【免费下载】25-26学年同步培优讲义培优课 圆锥曲线的离心率(学生版

培优课　圆锥曲线的离心率

【例1】（2024·南京质检）直线y＝－x与椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为（）

A.B.

C.－1D.4－2

通性通法

根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程，进而求出e.

【跟踪训练】

设双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F_1，F2，P为该双曲线上一点且2｜PF₁｜＝3｜PF₂｜，若∠F₁PF₂＝60°，则该双曲线的离心率为.

【例2】　已知F_1，F2是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF₁F₂为等腰直角三角形，且∠F₁F₂P＝90°，则C的离心率为（）

A.B.

C.D.

通性通法

涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得的值.

【跟踪训练】

（2024·无锡月考）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F_1，F2，过F₁的直线分别交双曲线的左、右两支于P，Q两点，若△PQF₂为正三角形，则双曲线C的离心率为.

【例3】　已知双曲线E：－＝1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点都在E上，且AB，CD的中点为E的两个焦点，且2｜AB｜＝3｜BC｜，则E的离心率是.

通性通法

利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的等式，结合a，b，c之间的关系，化简为参数a，c的关系式进行求解.

【跟踪训练】

　已知椭圆＋＝1（a＞b＞0），A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为（）

A.B.C.D.

【例4】（2024·苏州质检）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A_{1，A2，且以线段}A₁A₂为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（）

A.（0，）B.（

C.（D.（0，）

通性通法

求离心率范围的常用思路

（1）把已知的不等关系用a，b，c表示出来，消去b后构造关于e的不等式求范围，也可以求出相关的范围，再表示出离心率并求范围；

（2）将已知条件转化为不等关系；

（3）利用椭圆、双曲线的范围构造不等关系.

【跟踪训练】

　已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右顶点到其渐近线的距离不大于a，则离心率e的取值范围为（）

A.[，＋∞）B.[，＋∞）

C.（1，]D.（1，]

1.设双曲线－＝1（a＞0）的两焦点之间的距离为10，则双曲线的离心率为（）

A.B.

C.D.

2.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F_1，F2，点A是椭圆短轴的一个顶点，且cos∠F₁AF₂＝e＝（）

A.B.

C.D.

3.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M（－4，1），则椭圆的离心率是（）

A.B.

C.D.

4.已知双曲线＋＝1的焦点在y轴上，则离心率e的取值范围为.

提示：完成课后作业　第三章　培优课