【免费下载】25-26学年同步培优讲义第2课时 导数的几何意义(教师版

第2课时导数的几何意义

从物理学中我们知道，如果物体运动的轨迹是一条曲线，那么该物体在每一个点处的瞬时速度的方向是与曲线相切的.例如，若物体的运动轨迹如图所示，而且物体是顺次经过A，B两点的，则物体在A点处的瞬时速度的方向与向量v的方向相同.

【问题】如果设曲线的方程为y＝f（x），A（x_0，f（x₀）），那么曲线在点A处的切线的斜率是什么？

知识点一导数的几何意义

1.切线的定义

如图，在曲线y＝f（x）上任取一点P（x，f（x）），如果当点P（x，f（x））沿着曲线y＝f（x）无限趋近于点P₀（x_0，f（x₀））时，割线P₀P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P₀T称为曲线y＝f（x）在点P₀处的切线.

2.导数的几何意义

函数y＝f（x）在x＝x₀处的导数f'（x₀）就是切线P₀T的斜率k_0，即k₀＝＝f'（x₀）.

【想一想】

若函数y＝f（x）在点x₀处的导数存在，则曲线y＝f（x）在点P（x_0，f（x₀））处的切线方程是什么？

提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f（x₀）＝f'（x₀）（x－x₀）.

知识点二　导函数（导数）

1.定义：当x变化时，y＝f'（x）就是x的函数，我们称它为y＝f（x）的导函数（简称导数）.

2.记法：y＝f（x）的导函数记作f'（x）（有时也记作y'），即f'（x）＝y'＝.

提醒函数f（x）在x＝x₀处的导数f'（x₀）、导函数f'（x）之间的区别与联系：①区别：（ⅰ）f'（x₀）是在x＝x₀处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量；（ⅱ）f'（x）是函数f（x）的导函数，是对某一区间内任意x而言的；②联系：函数f（x）在x＝x₀处的导数f'（x₀）就是导函数f'（x）在x＝x₀处的函数值.

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）函数在x＝x₀处的导数f'（x₀）是一个常数.（√）

（2）函数y＝f（x）在x＝x₀处的导数值就是曲线y＝f（x）在x＝x₀处的切线的斜率.（√）

（3）直线与曲线相切，则直线与已知的曲线只有一个公共点.（×）

2.（2024·平顶山月考）曲线C：y＝x²在x＝1处的切线方程为2x－y－1＝0.

解析：把x＝1代入y＝x²得y＝1²＝1，即切点P（1，1），y'｜_x＝1＝＝＝（Δx＋2）＝2，所以k＝y'｜_x＝1＝2，所以曲线y＝x²在P（1，1）处的切线方程为y－1＝2（x－1），即2x－y－1＝0.

3.已知y＝y'＝.

解析：∵Δy＝－，∴＝，∴＝＝＝＝y'＝.

【例1】已知函数y＝f（x）＝x³.

（1）求曲线y＝f（x）在点（－1，－1）处的切线方程；

（2）求曲线y＝f（x）过点E（2，0）的切线方程.

解：（1）因为f'（x）＝＝

＝[3x²＋3xΔx＋（Δx）²]＝3x^2，

所以曲线y＝f（x）在点（－1，－1）处的切线的斜率为k＝f'（－1）＝3，所以切线方程为y＋1＝3（x＋1），即3x－y＋2＝0.

（2）设切点坐标为（x_0，），则切线的斜率为k＝f'（x₀）＝3y－＝3（x－x₀）.

将点E（2，0）的坐标代入切线方程，得－＝3（2－x₀），

则2（x₀－3）＝0，解得x₀＝0或x₀＝3，

所以切线方程为y＝0或27x－y－54＝0.

通性通法

求过点P（x_0，y0）的曲线y＝f（x）的切线方程的策略

（1）当点P（x_0，y0）是切点时，切线方程为y－y₀＝f'（x₀）（x－x₀）；

（2）当点P（x_0，y0）不是切点时，可分以下几步完成：

第一步：设出切点坐标P'（x_1，f（x₁））；

第二步：写出过点P'（x_1，f（x₁））的切线方程y－f（x₁）＝f'（x₁）（x－x₁）；

第三步：将点P的坐标（x_0，y0）代入切线方程求出x₁；

第四步：将x₁的值代入方程y－f（x₁）＝f'（x₁）·（x－x₁）可得过点P（x_0，y0）的切线方程.

