【职测】数量关系

01行程问题

一、基本行程问题

题型特点：主要涉及路程、速度、时间三者之间的基本关系，通常是已知其中两个量，求第三个量。

解题方法和技巧：核心公式为“路程=速度×时间”，根据题目所给条件，直接代入公式进行计算，或者通过变形公式“速度=路程÷时间”“时间=路程÷速度”来求解。

例题

例1：一辆汽车以每小时60千米的速度行驶，行驶了3小时，问行驶的路程是多少千米？

根据公式“路程=速度×时间”，可得路程为60×3 = 180千米。

例2：某人步行了12千米，用时3小时，求他步行的速度是多少？

根据“速度=路程÷时间”，速度为12÷3 = 4千米/小时。

例3：一列火车要行驶300千米，速度为每小时50千米，问需要多长时间？

根据“时间=路程÷速度”，时间为300÷50 = 6小时。

二、相遇问题

题型特点：两个运动物体从两地同时出发，相向而行，经过一段时间后相遇，涉及两者的速度、相遇时间和两地距离等关系。

解题方法和技巧：公式为“相遇路程=速度和×相遇时间”，一般先根据题目条件求出速度和，再结合已知的相遇时间或相遇路程来求解其他量。

例题

例1：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲的速度是每小时5千米，乙的速度是每小时3千米，经过4小时两人相遇，A、B两地相距多少千米？

根据公式，速度和为5 + 3 = 8千米/小时，相遇路程为8×4 = 32千米。

例2：A、B两地相距40千米，甲、乙两人相向而行，甲的速度是每小时6千米，乙的速度是每小时4千米，两人几小时后相遇？

根据“相遇时间=相遇路程÷速度和”，速度和为6 + 4 = 10千米/小时，相遇时间为40÷10 = 4小时。

例3：甲、乙两人从相距60千米的两地相向而行，经过5小时相遇，甲的速度是每小时7千米，乙的速度是多少？

先根据公式求出速度和为60÷5 = 12千米/小时，乙的速度为12 - 7 = 5千米/小时。

三、追及问题

题型特点：两个运动物体同向而行，一个速度快，一个速度慢，速度慢的在前，速度快的在后，经过一段时间后，速度快的追上速度慢的，涉及两者的速度差、追及时间和追及路程等关系。

解题方法和技巧：公式为“追及路程=速度差×追及时间”，关键是找出速度差和追及路程，再根据公式求解追及时间或其他量。

例题

例1：甲、乙两人同向而行，甲的速度是每小时8千米，乙的速度是每小时5千米，乙先走2小时后甲才出发，问甲几小时后能追上乙？

乙先走2小时的路程为5×2 = 10千米，即追及路程为10千米，速度差为8 - 5 = 3千米/小时，根据公式追及时间为10÷3 = 10/3小时。

例2：一辆汽车以每小时60千米的速度行驶，在它前面20千米处有一辆摩托车以每小时40千米的速度行驶，问汽车多长时间能追上摩托车？

速度差为60 - 40 = 20千米/小时，追及路程为20千米，追及时间为20÷20 = 1小时。

例3：甲、乙两人相距15千米，甲在乙后面，甲的速度是每小时10千米，乙的速度是每小时7千米，甲要多久才能追上乙？速度差为10 - 7 = 3千米/小时，追及路程为15千米，追及时间为15÷3 = 5小时。

四、流水行船问题

题型特点：涉及船在流水中行驶，包括顺水速度、逆水速度、船速和水速等量之间的关系。

解题方法和技巧：公式有“顺水速度=船速+水速”“逆水速度=船速-水速”，由此可推导出“船速=（顺水速度+逆水速度）÷2”“水速=（顺水速度-逆水速度）÷2”，根据题目所给条件，选择合适的公式进行计算。

