人教版(2026)七年级下册数学全册教案(单元教学设计)

课题

7.1.1相交线

课型

新授课

教

学

目

标

1.理解对顶角和邻补角的概念，能从图中辨别对顶角和邻补角。

2.掌握“对顶角相等的性质”。

3.理解对顶角相等的说理过程。

4.经历质疑，猜想，归纳等数学活动，培养学生的观察，转化，说理能力和数学语言规范表达能力。

5.通过小组讨论，培养合作精神，让学生在探索问题的过程中，体验解决问题的方法和乐趣，增强学习兴趣；在解题中感受生活中数学的存在，体验数学中充满着探索和创造。

教学重点

邻补角、对顶角的概念，对顶角的性质。

教学难点

写出规范的推理过程和对对顶角相等的探索。

教学准备

教师

PPT 剪刀 三角尺

学生

剪刀 尺子 量角器

课堂教学过程

二次备课

7.1.1相交线

一、创设情境，导入新知

设问 观察这些图片，你能发现两条直线的哪些位置关系？

问题1这里有一把剪刀，握紧剪刀的把手，就能剪开物体，你能说出其中的道理吗？

总结：握紧把手时，随着两个把手之间的角逐渐减小，剪刀刃之间的角也相应变小，直到剪开物体。

追问：如果把剪刀的构造看作两条相交的直线，会是什么样的图形？请你画出来。

二、细心观察，归纳定义

问题2仔细观察你所画的图形，当两条直线相交所形成的4个角中，∠1与∠2有怎样的位置关系?

邻补角的定义：∠1和∠2有一条公共边OA，它们的另一边互为反向延长线，即∠1和∠2互补，具有这种关系的两个角，互为邻补角。

追问：图中还有哪些邻补角？（∠2和∠3，∠3和∠4，∠1和∠4）

问题3 在这个图形中有没有不是互为邻补角的角呢？

学生回答：∠1和∠3，∠2和∠4。

我们以∠1和∠3为例，观察它们有怎样的位置关系？

对顶角的定义：∠1和∠3有一个公共顶点O，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。

三、动手操作，推出性质

问题4前面我们研究了邻补角和对顶角的位置关系，下面我们来研究一下它们的数量关系。如图，∠1与∠2有怎样的数量关系？

问题5∠1与∠3有怎样的数量关系？你是怎么得到的？

学生能猜到对顶角相等，但不是很确定。为了验证猜想，可以让学生用量角器度量这两个角，也可以用剪刀把这两个角剪下来并加以比较。

追问：你能用推理的方法说说∠1=∠3的道理吗？

因为∠1与∠2互补，∠3与∠2互补（邻补角定义）

所以∠1=∠3（同角的补角相等）

同理∠2=∠4

由此得到本节课对顶角很重要的性质：对顶角相等。

四、巩固定义，应用性质

    例1 （1）下列各图中，∠1和∠2是邻补角吗？为什么？

（2）下列各图中，∠1和∠2是对顶角吗？为什么？

（3）情分别画出图中∠1的对顶角和∠2的邻补角。

（4）如图，三条直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOE的对顶角是，∠EOD的邻补角是。  

例2 如图，直线a，b相交，∠1=40°，求∠2，∠3，∠4的度数。

解：由邻补角的定义，得

∠2＝180°－∠1＝180°－40°＝140°；

由对顶角相等，得

∠3＝∠1＝40°，

∠4＝∠2＝140°.

追问：如果把∠1=40°改成50°、n°，你还会求∠2，∠3，∠4的度数吗？

提升总结：两直线相交，四个角中给一个角其它三个必可求。

变式1 若∠1+∠3=80°，求各个角的度数。

变式2若∠1：∠2=2：7，求各个角的度数。

五、归纳小结

作业

设计

必做

课本：P7-P8 复习巩固1、2

选做

课本：P8 复习巩固8、9

板书

设计

7.1.1相交线

1.邻补角的定义 例2

2.对顶角的定义

3.邻补角的性质

4.对顶角的性质

教学反思

课题

7.1.2垂线

课型

新授课

教

学

目

标

1.理解垂线的概念，知道过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。

2.通过自学、探究、交流等实践活动，初步体验变换思想，建立符号感，培养语言归纳和表达的能力。

3.学生在充分经历自学、探究、交流、当堂练习等活动中，获得成功的体验，调动主动学习的积极性，感受数学学习的乐趣。

教学重点

通过动手画垂直的两条直线，探索有关垂线的一些性质。

教学难点

动手画过直线上（外）的一点作已知直线的垂线。

教学准备

教师

PPT 直尺 量角器

学生

直尺 量角器

课堂教学过程

二次备课

7.1.2垂线

一、情景导入

提出问题：在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b, 是否会出现四个角相想等的情况？如果会，那么每一个角都是多少度？