【跟踪训练】

求曲线y＝在点处的切线方程.

解：曲线在点处的切线的斜率为

k＝＝＝－

由直线的点斜式方程可得切线方程为y－＝－（x－2），即x＋4y－4＝0.

【例2】（1）（2024·烟台月考）已知抛物线y＝f（x）＝2x²＋1在某点处的切线的倾斜角为45°，则该切点的坐标为；

（2）已知直线x＋y＝b是函数f（x）＝ax＋的图象在点（1，m）处的切线，则a＋b＝5　，m＝3.

解析：（1）设切点坐标为（x_0，y0），则Δy＝[2（x₀＋Δx）²＋1]－（2＋1）＝4x₀·Δx＋2（Δx）²，∴＝4x₀＋2Δx，∴f'（x₀）＝＝4x₀.又∵切线的斜率为k＝tan45°＝1，∴4x₀＝1，即x₀＝.∴y₀＝2×＋1＝，∴切点坐标为.

（2）由题意知m＝a＋2，1＋m＝b，∵f'（1）＝＝（a－）＝a－2，∴曲线f（x）在点（1，m）处的切线斜率为a－2，由a－2＝－1，得a＝1，m＝3，b＝4，a＋b＝5.

通性通法

解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等.

【跟踪训练】

已知曲线f（x）＝x²－1在x＝x₀处的切线与曲线g（x）＝1－x³在x＝x₀处的切线互相平行，求x₀.

解：对于曲线f（x）＝x²－1，

k₁＝

＝

＝（2x₀＋Δx）＝2x₀.

对于曲线g（x）＝1－x^3，

k₂＝

＝

＝[－3x₀Δx－3－（Δx）²]＝－3.

由k₁＝k_2，得2x₀＝－3，∴x₀＝0或x₀＝－.

【例3】（1）已知y＝f（x）的图象如图所示，则f'（x_A）与f'（x_B）的大小关系是（）

A.f'（x_A）＞f'（x_B）B.f'（x_A）＜f'（x_B）

C.f'（x_A）＝f'（x_B）D.不能确定

（2）（2024·舟山月考）若函数f（x）的导函数在区间[a，b]上单调递增，则函数f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（）

答案：（1）B（2）A

解析：（1）由导数的几何意义，f'（x_A），f'（x_B）分别是切线在点A，B处切线的斜率，由题图可知f'（x_A）＜f'（x_B）.

（2）函数f（x）的导函数f'（x）在[a，b]上单调递增，若对任意x₁和x₂满足a＜x₁＜x₂＜b，则有f'（a）＜f'（x₁）＜f'（x₂）＜f'（b），根据导数的几何意义，可知函数y＝f（x）的切线斜率在[a，b]内单调递增，观察图象，只有A选项符合.

通性通法

函数y＝f（x）在x＝x₀处的导数的几何意义就是该函数曲线在x＝x₀处的切线的斜率，所以比较两个导数值的大小可以根据函数图象，观察函数y＝f（x）在这两点处对应切线的斜率的大小.

【跟踪训练】

（2024·汕头月考）已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是（）

A.f'（1）＜f'（2）＜aB.f'（1）＜a＜f'（2）

C.f'（2）＜f'（1）＜aD.a＜f'（1）＜f'（2）

解析：B由图象可知，函数在[0，＋∞）上的增长速度越来越快，故函数图象在点（x_0，f（x₀））（x₀∈（0，＋∞））的切线的斜率越来越大，∵＝a，∴f'（1）＜a＜f'（2），故选B.

1.若曲线y＝h（x）在点P（a，h（a））处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则（）

A.h'（a）＝0B.h'（a）＜0

C.h'（a）＞0D.h'（a）不存在

解析：B由2x＋y＋1＝0，得y＝－2x－1，由导数的几何意义可知h'（a）＝－2＜0.