例题

例1：一艘船在静水中的速度是每小时15千米，水流速度是每小时3千米，求船顺水行驶的速度和逆水行驶的速度。

顺水速度为15 + 3 = 18千米/小时，逆水速度为15 - 3 = 12千米/小时。

例2：一艘船顺水行驶的速度是每小时20千米，逆水行驶的速度是每小时16千米，求船在静水中的速度和水流速度。

船速为（20 + 16）÷2 = 18千米/小时，水速为（20 - 16）÷2 = 2千米/小时。

例3：已知一艘船逆水航行4小时行驶了48千米，水流速度是每小时2千米，求船在静水中的速度。逆水速度为48÷4 = 12千米/小时，船速为12 + 2 = 14千米/小时。

五、环形行程问题

题型特点：运动轨迹为环形，如环形跑道等，分为同向而行和反向而行两种情况，涉及速度、时间和路程之间的关系，同时与环形的周长相关。

解题方法和技巧：同向而行时，“追及路程=速度差×追及时间”，这里的追及路程是环形跑道的周长的整数倍；反向而行时，“相遇路程=速度和×相遇时间”，相遇路程是环形跑道的周长。

例题

例1：甲、乙两人在周长为400米的环形跑道上同向跑步，甲的速度是每分200米，乙的速度是每分150米，甲第一次追上乙需要多长时间？

速度差为200 - 150 = 50米/分，追及路程为400米，追及时间为400÷50 = 8分钟。

例2：甲、乙两人在周长为300米的环形跑道上反向跑步，甲的速度是每分120米，乙的速度是每分180米，两人多久后相遇？

速度和为120 + 180 = 300米/分，相遇时间为300÷300 = 1分钟。

例3：在一个环形跑道上，甲、乙两人同时同地同向出发，甲跑一圈需要5分钟，乙跑一圈需要6分钟，问甲经过多长时间能比乙多跑一圈？

甲的速度是1÷5 = 1/5圈/分钟，乙的速度是1÷6 = 1/6圈/分钟，速度差为1/5 - 1/6 = 1/30圈/分钟，追及时间为1÷1/30 = 30分钟。

六、火车过桥问题

·题型特点：火车过桥问题是行程问题的一种特殊情况，主要涉及火车长度、桥的长度、火车速度以及通过时间等要素之间的关系。火车过桥时，从车头上桥到车尾离桥，火车行驶的总路程是桥长与火车车身长度之和。

·解题方法和技巧：基本公式为“火车行驶总路程=桥长+火车车身长”，根据速度、时间和路程的基本关系“路程=速度×时间”，可推导出“通过时间=（桥长+火车车身长）÷火车速度”“火车速度=（桥长+火车车身长）÷通过时间”等公式，用于求解不同的未知量。解题时要准确找出题目中给出的桥长、火车车身长、速度或时间等已知条件，然后选择合适的公式进行计算。

例题

例1：一列火车长200米，以每秒20米的速度通过一座长400米的大桥，从车头上桥到车尾离桥需要多长时间？

根据公式，火车行驶总路程为桥长与火车车身长之和，即400 + 200 = 600米，速度为每秒20米，所以通过时间为600÷20 = 30秒。

例2：一列火车以每秒15米的速度通过一座长300米的桥，从车头上桥到车尾离桥共用了30秒，这列火车长多少米？

已知速度为每秒15米，通过时间为30秒，根据“路程=速度×时间”，火车行驶总路程为15×30 = 450米，桥长300米，所以火车车身长为450 - 300 = 150米。