二、探究新知

探究一 1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。

2、垂直的表示：

文字语言：           几何语言：            图形语言：               

直线a、b互相垂直,     ∵∠1=90°     

垂足为点O             ∴a⊥b或b⊥a

3.垂直的书写形式：

∵AB⊥CD（已知）            ∵∠1=90°（已知）

∴∠1=90°（垂直的定义）    ∴ AB⊥CD（垂直的定义）

注意：垂直有两层含义： 1.由位置关系得出数量关系 

2.由数量关系得出位置关系

4.课堂抢答：

（1）、直线AB与直线CD相交于点O,若∠AOC=90°则

①直线AB与CD的位置关系________。            

②记作  __________. 

③交点O又叫做_______.

④直线AB的垂线是  ________

（2）、两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是(        )

（A）有两个角相等   （B）有两对角相等   （C） 有三个角相等  （D） 有四对邻补角

（3）、下面四种判断两条直线垂直的方法正确的有（    ）个                 

(1)两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直．

(2)两条直线相交，有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直．

(3)两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直．

(4)两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直．

A．4          B．3           C．2           D．1

5、例1：如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，若∠1＝35°   ∠2＝55°，判断OE与AB的位置关系，并说明理由。

解：∵∠1＝35°∠2＝55°（已知）

∠AOE+∠1+∠2＝ 180°(平角定义）

∴ ∠ AOE＝90°（代入求值）

∴ OE⊥AB   (垂直的定义)

探究二垂线的画法

教科书P4探究。

（1）如图，已知直线 l，作l的垂线。

工具：直尺、三角板

问题：这样画l的垂线可以画几条？   无数条

画法：1放     2靠    3画

（2）如图，已知直线 l和l上的一点A ,作l的垂线.

则所画直线AB是过点A的直线l的垂线.

结论：过直线上的一点有且只有一条直线与已知直线互相垂直。

画法：1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合; 

2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上; 

3移:移动三角板到已知点; 

4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线. 

（3）如图，已知直线 l和l外的一点A ,作l的垂线.

则所画直线AB是经过点A的直线l的垂线.

结论：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

垂线的性质： 

在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

课堂练习

1．过点P向线段AB所在直线引垂线，正确的是（     ）.

2.如图，请你过点P画出线段AB或射线AB的垂线

注意：过一点画已知线段(或射线)的垂线，就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.

探究三：

教科书P5 思考

此问题就是“直线外一点与已知直线上各点所连的线段中,有没有最短的线段?”

（1）垂线段的定义：                                                                       线段AB⊥直线CD，如图，垂足为B，我们就把线段AB叫做点A到直线CD的垂线段。

垂线与垂线段有何区别和联系？

区别：垂线是直线，垂线段是线段；

联系：垂线和垂线段都垂直于已知直线

巩固练习：

已知，如图，∠ABC=90°，BE⊥AC，ED ⊥ BE，则点A到直线BC的垂线段是；  

点B到直线AC的垂线段是； 点C到直线AB的垂线段是；

点A到直线BE的垂线段是； 点B到直线ED的垂线段是；

点E到直线BC的垂线段是； 点C到直线ED的垂线段是；

（2）.垂线段的性质：

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简单说成：垂线段最短． 

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

四、巩固练习 

1.直线AB外一点P到直线AB的距离指的是（     　）

（A）从P点到AB的垂线段         (B)从P点到AB的垂线段长

（C）从P点到AB的垂线          （D）从 P点到AB的垂线长

2.点P为直线l外一点，点A、B、C在直线l 上，若PA=4cm,PB=5cm，PC=6cm，则P到直线l 的距离是（      ）

 A．4cm     B. 小于4cm      C、不大于4cm       D、5cm

3.如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，则下列结论：

（1）AB与AC互相垂直；  （2）AD与AC互相垂直；

（3）点C到AB的垂线段是线段AB；

（4）点A到BC的距离是线段AD;

（5）线段AB的长度是点B到AC的距离；

（6）线段AB是点B到AC的距离。

其中正确的有（      ） 

A.1个         B.   2个        C.3个         D.   4个 

4.如图, CD⊥AB, ∠ACB=900 ,线段AC、BC、CD中最短的是(       )

