初中数学新北师大版七年级下册全册教案(2025春)

北师大版七年级数学下册

教

学

设

计

2025春

第一章整式的乘除

1同底数幂的乘法

【教学目标】

1.理解同底数幂的乘法法则，能熟练运用该法则解决与之相关的一些数学问题.

2.经历探索同底数幂乘法运算法则的过程，培养学生观察、猜想、推理和归纳的能力.

3.通过同底数幂的乘法法则的探索过程使学生感受到由特殊到一般再到特殊的数学思想，通过合作学习激发学生的探索热情，感受到成功的喜悦.

【教学重点】

同底数幂的乘法法则的探索过程和理解应用.

【教学难点】

同底数幂的乘法法则的理解.

【教学过程】

一、情景导入，初步认知

1.乘方：

2.光在真空中的速度大约是3×10⁵千米/秒，太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要4.22年.一年以3×10⁷秒计算，比邻星与地球的距离约为多少千米？

[教学说明]

以课本上有趣的天文知识为引例，让学生从中抽象出简单的数学模型，实际在列式计算时遇到了同底数幂相乘的形式，给出问题，启发学生进行独立思考，也可采用小组合作交流的形式，结合学生现有的有关幂的意义的知识，进行推导尝试，力争独立得出结论.

二、思考探究，获取新知

1.计算下列各式：

（1）10²×10³；（2）10⁵×10⁸；

（3）10^m×10ⁿ（m，n都是正整数）.你发现了什么？

[教学说明]

小组合作探究，对于有的同学可能会由上面的分析感觉到了规律的存在，可鼓励他们进行验证.请部分学生代表说出自己小组的观点，其他组同学则进行评价或发表不同的见解.

2. 2^m×2ⁿ等于什么？呢？(m，n都是正整数）

[教学说明]

猜想，交流，验证，口答.

3.合作交流：a^m·aⁿ等于什么？(m，n都是正整数）

4.引导学生剖析法则.

(1)等号左边是什么运算？

(2)等号两边的底数有什么关系？

(3)等号两边的指数有什么关系？

(4)你能总结同底数幂的乘法的法则吗？

[教学说明]

猜想，交流，验证，口答.

[归纳结论]

am·an=am+n（m,n都是正整数)同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

三、运用新知，深化理解

1.见教材P3例1、例2.2.计算：

(1)-b³·b²(2)(-a)·a³

(3)(-y)²·(-y)³(4)(-a)³·(-a)⁴

(5)-3⁴×3²(6)（-5）⁷×(-5)⁶

(7)(-q)²ⁿ·（-q）³(8)(-m)⁴·（-m）²

(9)-2³(10)（-2）⁴×（-2）⁵

（11）-b⁹·(-b)⁶（12）(-a)³·(-a³)

答案：

(1)-b⁵(2)-a⁴(3)-y⁵(4)-a⁷     (5)-729   (6)-5¹³

(7)-q²ⁿ⁺³  (8)m⁶    (9)-8   (10)-512  (11)-b¹⁵(12)a⁶

3.下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？

（1）2³×3²=6⁵；（2）a³+a³=a⁶;

（3）yⁿ·yⁿ=2y²ⁿ；（4）m·m²=m²；

（5）(-a)²·（-a²）=a⁴;    （6）a³·a⁴=a¹²;

（7）(-4)³=4³；（8）7×7²×7³=7⁶；

（9）-2²=-4；           （10）n+n²=n³.

4.计算：

5.计算：（结果可以化成以(a+b)或(a-b)为底时幂的形式）.

（1）(a-b)²·(a-b)³·(a-b)⁴

（2）(a+b)^m+1·(a+b)+(a+b)^m·(a+b)²

答案：（1）(a-b)⁹（2）2(a+b)^m+2

6.我国自行研制的“神威”计算机的峰值运算速度达到每秒3840亿次.如果按这个速度工作一整天，那么它能运算多少次（结果保留3个有效数字）？

提示：3840亿次=3.84×10³×10⁸次、24时=24×3.6×10³秒

解：（3.84×10³×10⁸）×(24×3.6×10³)=(3.84×24×3.6)×(10³×10⁸×10³)=331.776×10¹⁴≈3.32×10¹⁶（次）

答：它能运算约3.32×10¹⁶次.

[教学说明]

给学生充足的思维空间，养成独立思考习惯，让后进生也能在课堂上体验成功，有成就感；且该教学活动亦能培养学生仔细观察问题的习惯.

四、师生互动，课堂小结

先小组内交流收获和感想再以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.