例3：一列火车长180米，通过一条隧道用了30秒，火车速度是每秒20米，这条隧道长多少米？

火车速度为每秒20米，通过时间为30秒，火车行驶总路程为20×30 = 600米，火车车身长180米，所以隧道长为600 - 180 = 420米。

(强化阶段如下：）

七、流水行船问题概述

流水行船问题是行程问题里的一种，关键在于要同时考虑船本身的速度以及水流速度对船行驶的影响。这里面有几个重要概念：

·船速：船在没有水流影响，也就是静水中的行驶速度。

·水速：水流流动的速度。

·顺水速度：船顺着水流方向行驶的速度，它等于船速加上水速。

·逆水速度：船逆着水流方向行驶的速度，等于船速减去水速。

常见题型及解题方法

基本速度计算题型

特点：题目直接给出船速、水速、顺水速度、逆水速度中的几个量，让求其他量。

方法：牢记并运用公式。比如知道船速和水速，求顺水速度就用船速加上水速；知道顺水速度和水速，求船速就用顺水速度减去水速。公式如下：

顺水速度= 船速 + 水速

逆水速度= 船速 - 水速

船速= （顺水速度 + 逆水速度）÷ 2

水速= （顺水速度 - 逆水速度）÷ 2

技巧：弄清楚每个速度的含义，别把它们弄混。看到题目条件，马上反应过来对应哪个公式。

举例

例1：船在静水中速度是每小时15千米，水速是每小时3千米，顺水速度是多少？

答案：根据公式，顺水速度= 15 + 3 = 18（千米/小时）。

例2：船顺水速度是每小时20千米，水速是每小时2千米，船在静水中速度是多少？

答案：船速= 20 - 2 = 18（千米/小时）。

例3：船逆水速度是每小时12千米，船在静水中速度是每小时15千米，水速是多少？

答案：水速= 15 - 12 = 3（千米/小时）。

八、行程计算题型（往返问题）

特点：船在两个地方之间一来一回，有顺水行驶也有逆水行驶，通常会给时间、速度等条件，求路程或者其他相关量。

方法：先设未知数，比如设船速或者水速为未知数。然后根据路程= 速度×时间这个公式，结合顺水、逆水速度公式列出方程求解。因为往返路程是一样的，这是列方程的关键。

技巧：画个简单的图，把顺水、逆水的方向，路程都标出来，帮助理解。注意往返路程相等这个条件。

举例

例1：甲、乙两港距离是120千米，船从甲港顺流到乙港用了4小时，水速是每小时5千米，从乙港返回甲港要多久？

答案：先求顺水速度= 120÷4 = 30（千米/小时），船速 = 30 - 5 = 25（千米/小时），逆水速度 = 25 - 5 = 20（千米/小时），返回时间 = 120÷20 = 6（小时）。

例2：船从A地顺流到B地花了3小时，回来逆流多用1小时，水速每小时2千米，A、B两地距离多远？

答案：设船在静水中速度是x千米/小时，根据路程相等列方程：3×(x + 2) = (3 + 1)×(x - 2)，3x + 6 = 4x - 8，解得x = 14，A、B两地距离 = 3×(14 + 2) = 48（千米）。

例3：甲、乙两码头相距180千米，船往返两码头要15小时，顺流比逆流少用3小时，求船在静水中速度和水速。

答案：顺流时间= (15 - 3)÷2 = 6（小时），顺流速度 = 180÷6 = 30（千米/小时）；逆流时间 = (15 + 3)÷2 = 9（小时），逆流速度 = 180÷9 = 20（千米/小时）。船速 = （30 + 20）÷2 = 25（千米/小时），水速 = （30 - 20）÷2 = 5（千米/小时）。

第二类（行程往返问题)：

1.李大夫去山里给一位病人出诊，他下午 1 点离开诊所，先走了一段平路，然后爬上了半山腰，给那里的病人看病半小时后，他沿原路下山回到诊所，下午 3 点半回到诊所。已知他在平路步行的速度是每小时 4 千米，上山每小时 3 千米，下山每小时 6 千米。请问：李大夫出诊共走了多少路？

假设有个王老师，他下午2 点从学校出发去一个村子给同学辅导功课，先走了一段平路，然后爬上了一个小山坡，到那给同学辅导了 40 分钟后，又沿原路返回学校，下午 4 点 20 分回到学校。已知他在平路步行速度是每小时 5 千米，上山每小时 2 千米，下山每小时 4 千米。那我们来想想，王老师一共走了多远呀？

