠ACD＋∠ACB=180°，
所以∠ACD与∠ACB互补．
【设计意图】让学生通过独立思考，可以利用三角形内角和解题；培养学生发现问题，解决问题和直观想象能力.
问题4（猜想与验证）：三角形的外角与相邻的内角互补，那么三角形的外角与不相邻的内角又有什么关系呢？你能推测出来吗？
如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角.能由∠A，∠B求出∠ACD吗？猜测∠ACD与∠A，∠B有什么关系？
师生活动:教师提出问题，学生思考后举手回答.
证明：能，∠ACD＝∠A＋∠B. 理由如下：
∵∠A＋∠B＋∠ACB=180°，∠A=70°，∠B=60°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-70°-60°=50°，
∠A+∠B=70°+60°=130°，
∵∠ACB＋∠ACD=180°，
∴∠ACD＝180°－∠ACB＝130°.
∴∠ACD＝∠A＋∠B.
猜想：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【设计意图】通过上图的展示，帮助学生有效观察，利用三角形内角和定理解题，提高学生的辩证能力.
问题5：任意一个三角形的一个外角和它不相邻的两个内角是否都有这种关系？
验证：利用几何画板演示三角形的外角和它不相邻的两个内角和相等.
推理：
已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角，求证：∠ACD=∠A+ ∠B .
思路1：结合三角形内角和和邻补角，你能推出什么？（适合基础学生）；
思路2：尝试通过作辅助线，利用平行线性质证明（适合进阶学生）。
证明1：∵∠ACD+ ∠ACB=180°（邻补角的定义）
∴∠ACD =180°-∠ACB
又∵∠A+ ∠B+ ∠ACB=180°（三角形内角和180°）
∴∠A+ ∠B =180 °－∠ACB
∴∠ACD =∠A+∠B(等量代换)
证明2：过C作CE∥AB
∵CE ∥AB
∴∠A =∠ACE（两直线平行，内错角相等）
∠B =∠DCE （两直线平行，同位角相等）
又∵ ∠ACD =∠ACE +∠DCE
∴∠ACD =∠A +∠B
证明3：过A作EF∥BD
∴∠ACD =∠EAC ∠EAB =∠B
又∵∠EAC=∠BAC+∠EAB
∴∠EAC=∠BAC+∠B
∴∠ACD =∠BAC+∠B
【设计意图】让学生完整经历“具体计算→数据观察→提出猜想→逻辑证明”这一数学发现的全过程。在此过程中，培养了学生的数据分析能力、合情推理与演绎推理能力，并深刻体验了“转化”这一重要的数学思想方法。分层证明照顾了差异性，让所有学生都能体验推理的成功。
总结：对任意三角形：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
三角形内角和定理的推论（三角形外角的性质）:
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
几何语言：如图，∵∠ACD是△ABC的一个外角
∴∠ACD=∠A+∠B
思考：三角形的一个外角和它不相邻的一个内角有何数量关系？
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
三角形外角的性质:
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．（由三角形内角和得出的推论）
（2）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
推论是由定理直接推出的结论．和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据.
(三)应用新知：外角和的探索——强化直观想象与模型观念
如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
思路1：根据三角形外角的性质，可知∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2.因为三角形内角和是180°,所以∠1+∠2+∠3=180°，由此可求出∠BAE，∠CBF，∠ACD的和.
思路2：根据三角形的外角与相邻的内角互补得出结论.
解法1：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE=∠2+∠3，
∠CBF=∠1+∠3，
∠ACD=∠1+∠2.
所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）.
由∠1+∠2+∠3=180°，得 ∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°.
解法2：由三角形的一个外角与其相邻的内角互补，得
∠BAE+∠1=180°，
∠CBF+∠2=180°，
∠ACD+∠3=180°.
所以∠BAE+∠CBF+∠ACD+∠1+∠2+∠3=540°.
由∠1+∠2+∠3=180°，
得∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.
总结：三角形的外角和为360°.
在三角形的每个顶点各取一个外角，这三个外角的和叫作三角形的外角和.
让学生观看三角形内角和是360°的视频，加深对知识的理解.
【设计意图】一题多解，既是对外角性质模型的巩固应用，又通过动态演示，发展学生的直观想象能力，让“三角形的外角和为360°”这一结论变得直观而深刻。
解：(1)∠2=60°+80°=140°，∠1=180°-140°=40°.
(2)∠2=30°+40°=70°，∠1=180°-70°=110°.
(3)∠2=180°-40°=140°，∠1=140°-90°=50°.
(4)∠ACD=40°+70°=110° ，∠2=180°-∠ACD=70°，
因为CE平分∠ACD，所以∠1=×110°=55°，.
(5)∠1=60°+20°=80°，∠2=180°-60°-80°=40°.
(6)因为对顶角相等，所以∠1=180°-30°-90°=60°，∠2=180°-60°-90°=30°.
【设计意图】让学生进一步巩固所学知识，加强学生对本节知识的掌握，培养应用意识，锻炼运用能力和解题能力.
师生活动：师生共同从知识、方法、素养三个层面回顾总结。
1.知识层面：我们学习了什么？（外角定义、性质、外角和）
2.方法层面：我们是怎么学习的？（观察-猜想-验证-推理的探究路径）
3.素养层面：你有什么感悟？（学会用数学眼光去观察，用数学思维去思考，用数学语言去表达）
【设计意图】引导学生从“学会”到“会学”，进行元认知层面的反思，将课堂收获系统化、结构化，实现核心素养的内化。
基础作业：教科书第16页习题13.3第4，5，6题.
拓展作业：
任务： 请同学们课后查阅资料（可借助书籍、网络或AI工具），了解：
1. 埃及金字塔侧面与底面的实际夹角约为多少度？
2. 尝试用三角形外角或内角和的知识，解释这个角度与金字塔结构稳定性之间的关系。
要求： 撰写一段200字左右的调查报告，或绘制示意图说明你的理解。
【设计意图】本环节通过呼应课始的“金字塔测量”问题，引导学生运用所学外角知识理解真实情境中的角度关系，构建“情境—知识—应用”的完整探究闭环。不仅促使学生建立数学与现实的深层联结，更在揭秘历史文化背景的过程中，发展其数学建模意识与主动探究的素养，真正实现从“学会知识”到“会用数学观察世界”的升华。
