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第 1 章 反比例函数

1.1 反比例函数1.2 反比例函数的图象与性质1.3 用反比例函数解决问题小结与思考复习题综合与实践

一、全章整体规划

（一）本章课时分配（总计 9 课时，单课时 45 分钟）

1.1 反比例函数 ——1 课时1.2 反比例函数的图象与性质 ——3 课时 ▪第 1 课时：绘制反比例函数图象，认识双曲线 ▪第 2 课时：反比例函数图象性质（分布象限、增减性、对称性） ▪第 3 课时：k的几何意义、函数取值范围综合应用1.3 用反比例函数解决问题 ——2 课时 ▪第 1 课时：基础实际应用（行程、面积、工程类问题） ▪第 2 课时：跨学科应用（压强、杠杆）与最值问题小结与思考（单元知识梳理）——1 课时本章复习题专项训练 ——1 课时综合与实践《密度计中的函数》项目探究 ——1 课时

（二）本章核心素养目标

参照《义务教育数学课程标准（2022 版）》四大数学核心素养制定教学目标：

1. 数学抽象
   ：从现实情境当中提炼 “两个变量乘积为定值” 的反比例关系，搭建反比例函数符号模型；掌握自变量取值限制条件，理清正比例、反比例函数的本质区别。
2. 逻辑推理
   ：参照一次函数 “定义 — 画图 — 性质 — 实际应用” 的探究思路，自主分析参数k对双曲线位置、增减变化规律造成的影响，归纳图象的对称特征，锻炼合情推理与演绎推理能力。
3. 几何直观
   ：熟练运用列表、描点、连线的方法绘制双曲线；依托函数图象分析自变量、函数值的取值区间，理解k的几何意义，落实数形结合思想。
4. 模型观念
   ：能够针对生活场景、物理跨学科问题建立反比例函数模型，借助解析式、函数图象解释现实变化规律，提升运用数学知识解决真实问题的能力。

附加培养目标：运算能力、数据分析能力、合作探究意识、严谨求实的数学学习态度。

（三）本章教学重难点

教学重点：反比例函数概念、双曲线图象及其性质、待定系数法求解函数解析式、利用反比例函数解决实际问题。教学难点：①描述反比例函数增减性时必须加上前提条件 “在每个象限内”；②理解k的几何意义；③在跨学科题目情境中提取反比例等量关系式；④一次函数和反比例函数的综合性题型。

第 1 课时 1.1 反比例函数（详细教案）

一、基础教学信息

• 教材版本：苏科版九年级上册第 1 章 1.1 小节
• 课型：新授课
• 课时：第 1 课时
• 授课时长：45 分钟

二、教学目标（立足核心素养）

1. 知识与技能

（1）理解反比例关系以及反比例函数的定义，熟记三种等价表达形式；（2）可以判断一个式子是否属于反比例函数，能够确定自变量的取值范围；（3）可以结合实际问题列出反比例函数关系式。

2. 过程与方法

完整经历 “现实实例→提取变量关系→抽象数学概念→符号表示→辨析巩固→实际运用” 的建模过程，类比正比例函数的学习思路，感悟类比思想、数学抽象思想。

3. 核心素养落地

• 数学抽象：提炼乘积固定不变的变量关系，转化为函数符号语言；
• 模型观念：构建反比例函数模型，用来刻画现实世界的变化规律；
• 逻辑推理：对比正比例、反比例函数，总结二者异同。

4. 情感态度与价值观

体会数学来源于实际生活，感悟变量之间相互依存的函数思想，培养认真审题、书写规范的学习习惯。

三、教学重难点

• 重点
  ：反比例函数的定义、三种表达式、实际问题建模。
• 难点
  ：把握反比例函数本质，分清反比例关系与反比例函数，准确判定自变量取值范围。

四、课前教学准备

多媒体 PPT、导学案、课堂练习单

五、教学实施过程（45 分钟）

（一）温故导入，类比新知（5 分钟）

1. 回顾正比例函数知识：形如\(y=kx\)（k为常数，\(k≠0\)），本质特征：两个变量的商是定值。2. 出示三道情境题，学生独立列出关系式：问题 1：矩形面积固定为\(\boldsymbol{24cm^2}\)，长、宽二者满足怎样的等量关系？预设答案：\(ab=24\)，变形得到\(a=\dfrac{24}{b}\)问题 2：总路程 60km，行驶速度、行驶时间之间的函数关系式？预设答案：\(vt=60\)，变形\(t=\dfrac{60}{v}\)问题 3：总金额 80 元购买商品，商品单价、购买数量之间的关系式。3. 引导学生观察上面式子的共同点：两组变量相乘结果为非零常数，顺势引出本节课课题：反比例函数。

（二）合作探究，生成概念（18 分钟）

活动 1：反比例关系定义如果两个变量的乘积等于一个不为 0 的常数，也就是\(\boldsymbol{xy=k(k≠0)}\)，那么就称x与y成反比例关系。

活动 2：反比例函数正式定义一般地，形如\(\boldsymbol{y=\dfrac{k}{x}}\)（k是常数，\(k≠0\)）的函数叫做反比例函数。

• x为自变量，y是因变量；
• 自变量\(x≠0\)（分母不能够等于 0）。

活动 3：三种等价表达式（板书重点）1. 分式标准形式：\(\boldsymbol{y=\dfrac{k}{x}}\)2. 乘积形式：\(\boldsymbol{xy=k}\)（最直观体现反比例本质）3. 负指数形式：\(\boldsymbol{y=kx^{-1}}\)，多用于判断字母指数类习题