九、相遇追及题型（综合）

特点：有两艘或更多船在水里，出现相遇或者追及的情况，要考虑水速对船速度的影响来计算时间、路程等。

方法：相遇时，如果两船相向而行，速度和就是两船在静水中的速度和（因为水速对一个船是加速，对另一个船是减速，相互抵消了）；追及时，如果两船同向而行，速度差就是两船在静水中的速度差（水速对两船影响一样）。再用相遇时间= 路程和÷速度和，追及时间 = 路程差÷速度差来计算。

技巧：判断清楚两船是相向还是同向行驶，确定好速度和或者速度差。

举例

例1：甲、乙两船从A、B两港同时出发相向而行，甲船静水中速度每小时20千米，乙船静水中速度每小时16千米，水速每小时2千米，A、B两港相距108千米，多久相遇？

答案：速度和= 20 + 16 = 36（千米/小时），相遇时间 = 108÷36 = 3（小时）。

例2：A、B两船在同一条河，A船在B船上游，相距80千米，A船静水中速度每小时18千米，B船静水中速度每小时22千米，水速每小时3千米，B船追A船要多久？

答案：速度差= 22 - 18 = 4（千米/小时），追及时间 = 80÷4 = 20（小时）。

例3：甲、乙两船同时从同一码头出发，甲船顺水，乙船逆水，甲船静水中速度每小时25千米，乙船静水中速度每小时15千米，水速每小时3千米，4小时后两船相距多远？

答案：甲船顺水速度= 25 + 3 = 28（千米/小时），4小时行驶路程 = 28×4 = 112（千米）；乙船逆水速度 = 15 - 3 = 12（千米/小时），4小时行驶路程 = 12×4 = 48（千米）。两船相距 = 112 + 48 = 160（千米）。

十、漂浮物问题题型

特点：有个东西在水里随着水流漂浮，比如木筏，然后船在水里行驶，研究船和漂浮物之间的关系。

方法：漂浮物速度就等于水速。船顺水时，和漂浮物的速度差就是船在静水中的速度；船逆水时，和漂浮物的速度和就是船在静水中的速度。再根据路程和或者路程差以及速度关系求时间。

技巧：记住漂浮物速度等于水速，弄清楚船和漂浮物相对运动的情况。

举例

例1：河上有个木筏从A地漂流，同时一艘船从A地顺水出发，船静水中速度每小时16千米，水速每小时2千米，5小时后船和木筏相距多远？

答案：船和木筏速度差是船在静水中的速度16千米/小时，5小时后相距 = 16×5 = 80（千米）。

例2：船在河中航行，发现前方800米处有个漂浮箱子，船静水中速度每分钟40米，水速每分钟10米，船追上箱子要多久？

答案：船和箱子速度差是船在静水中的速度40米/分钟，追及时间 = 800÷40 = 20（分钟）。

例3：木筏从甲码头漂到乙码头要8小时，船从乙码头逆水出发到甲码头后马上返回（掉头时间不计），船在静水中速度是水速的3倍，船出发后多久和木筏相遇？

答案：设水速为v，船逆水速度就是3v - v = 2v，甲、乙两码头距离是8v。船和木筏相向而行，速度和 = 2v + v = 3v，相遇时间 = 8v÷3v = 8/3（小时）。

02 工程问题

主要涉及基本工程问题、合作工程问题、交替合作工程问题等题型，以下是详细介绍：

一、基本工程问题

题型特点：通常已知工作总量、工作时间和工作效率中的两个量，求第三个量。

做题方法及技巧：依据“工作总量=工作效率×工作时间”及其变形“工作效率=工作总量÷工作时间”“工作时间=工作总量÷工作效率”来解题，可通过设工作总量为单位“1”或具体数值来简化计算。例题