(A)AC  (B)BC  (C)CD   (D)不能确定

五、课堂小结

我们这节课学习了“垂线”，同学们先自己想一想，本节课你有什么收获？你还有什么疑惑？然后与同伴交流一下，再把你的想法说出来，与全班同学来分享。

作业

设计

必做

教科书 P8 3、4、 6

选做

教科书 P8 5

板书

设计

7.1.2垂线

一、垂线定义及符号表示：

二、垂线的画法：步骤：1 放  2 靠  3移  4画

三、垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

四、垂线段的性质：垂线段最短 

五、点到直线的距离定义：

教学反思

课题

7.1.3同位角、内错角、同旁内角

课型

新授课

教

学

目

标

1．理解同位角、内错角、同旁内角的概念。

2．通过例题口答“为什么”，培养学生的推理能力。

从复杂图形分解为基本图形的过程中，渗透化繁为简通过“三线八角”基本图形，使学生认识几何图形的位置美，化难为易的化思想。

教学重点

同位角、内错角、同旁内角的概念。

教学难点

在较复杂的图形中辨认同位角、内错角、同旁内角。

教学准备

教师

ppt课件

学生

 课本

课堂教学过程

二次备课

5.1.3同位角、内错角、同旁内角

一、课前导入

直线AB、EF相交于O小于平角的角有几个？有几对对顶角？有几对邻补角？

（1）邻补角：∠1与∠2，∠2与∠3，∠3与∠4，∠4与∠5

（2）对顶角：∠1与∠3，∠2与∠4

从而发现，这两类角的共同特征：具有公共的顶点。

二、探究新知

接下来，我们进一步研究一条直线与两条直线分别相交的情形，

图形中直线AB、CD被直线EF所截，形成八个角，我们简单称为“三线八角”，其中称EF为截线，AB,CD为被截线。

现在我们开始研究没有公共点的两个角的关系。

问题1：从位置上观察图中的∠1和∠5有什么共同特征？

1.同位角：

（1）同在被截直线AB、CD同一方（上方）

（2）同在截线EF一侧（右侧）

具有这种位置关系的一对角叫做同位角。

图中还有哪些是同位角？

我们发现，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8都是同位角。

从两个角图形上看形状像字母“F”。

问题2：从位置上观察图中的∠3和∠5有什么共同特征？

2.内错角：

（1）都在直线AB、CD之间

（2）分别在直线EF两侧

具有这种位置关系的一对角叫做内错角。

图中还有哪些是内错角？

我们发现，∠4和∠6是内错角。从两个角图形上看形状像字母“Z”。

问题3：从位置上观察图中的∠3和∠6有什么共同特征？

3.同旁内角：

（1）都在直线AB、CD之间

（2）都在直线EF同一旁（左侧）

具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角。

图中还有哪些是内错角？

我们发现，∠4和∠5是同旁内角。从两个角图形上看形状像字母“U”。

归纳：

三、课堂练习

1.找出图中所有的同位角、内错角 、同旁内角

同位角：∠1和∠8，∠2和∠5，

   ∠3和∠6，∠4和∠7

内错角：∠1和∠6，∠4和∠5

同旁内角：∠1和∠5，∠4和∠6

2.填空

（1）若ED，BF被AB所截，   （2）∠2与∠BFA是_____和_____被

则∠1与_____是同位角。        BC所截构成的______角。

例2：如图直线DE、BC被直线AB所截

(1)∠1和∠2、∠1和∠3、∠1和∠4各是什么角？

(2)如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？ ∠1和∠3互补吗？为什么？

解：(1) ∠1和∠2是内错角

∠1和∠3是同旁内角

∠1和∠4是同位角

(2)∵∠1=∠4（已知）          

     ∠2＝∠4 （对顶角相等）

∴∠1＝∠2(等量代换）

∵∠4＋∠3＝180°(邻补角定义)

∠1＝∠4(已知)

∴∠1＋∠3＝180°

即∠1和∠3互补.

练习：如图∠ABC 的边BC与∠FDE的边DF交于点H ，若∠B=∠1 ,∠B=∠D,说说∠B 与∠2，∠B与∠BHF,∠D与∠1,各是什么角？它们的关系(指位置关系 、数量关系)怎么样？（解答过程由学生完成）

四、课堂小结

在图形中判断三线八角的方法(描图法)： 

①把两个角在图中描画出来；

②找到两个角的公共直线；

③观察所描的角，判断所属“字母”类型，同 位角为“F”型，内错角为“Z”型，同旁内角为“U”型，注意图形的变式（旋转、对称）也是符合的.

作业

设计

必做

教科书：P7 练习1、2

选做

教科书：P8  综合运用8

板书

设计

7.1.3同位角、内错角、同旁内角

同位角：例2

内错角：

同旁内角：练习

教学反思