五、教学板书

【课后作业】

1.布置作业:教材“习题1.1”中第1、2、3题.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

【教学后记】

2 幂的乘方与积的乘方

第1课时 幂的乘方

【教学目标】

1.学习幂的乘方的运算性质，进一步体会幂的意义，并能解决实际问题.

2.经历探索幂的乘方运算性质的过程，发展推理能力和有条理的表达能力，提高解决问题的能力.

3.体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美.

【教学重点】

会进行幂的乘方的运算.

【教学难点】

幂的乘方法则的总结及运用.

【教学过程】

一、情景导入，初步认知

复习已学过的幂的意义及幂的运算法则.

1.幂的意义是什么？

2.同底数幂的乘法的法则是什么？根据已经学习过的知识，带领学生回忆并探讨以下实际问题：

（1）乙正方体的棱长是2cm,则乙正方体的体积V_乙=______cm³.甲正方体的棱长是乙正方体的5倍，则甲正方体的体积V=______cm³.

（2）乙球的半径为3cm,则乙球的体积V_乙=________cm³（球的体积公式是V=πr³，其中V是体积,r是球的半径）甲球的半径是乙球的10倍，则甲球的体积V_甲=______cm³.

如果甲球的半径是乙球的n倍，那么甲球体积是乙球体积的______倍.

（3）地球、木星、太阳可以近似地看作球体.木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和10²倍，它们的体积分别约是地球的______倍和______倍.

[教学说明]

在实际教学过程中应本着从学生实际出发的原则，首先从学生最为熟悉的正方体体积入手，通过具体数字来研究问题，这是良策.进而告知学生球的体积公式，给出具体数字再去研究.

二、思考探究，获取新知

1.通过问题情境继续研究：为什么（10²）³=10⁶？

[教学说明]

让学生清楚运算之间的关系，题目所描述的是10的2次幂的三次方，其底数是幂的形式，然后根据幂的意义展开运算，去探究运算的过程.

2.计算下列各式，并说明理由.

(1)(6²)⁴;(2)(a²)³;

(3)(a^m)²;(4)(a^m)ⁿ.

[教学说明]

学习的过程中，时刻不能忘记学生是主体，一切教学活动都应当从学生已有的认知角度出发，问题环节设计跨越性不能太大，要让学生在不断的探索过程中得到不同程度的感悟，自己能够主动地去探究问题的实质，有成功的体验.

3.观察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数，想一想它们之间有什么关系?结果中的底数与原式的底数之间有什么关系?你能总结这个规律吗？

[教学说明]

培养学生从“一般”到“特殊”再到“一般”的研究问题方法和概括归纳能力.

[归纳结论]

幂的乘方的法则：

（a^m）ⁿ=a^mn(当m、n都是正整数)

幂的乘方，底数不变，指数相乘.

三、运用新知，深化理解

1.见教材P₆例1

2.计算：

（1）（7⁵）⁴=______；（2）7⁵×7⁴=______；

（3）（x⁵）²=______；（4）x⁵·x²=______；

（5）［（-7）⁴］₅=______；（6）［（-7）⁵］⁴=______.

答案：（1）7²⁰（2）7⁹（3）x¹⁰（4）x⁷（5）7²⁰（6）7²⁰

3.你能说明下面每一步计算的理由吗？将它们填在括号里.

答案：

（1）幂的乘方法则同底数幂的乘法法则

（2）幂的乘方法则合并同类项法则

4.计算下列各式.

5.若│a-2b│+（b-2）²=0，求a⁵b¹⁰的值.

解：∵│a-2b│≥0，（b-2）²≥0，

且│a-2b│+（b-2）²=0.

∴│a-2b│=0，（b-2）²=0，

6.若x^m·x^2m=2，求x^9m.

解：x^3m=2，x^9m=(x^3m)³=2³=8.

7.已知a=3⁵⁵⁵，b=4⁴⁴⁴，c=5³³³，试比较a，b，c的大小.

解：∵a=3⁵⁵⁵=3^5×111=（3⁵）¹¹¹=243¹¹¹，

b=4⁴⁴⁴=4^4×111=（4₄）¹¹¹=256¹¹¹.

c=5³³³=5^3×111=（5³）¹¹¹=125¹¹¹，

又∵256>243>125，

∴256¹¹¹>243¹¹¹>125¹¹¹.

即b>a>c.

8.化简-{-［（-a²）³］⁴}²

解：-{-［（-a²）³］⁴}²=-{-［-a⁶］⁴}²=-{-a²⁴}²=-a⁴⁸

[教学说明]

培养学生对新知识的灵活运用能力.