例1：一项工程，甲单独做10天完成，求甲的工作效率。

甲的工作效率=工作总量÷工作时间=1÷10=1/10

例2：一项工程，甲的工作效率是每天完成1/15，问甲完成这项工程需要多少天？

工作时间=工作总量÷工作效率=1÷1/15=15天

例3：甲每天能生产20个零件，工作了5天，问一共生产了多少个零件？

工作总量=工作效率×工作时间=20×5=100个

二、合作工程问题

题型特点：涉及多个工作主体合作完成一项工程，求合作时间或各自完成的工作量等。

做题方法及技巧：先求出各工作主体的工作效率，然后根据“合作工作效率=各工作主体效率之和”，再结合基本公式求解。

例题

例1：一项工程，甲单独做12天完成，乙单独做15天完成，甲乙合作需要多少天完成？

甲的效率为1/12，乙的效率为1/15，合作效率为1/12 + 1/15 = 3/20，合作时间=工作总量÷合作效率=1÷3/20 = 20/3天

例2：一项工程，甲、乙合作8天完成，甲的工作效率是1/12，求乙的工作效率。

合作效率为1/8，乙的效率=合作效率-甲的效率=1/8 - 1/12 = 1/24

例3：甲、乙合作一项工程，甲每天完成30个工作量，乙每天完成20个工作量，合作10天完成，求这项工程的总量。

合作效率为30 + 20 = 50，工作总量=合作效率×合作时间=50×10 = 500

三、交替合作工程问题

题型特点：多个工作主体按照一定顺序轮流交替工作，完成一项工程，求完成工程所需时间等。

做题方法及技巧：先计算出各工作主体在一个周期内完成的工作量，然后确定完成工程需要的周期数，注意最后一个周期可能不需要完整完成。

例题

例1：一项工程，甲单独做3天完成，乙单独做6天完成，甲乙交替工作，甲先做，问完成这项工程需要多少天？

甲的效率为1/3，乙的效率为1/6，一个周期2天，甲乙各做一天，一个周期完成的工作量为1/3 + 1/6 = 1/2，完成工程需要2个周期，共2×2 = 4天

例2：一项工程，甲单独做4天完成，乙单独做8天完成，甲先做1天，乙再做1天，依次交替，问完成工程需要多少天？

甲的效率为1/4，乙的效率为1/8，一个周期2天，完成工作量为1/4 + 1/8 = 3/8，2个周期后完成3/4，还剩1/4，甲再做1天完成，共2×2 + 1 = 5天

例3：有一项工程，甲队单独做6天完成，乙队单独做12天完成，丙队单独做8天完成。现在按照甲、乙、丙、甲、乙、丙……的顺序轮流各做一天，问完成这项工程需要多少天？

甲的效率为1/6，乙的效率为1/12，丙的效率为1/8，一个周期3天，完成工作量为1/6 + 1/12 + 1/8 = 3/8，2个周期后完成3/4，还剩1/4，甲做一天完成1/6，还剩1/12，乙再做一天完成，共2×3 + 2 = 8天