活动 4：概念辨析，攻克易错点例 1 判断给出的函数是否属于反比例函数：① \(y=\dfrac{5}{x}\) ✔② \(y=3x\)（正比例函数）❌③ \(y=\dfrac{1}{2x}\) ✔④ \(xy=-6\) ✔⑤ \(y=\dfrac{1}{x+2}\) ❌（分母整体是\(x+2\)，不是单独自变量x）易错提醒：自变量必须单独位于分母，同时满足\(k≠0\)。

例 2 如果函数\(\boldsymbol{y=(m-2)x^{m^2-5}}\)是反比例函数，求m的值。解：列方程组\(\begin{cases} m^2-5=-1 \\ m-2≠0 \end{cases}\)计算得出\(m=-2\)，舍去\(m=2\)。

活动 5：实际情境建模教材例题：工厂需要加工 100 个零件，总加工时间\(t(\mathrm{h})\)和每小时加工零件数n之间的函数关系式。总量＝效率 × 时间，可得\(tn=100\)，即\(\boldsymbol{t=\dfrac{100}{n}}\)着重强调：实际应用题，自变量需要结合现实意义补充取值范围。

（三）分层训练，当堂巩固（15 分钟）

1. 基础题：写出反比例函数当中参数k的值2. 中档题：已知y与x成反比例，给出一组\(x、y\)数值，求解函数解析式解题思路：先设\(y=\dfrac{k}{x}\)，代入已知条件求出k，为本节课之后学习待定系数法做好铺垫3. 拓展题：长方体固定体积 30，底面积S、高h，写出h关于S的反比例函数。

（四）课堂小结（5 分钟）

1.1 个本质特征：两个变量乘积是定值；2.3 种书写形式：\(y=\dfrac{k}{x}\)、\(xy=k\)、\(y=kx^{-1}\)3.2 条重要限制条件：\(k≠0，x≠0\)4.1 种解题方法：待定系数法求反比例函数解析式

（五）课后作业（2 分钟）

1. 完成课本 1.1 小节全部课后习题；2. 拓展任务：自行列举 3 组生活中的反比例实例，并且写出对应的函数关系式。

六、板书设计

1.1 反比例函数

一、反比例关系：\(\boldsymbol{xy=k\ (k≠0)}\) 乘积固定二、反比例函数定义：\(\boldsymbol{y=\dfrac{k}{x}\ (k≠0)}\)三种表达形式：① \(y=\dfrac{k}{x}\) ② \(xy=k\) ③ \(y=kx^{-1}\)注意要点：\(k≠0\)，自变量\(x≠0\)三、典型例题：求参数m、实际建模应用题四、待定系数法解题步骤

七、教学反思（课后填写）

1. 学生是否能够分清反比例关系和反比例函数；2. 负指数形式相关判断题的易错点是否有效突破；3. 实际问题自变量取值范围的知识点是否讲解到位。

第 2‑4 课时 1.2 反比例函数的图象与性质（3 课时教案）

1.2 第 1 课时：绘制反比例函数图象（双曲线）

一、教学目标

1. 类比一次函数 “列表 — 描点 — 连线” 的作图步骤，可以画出\(y=\dfrac{4}{x}\)、\(y=-\dfrac{4}{x}\)的函数图象；2. 记住反比例函数图象名称是双曲线；了解图象可以无限靠近x轴、y轴，但是永远不会和坐标轴相交；3. 培养几何直观素养，养成规范画图的习惯。

二、教学重难点

重点：反比例函数三步作图法；难点：对称选取自变量取值、平滑画出双曲线，理解双曲线无限趋近坐标轴的渐近特点。

三、教学流程

1. 复习导入（3 分钟）：回顾一次函数画图三步骤；提醒反比例函数自变量x不能取 0；2. 动手实操探究（22 分钟）①列表：对称选取x的取值，算出对应的函数值y；②描点：在平面直角坐标系精准标出各个坐标点；③连线：分左右两支，用平滑曲线依次连接，曲线不能穿过原点；按照相同步骤画出\(y=-\dfrac{4}{x}\)的图象。3. 观察图象特征：图像由两条互不相连的曲线组成，叫作双曲线；曲线无限贴近坐标轴，和坐标轴无交点。4. 学生自主画图练习，教师巡视纠错（12 分钟）5. 课堂小结 + 布置作业（8 分钟）

核心素养落点

几何直观：亲手绘图直观感知双曲线形态；逻辑推理：对比k正负两种情况，预判图象位置差异。

1.2 第 2 课时：反比例函数图象的性质

一、教学目标

1. 掌握\(k>0\)、\(k<0\)两种情况下双曲线所在象限；2. 准确描述函数增减变化规律，牢记必备前提条件在每个象限内（本节课核心易错点）；3. 掌握图象性质：关于原点中心对称、关于直线\(y=\pm x\)轴对称。

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