四、师生互动，课堂小结

1.(a^m)ⁿ＝a^m·n(m、n是正整数)，这里的底数a，可以是数、是字母，也可以是代数式；这里的指数是指幂指数及乘方的指数.

2.对于同底数幂的乘法、幂的乘方、要理解它们的联系与区别.在利用法则解题时，要正确选用法则，防止相互之间发生混淆(如：a^m·aⁿ＝a^m+n，(a^m)ⁿ＝a^mn).并逐步培养自己“以理驭算”的良好运算习惯.

五、教学板书

【课后作业】

1.布置作业:教材“习题1.2”中第1、2题.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

【教学后记】

第2课时 积的乘方

【教学目标】

1.经历探索积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义.

2.了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.

3.在探索积的乘方的运算性质的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力.

4.在发展推理能力和有条理的语言和符号表达能力的同时，进一步体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美.

【教学重点】

会进行积的乘方的运算.

【教学难点】

正确区别幂的乘方与积的乘方的异同.

【教学过程】

一、情景导入，初步认知

1.复习前几节课学习的有关幂的三个知识点：

①幂的意义.

②同底数幂的乘法运算法则a^m·aⁿ=a^m+n（m、n为正整数）.

③幂的乘方运算法则(a^m)ⁿ=a^mn(m、n都是正整数).

2.计算：

(1)-a²·a⁶；(2)(-x)·(-x)³；(3)(10³)³；

(4)(-p)·(-p)⁴；(5)(a²)³·(a³)²；(6)(a⁴)⁶-(a³)⁸.

[教学说明]

参与回顾旧知识为新课作准备.

二、思考探究，获取新知

1.地球可以近似的看做是球体，如果用V、r分别代表球的体积和半径，那么V＝πr³.地球的半径约为6×10³千米，它的体积大约是多少立方千米？根据公式可知:V＝r³=π(6×10³)³那么（6×10³)³=？

2.仿照第（1）小题，计算（2）（3）题：

(1)2³×5³；

解：原式＝(2×2×2)×(5×5×5)

=(2×5)×(2×5)×(2×5)

=(2×5)³

(2)28×58；

(3)212×512.

从以上的计算中，我们发现了什么？

[教学说明]

通过对以上特别的计算，学生能归纳出：aⁿ·bⁿ=(a·b)ⁿ.

3.做一做：

4.你能根据幂的意义和乘法的运算律推出公式吗？你能用自己的语言描述该性质的特点吗？

[归纳结论]

aⁿ·bⁿ=(a·b)ⁿ（n为正整数）积的乘方等于每一个因式乘方的积.

[教学说明]

在实践中探索新知，进一步学会总结运算中的规律.

三、运用新知，深化理解

1.见教材P7例2.

2.计算下列各式，结果是x⁸的是（D）

3.下列各式中计算正确的是（C）

4.计算(-x²)³的结果是（C）

A.-x⁵B.x⁵C.-x⁶D.x⁶

5.下列四个算式中：

①（a³）³=a³⁺³=a⁶；②［（b²）²］²=b^2×2×2=b⁸；③［（-x）³］⁴=（-x）¹²=x¹²；④（-y²）⁵=y¹⁰，正确的算式有（C）

A.0个 B.1个  C.2个  D.3个

6.计算下列各式.

7.已知：2x+3y-4=0，求4x·8y的值.

解：因为，2x+3y-4=0,

所以2x+3y=4.

所以4^x·8^y=2^2x×2^3y=2^2x+3y=2⁴=16.

8.已知：9ⁿ⁺¹-3²ⁿ=72，求n的值.

解：由9ⁿ⁺¹-3²ⁿ=72得

3²ⁿ⁺²-3²ⁿ=72，9×3²ⁿ-3²ⁿ=72，8×3²ⁿ=72，3²ⁿ=9，所以n=1.

9.若a=2⁵⁵，b=3⁴⁴，c=4³³，比较a、b、c的大小.

解：因为a=(2⁵)¹¹=32¹¹，b=(3⁴)¹¹=81¹¹，c=(4³)¹¹=64¹¹，所以a<c<b.

[教学说明]

在练习中巩固所学知识，体现数学的具体应用.

四、师生互动，课堂小结

先小组内交流收获和感想，然后以小组为单位派代表进行总结,教师作以补充.

五、教学板书

【课后作业】

1.布置作业:教材“习题1.3”中第1、2、3题.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

【教学后记】

3同底数幂的除法

第1课时 同底数幂的除法

【教学目标】

1.会进行同底数幂的除法运算，并能解决一些实际问题，了解零指数幂和负整数指数幂的意义，能进行零指数幂和负整数指数幂的乘除法运算.