03 和差倍比问题

是数学中常见的一类问题，主要包括和差问题、和倍问题、差倍问题、比例问题这几种题型，以下是具体分析：

一、和差问题

·题型特点：已知两个数的和与差，求这两个数。

·做题方法及技巧：大数等于和加差的和除以2；小数等于和减差的差除以2。也可以通过设未知数，列方程的方法求解。

例题

例1：甲、乙两数的和是30，差是4，求甲、乙两数。

甲数=（30 + 4）÷2 = 17

乙数=（30 - 4）÷2 = 13

例2：两筐水果共重56千克，第一筐比第二筐重8千克，两筐水果各重多少千克？

第一筐重量=（56 + 8）÷2 = 32千克

第二筐重量=（56 - 8）÷2 = 24千克

例3：A、B两数的和为45，A比B大7，求A、B两数。

A =（45 + 7）÷2 = 26

B =（45 - 7）÷2 = 19

二、和倍问题

题型特点：已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数。

做题方法及技巧：小数等于和除以倍数加1的和；大数等于小数乘以倍数，或者大数等于和减去小数。

例题

例1：甲、乙两数的和是48，甲数是乙数的3倍，求甲、乙两数。

乙数= 48÷（3 + 1）= 12

甲数= 12×3 = 36

例2：学校图书馆有科技书和故事书共600本，科技书的本数是故事书的4倍，两种书各有多少本？

故事书= 600÷（4 + 1）= 120本

科技书= 120×4 = 480本

例3：A、B两数的和为80，A是B的5倍，求A、B两数。

B = 80÷（5 + 1）= 40/3

A = 40/3×5 = 200/3

三、差倍问题

题型特点：已知两个数的差以及它们之间的倍数关系，求这两个数。

做题方法及技巧：小数等于差除以倍数减1的差；大数等于小数乘以倍数，或者大数等于小数加差。

例题

例1：甲数比乙数大36，甲数是乙数的4倍，求甲、乙两数。

乙数= 36÷（4 - 1）= 12

甲数= 12×4 = 48

例2：小明的邮票数比小红多50张，小明的邮票数是小红的6倍，两人各有多少张邮票？

小红的邮票数= 50÷（6 - 1）= 10张

小明的邮票数= 10×6 = 60张

例3：A数比B数大45，A数是B数的8倍，求A、B两数。

B数 = 45÷（8 - 1）= 45/7

A数 = 45/7×8 = 360/7

四、比例问题

题型特点：已知几个量之间的比例关系以及它们的和或差等其他条件，求各个量的值。

做题方法及技巧：先根据比例关系设未知数，一般设一份为x，然后根据已知条件列出方程求解。

例题

例1：甲、乙、丙三个数的比是2∶3∶4，它们的和是45，求这三个数。

设甲为2x，乙为3x，丙为4x，则2x + 3x + 4x = 45，9x = 45，x = 5。

甲= 2×5 = 10，乙 = 3×5 = 15，丙 = 4×5 = 20。

例2：一个三角形三个内角的度数比是1∶2∶3，求这个三角形三个内角的度数。

设三个内角分别为x、2x、3x，则x + 2x + 3x = 180°，6x = 180°，x = 30°。

三个内角分别为30°、2×30°=60°、3×30°=90°。

例3：甲、乙两人的钱数比是3∶2，甲比乙多10元，求甲、乙各有多少钱？

设甲有3x元，乙有2x元，则3x - 2x = 10，x = 10。

甲= 3×10 = 30元，乙 = 2×10 = 20元。

04 植树问题

主要涉及在一定的线路上，根据总路程、间隔距离和植树棵数之间的关系来求解问题。以下是植树问题的所有题型。

题型分类及解题方法

·两端都植树：如果在一条直线上，两端都植树，那么植树棵数等于间隔数加1。即植树棵数=总距离÷间隔距离+1。

·两端都不植树：在直线上两端都不植树时，植树棵数等于间隔数减1。即植树棵数=总距离÷间隔距离-1。