2.如图，点A（x_1，f（x₁）），B（x_2，f（x₂））在函数f（x）的图象上，且x₂＜x_1，则f'（x₁）与f'（x₂）的大小关系是（）

A.f'（x₁）＞f'（x₂）B.f'（x₁）＜f'（x₂）

C.f'（x₁）＝f'（x₂）D.不能确定

解析：A如图，根据导数的几何意义，f'（x₁）为曲线f（x）在点A处切线的斜率，设该斜率为k_1，f'（x₂）为曲线f（x）在点B处切线的斜率，设该斜率为k_{2，由图象可得}0＞k₁＞k_2，即有f'（x₁）＞f'（x₂）.

3.（2024·南平月考）已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y＝x＋2，则f（1）＋f'（1）＝3.

解析：由图象在M点处的切线方程是y＝x＋2，得f（1）＝×1＋2＝（1）＝.∴f（1）＋f'（1）＝＋＝3.

1.若曲线y＝f（x）在其上一点（1，3）处的切线过点（0，2），则（）

A.f'（1）＞0B.f'（1）＝0

C.f'（1）＜0D.f'（1）不存在

解析：A由题意知切线过点（1，3），（0，2），所以切线的斜率为k＝f'（1）＝＝1＞0.

2.（2024·泰安月考）已知函数f（x）在R上有导函数，f（x）图象如图所示，则下列不等式正确的是（）

A.f'（a）＜f'（b）＜f'（c）B.f'（b）＜f'（c）＜f'（a）

C.f'（a）＜f'（c）＜f'（b）D.f'（c）＜f'（a）＜f'（b）

解析：A如图，分别作曲线在x＝a，x＝b，x＝c三处的切线l_{1，l2，l3，设切线的斜率分别为}k_{1，k2，k3，易知}k₁＜k₂＜k_3，又f'（a）＝k_1，f'（b）＝k_2，f'（c）＝k_3，所以f'（a）＜f'（b）＜f'（c）.故选A.

3.函数y＝f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则在y＝f（x）的图象上A，B的对应点附近，有（）

A.A处下降，B处上升B.A处上升，B处下降

C.A处下降，B处下降D.A处上升，B处上升

解析：A因为所给图象为导函数f'（x）的图象，且在A点处f'（x）＜0，B点处f'（x）＞0，故原函数图象上A处下降，B处上升.

4.（2024·安阳月考）已知函数f（x）＝ax²＋b的图象在点（1，3）处的切线斜率为2，则＝（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：B∵f'（1）＝2，又＝＝（aΔx＋2a）＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.又f（1）＝a＋b＝3，∴b＝2，∴＝2.

5.（多选）曲线y＝在点P处的切线的倾斜角为P的坐标可能为（）

A.（3，3）B.（－3，－3）

C.（9，1）D.（1，9）

解析：AB由导数定义得y'＝＝［－］＝－P（x_0，y0），则由导数的几何意义可得－＝tan＝－1，解得x₀＝±3，从而y₀＝±3，即点P的坐标为（3，3）或（－3，－3）.

6.（多选）下列说法正确的是（）

A.若f'（x₀）不存在，则曲线y＝f（x）在点（x_0，f（x₀））处也可能有切线

B.若曲线y＝f（x）在点（x_0，f（x₀））处有切线，则f'（x₀）必存在

C.若f'（x₀）不存在，则曲线y＝f（x）在点（x_0，f（x₀））处的切线斜率不存在

D.若曲线y＝f（x）在点（x_0，f（x₀））处没有切线，则f'（x₀）有可能存在

解析：AC　k＝f'（x₀），所以f'（x₀）不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程是x＝x_0，A、C正确；当曲线y＝f（x）在点（x_0，f（x₀））处没有切线，f'（x₀）一定不存在，D错误，故选A、C.

7.如图，直线l是曲线y＝f（x）在x＝4处的切线，则f'（4）＝.

解析：根据导数的几何意义知f'（4）是曲线y＝f（x）在x＝4处的切线的斜率k，注意到k＝＝f'（4）＝.

8.过点P（－1，2）且与曲线y＝3x²－4x＋2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是2x－y＋4＝0.

解析：由题意知，Δy＝3（1＋Δx）²－4（1＋Δx）＋2－3＋4－2＝3（Δx）²＋2Δx.∴y'｜_x＝1＝＝2，∴所求直线的斜率k＝2.故所求直线方程为y－2＝2（x＋1），即2x－y＋4＝0.