2.经历探索同底数幂除法运算性质的过程，进一步体会幂的意义，经历观察、归纳、猜想、解释等教学活动，体验解决问题方法的多样性，发展学生的合情推理和演绎推理能力以及有条理的表达能力.

3.在解决问题的过程中了解数学的价值，体会数学的抽象性、严谨性和广泛性.

【教学重点】

会进行同底数幂的除法运算.

【教学难点】

同底数幂的除法运算法则的总结及运用.

【教学过程】

一、情景导入，初步认知

1.前面我们学习了哪些幂的运算?在探索法则的过程中我们用到了哪些方法？

（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加.a^m·aⁿ=a^m+n（m,n是正整数）.

（2）幂的乘方，底数不变，指数相乘.(a^m)ⁿ=a^mn（m,n是正整数）.

（3）积的乘方等于积中各因数乘方的积.(ab)ⁿ=aⁿ·bⁿ(n是正整数).

[教学说明]

学习同底数幂的除法要借助前面三种幂的运算的活动经验和知识基础，因此这个环节的目的是回顾前面的知识和方法，为下面自主探索，归纳法则做好铺垫.

2.一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果,科学家们进行了实验,发现1滴杀虫剂可以杀死109个此种细菌.

（1）要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？

（2）你是怎样计算的？

（3）你能再举几个类似的算式吗？

（4）这些算式应该叫做什么运算呢？

[教学说明]

用实际背景来引入同底数幂的除法，让学生体会数学与现实生活的紧密联系，而这个问题学生运用有理数知识就能解决，为下面类比解决“式”的问题提供思路，第

（3）问的目的是帮助学生抓住“同底数幂”“相除”这些本质特征，同时也为进一步的探索提供素材.

二、思考探究，获取新知

探究1：同底数幂的除法1.计算下列各式，并说明理由（m>n）

(1)10⁸÷10⁵;(2)10^m÷10ⁿ;(3)(-3)^m÷(-3)ⁿ.

2.探究：a^m÷aⁿ=?

由幂的定义可知

你能从中归纳出同底数幂除法的法则吗？

[教学说明]

让学生从有理数的运算出发，由特殊逐渐过渡到一般，得到同底数幂的运算法则，再运用幂的意义加以说明.在此过程中，提高学生类比、归纳、符号演算、推理能力和有条理的表达能力.

[归纳结论]

a^m÷aⁿ=a^m-n(a≠0，m,n是正整数，且m>n)

同底数幂相除，底数不变，指数相减.

探究2：负整数指数幂

1.做一做：

10⁴=10000，   2⁴=16

10^（）=1000，   2^（）=8

10^（）=100，    2^（）=4

10^（）=10，     2^（）=2

2.猜一猜：下面的括号内该填入什么数？你是怎么想的？与同伴交流：

3.你有什么发现？能用符号表示你的发现吗？

4.你认为这个规定合理吗？为什么？

[教学说明]

让学生完整的经历观察、归纳、猜想、解释的过程，从而感悟到先由具体问题概括出结论，再通过一般性证明来说明结论的合理性这样一个解决问题的方法，数学合情推理和演绎推理能力的培养就蕴含在这样的思维过程之中.同时，不同的解释思路可以帮助学生从不同的角度，更好地理解零指数幂、负整数指数幂的意义.

[归纳结论]

a⁰=1(a≠0)

a^-p=(a≠0,p是正整数)

三、运用新知，深化理解

1.见教材P10例1、例22.计算：

3.若式子（2x-1）⁰有意义，求x的取值范围.

分析：由零指数幂的意义可知,只要底数不等于零即可.

解：由2x-1≠0，得x≠，即，当x≠时，（2x-1）⁰有意义.

4.计算：

5.计算：

（1）（a⁸）²÷a⁸；

（2）（a-b）²（b-a）²ⁿ÷（a-b）^2n-1.

解：（1）（a⁸）²÷a⁸=a¹⁶÷a⁸=a^16-8=a⁸；

（2）（a-b）²（b-a）²ⁿ÷（a-b）^2n-1

=（a-b）²（a-b）²ⁿ÷（a-b）^2n-1

=（a-b）^{2+2n-（2n-1）}

=（a-b）³

6.计算下列各式，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式.

分析：(1)正整数指数幂的相关运算对负整数指数幂和零指数幂同样适用.对于第（2）题，在运算过程中要把(x+y).(x-y)看成一个整体进行运算.

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