·只有一端植树：当在直线上只有一端植树时，植树棵数就等于间隔数。即植树棵数=总距离÷间隔距离。

·封闭线路植树：在封闭线路（如圆形、正方形、长方形等）上植树，因为首尾相接，所以植树棵数也等于间隔数。即植树棵数=总距离÷间隔距离。

例题如下：

一、两端都植树

例1：在一条长100米的道路一旁，每隔5米种一棵树，两端都种，一共要种多少棵树？

解：根据公式，总距离为100米，间隔距离为5米，植树棵数=100÷5+1=21棵。

例2：一条路长240米，在路的一边每隔8米种一棵柳树，两端都种，一共需要种多少棵柳树？

解：植树棵数=240÷8+1=31棵。

例3：从学校门口到教学楼的道路长150米，计划在路的一旁每隔10米种一棵梧桐树，两端都种，需要多少棵梧桐树？

解：植树棵数=150÷10+1=16棵。

二、两端都不植树

例1：在一条长80米的跑道两侧，每隔4米插一面彩旗，两端都不插，一共要插多少面彩旗？

解：先算一侧，间隔数为80÷4=20，彩旗数=20-1=19面，两侧共19×2=38面。

例2：一条公路长360米，在公路的一侧每隔6米立一根电线杆，两端都不立，共需立多少根电线杆？

解：间隔数为360÷6=60，电线杆数=60-1=59根。

例3：在一条长180米的水渠边，每隔9米种一棵杨树，两端都不种，一共要种多少棵杨树？

解：间隔数为180÷9=20，杨树棵数=20-1=19棵。

只有一端植树

例1：在一个周长为120米的圆形池塘边，每隔6米种一棵桃树，一共可以种多少棵桃树？

解：因为是圆形，属于只有一端植树情况，桃树棵数=120÷6=20棵。

例2：在一条长200米的街道的一端开始，每隔5米挂一个灯笼，一共要挂多少个灯笼？

解：灯笼数=200÷5=40个。

例3：一个正方形花坛边长为80米，沿花坛的一边每隔8米种一株花，只在一端种，一共种多少株花？

解：花的株数=80÷8=10株。

三、封闭线路植树

例1：一个圆形湖的周长是500米，在湖边每隔10米种一棵柳树，一共要种多少棵柳树？

解：根据公式，柳树棵数=500÷10=50棵。

例2：一个正方形场地，边长为120米，在场地四周每隔12米安装一盏路灯，一共要安装多少盏路灯？

解：先算周长为120×4=480米，路灯盏数=480÷12=40盏。

例3：一个椭圆形跑道长400米，在跑道周围每隔8米插一面红旗，一共要插多少面红旗？

解：红旗面数=400÷8=50面。

05 年龄问题

年龄问题主要是根据题中给出的人物年龄关系，通过计算、推理等方法求出人物的年龄或年龄之间的差值等。以下是年龄问题的常见题型、做题方法及技巧，并附每个类型三个例题：

常见题型及方法技巧

·和差型年龄问题：已知两人年龄的和与差，求两人的年龄。通常利用和差公式来求解，即较大年龄=（年龄和+年龄差）÷2，较小年龄=（年龄和-年龄差）÷2。

·倍数型年龄问题：已知两人年龄的倍数关系及年龄差或年龄和，求两人年龄。可根据年龄差不变这一关键，结合倍数关系设未知数，列方程求解。

·年龄变化型年龄问题：涉及到不同时间点人物年龄的变化，关键是抓住年龄差始终不变这一特点，根据题目中的条件建立等式关系求解。

例题

一、和差型年龄问题

例1：今年小明和爸爸的年龄和是48岁，爸爸比小明大28岁，问小明和爸爸今年各多少岁？

解：爸爸的年龄=（48+28）÷2=38岁，小明的年龄=（48-28）÷2=10岁。

例2：兄妹两人年龄和是30岁，哥哥比妹妹大6岁，哥哥和妹妹今年各多少岁？

解：哥哥年龄=（30+6）÷2=18岁，妹妹年龄=（30-6）÷2=12岁。

例3：妈妈和女儿的年龄和是56岁，妈妈比女儿大24岁，妈妈和女儿今年分别多少岁？

解：妈妈年龄=（56+24）÷2=40岁，女儿年龄=（56-24）÷2=16岁。

二、倍数型年龄问题

例1：今年爸爸的年龄是小明的4倍，爸爸比小明大27岁，问小明和爸爸今年各多少岁？