9.曲线y＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是（－∞，1）.

解析：y＝x＋上任意一点P（x_0，y0）处的切线斜率为k＝y'＝

＝（1－）＝1－＜1，即k＜1.

10.已知曲线C：y＝x³.

（1）求曲线在点（3，27）处的切线l的方程；

（2）求切线l与两坐标轴所围成的三角形的面积.

解：（1）∵y'｜_x＝3＝＝27，

∴曲线C在点（3，27）处的切线方程为y－27＝27（x－3），即y＝27x－54.

（2）∵切线l：y＝27x－54与x，y轴分别相交于点（2，0），（0，－54），

∴所求三角形的面积为S＝×2×54＝54.

11.（2024·阳江月考）如图，曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线l过点（2，0），且f'（1）＝－2，则f（1）＝（）

A.－1B.1C.2D.3

解析：C曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线l过点（2，0），且f'（1）＝－2，所以切线方程为y＝－2（x－2）.因为切点在曲线上也在切线上，所以f（1）＝－2×（1－2）＝2.

12.（多选）设P为曲线C：y＝f（x）＝x²＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线的倾斜角α∈［），则点P的横坐标的取值可能为（）

A.B.－1C.－D.－

解析：AC设点P的横坐标为x_0，则点P处切线的倾斜角α与x₀的关系为tanα＝f'（x₀）＝＝2x₀＋2.∵α∈［），∴tanα∈[1，＋∞），∴2x₀＋2≥1，即x₀≥－A、C.

13.（2024·金华月考）若P是抛物线y＝x²上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为.

解析：由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物线y＝x²的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2，设y＝f（x）＝x^{2，由导数的几何意义知}y'＝f'（x）＝＝2x＝1，解得x＝P（），故点P到直线y＝x－2的最小距离d＝＝.

14.点P在曲线y＝f（x）＝x²＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x²－1相切，求点P的坐标.

解：设P（x_0，y0），则y₀＝＋1，f'（x₀）＝＝2x_0，

所以过点P的切线方程为y－y₀＝2x₀（x－x₀），即y＝2x₀x＋1－

而此直线与曲线y＝－2x²－1相切，

所以切线与曲线y＝－2x²－1只有一个公共点，由

得2x²＋2x₀x＋2－＝0，则Δ＝4－8（2－）＝0，解得x₀＝±y₀＝

所以点P的坐标为或.

15.（多选）（2024·厦门月考）已知函数f（x）＝x＋y＝f（x）存在两条过点（1，0）的切线，则a的值可以是（）

A.－4B.－2C.0D.2

解析：AD由题得f'（x）＝＝＝1－（x_0，x0＋），则切线方程为y－x₀－＝（1－）（x－x₀）.又切线过点（1，0），可得－x₀－＝（1－）（1－x₀），整理得2＋2ax₀－a＝0（*）.因为曲线y＝f（x）存在两条过点（1，0）的切线，所以方程（*）有两个不等实根，即满足Δ＝4a²－8（－a）＞0，解得a＞0或a＜－2.故选A、D.

16.英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法——牛顿迭代法，方法如下：如图，设r是f（x）＝0的根，选取x₀作为r的初始近似值，在点（x_0，f（x₀））处作曲线y＝f（x）的切线l：y－f（x₀）＝f'（x₀）（x－x₀），则l与x轴的交点的横坐标x₁＝x₀－（f'（x₀）≠0），称x₁是r的一次近似值；在点（x_1，f（x₁））处作曲线y＝f（x）的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为x_2，称x₂是r的二次近似值；重复以上过程，得r的近似值序列，其中x_n＋1＝x_n－（f'（x_n）≠0），称x_n＋1是r的n＋1次近似值.若使用该方法求方程x²＝2的近似解.

（1）取初始近似值为2，求该方程解的二次近似值；

（2）证明：x₄＝x₀－－－－.

解：（1）令f（x）＝x²－2，则f'（x）＝＝2x，

取初始近似值x₀＝2，则x₁＝x₀－＝2－＝₂＝x₁－＝－＝.

（2）证明：根据题意，可知x₁＝x₀－₂＝x₁－₃＝x₂－₄＝x₃－x₄＝x₀－－－－.