解：设小明今年(x)岁，则爸爸今年(4x)岁，可列方程(4x - x=27)，解得(x = 9)，所以小明今年9岁，爸爸今年(4X9=36)岁。

例2：姐姐的年龄是妹妹年龄的3倍，姐姐比妹妹大8岁，姐姐和妹妹今年各多少岁？

解：设妹妹年龄为(x)岁，姐姐年龄为(3x)岁，(3x - x=8)，解得(x = 4)，妹妹4岁，姐姐(3X4=12)岁。

例3：爷爷的年龄是孙子年龄的7倍，爷爷比孙子大54岁，爷爷和孙子今年各多少岁？

解：设孙子年龄为(x)岁，爷爷年龄为(7x)岁，(7x - x=54)，解得(x = 9)，孙子9岁，爷爷(7X9=63)岁。

三、年龄变化型年龄问题

例1：5年前，妈妈的年龄是女儿的5倍，今年母女俩年龄和是52岁，问妈妈和女儿今年各多少岁？

解：设5年前女儿(x)岁，则妈妈(5x)岁，今年女儿((x + 5))岁，妈妈((5x + 5))岁，可列方程((x + 5)+(5x + 5)=52)，解得(x = 7)，所以女儿今年(7 + 5=12)岁，妈妈今年(5X7 + 5=40)岁。

例2：10年前，父亲的年龄是儿子的7倍，15年后，父亲的年龄是儿子的2倍，问现在父子俩的年龄各是多少？

解：设10年前儿子(x)岁，父亲(7x)岁，15年后儿子((x + 10 + 15)=(x + 25))岁，父亲((7x + 10 + 15)=(7x + 25))岁，可列方程(7x + 25=2X(x + 25))，解得(x = 5)，所以现在儿子(5 + 10=15)岁，父亲(7X5 + 10=45)岁。

例3：3年后，小明和小红的年龄和是30岁，5年前小明的年龄是小红年龄的2倍，问小明和小红今年各多少岁？

解：设5年前小红(x)岁，小明(2x)岁，今年小红((x + 5))岁，小明((2x + 5))岁，3年后小红((x + 5 + 3)=(x + 8))岁，小明((2x + 5 + 3)=(2x + 8))岁，可列方程((x + 8)+(2x + 8)=30)，解得(x = 4)，所以小红今年(4 + 5=9)岁，小明今年(2X4 + 5=13)岁。

06鸡兔同笼问题

鸡兔同笼问题是中国古代著名典型趣题之一，以下是鸡兔同笼问题的常见题型、做题方法及技巧，并附上相应例题：

一、基础鸡兔同笼问题

·题型特点：已知鸡和兔的总头数和总脚数，求鸡和兔各有多少只。

做题方法及技巧

假设法：假设全是鸡或全是兔，根据脚数的差异来计算鸡和兔的数量。若假设全是鸡，兔的只数等于总脚数减去总头数乘以2的差再除以4减去2的差；若假设全是兔，鸡的只数等于4乘以总头数减去总脚数的差再除以4减去2的差。

方程法：设鸡有x只，兔有y只，根据头数和脚数的关系列方程组x加y等于总头数，2x加4y等于总脚数，然后求解方程组。

例题

例1：鸡兔同笼，共有头35个，脚94只，问鸡兔各几只？

假设法：假设全是鸡，兔的只数为（94-35×2）÷（4-2）=12只，鸡的只数为35-12=23只。

方程法：设鸡有x只，兔有y只，可得方程组x+y=35，2x+4y=94，解得x=23，y=12。

例2：笼子里有鸡和兔共20只，它们的脚共有56只，问鸡和兔各有几只？

假设法：假设全是兔，鸡的只数为（4×20-56）÷（4-2）=12只，兔的只数为20-12=8只。

方程法：设鸡有x只，兔有y只，即x+y=20，2x+4y=56，解得x=12，y=8。

例3：鸡兔同笼，头共46个，脚共128只，鸡兔各几只？

假设法：假设全是鸡，兔的只数为（128-46×2）÷（4-2）=18只，鸡的只数为46-18=28只。

方程法：设鸡有x只，兔有y只，有x+y=46，2x+4y=128，解得x=28，y=18。

二、鸡兔同笼的变形问题

题型特点：将鸡兔同笼问题中的鸡和兔换成其他具有不同特征的事物，或者条件有所变化，但本质上还是通过两种事物的数量和特征来求解各自的数量。

做题方法及技巧：先分析题目，找出与鸡兔同笼问题的相似之处，然后运用假设法或方程法求解。

例题

例1：小明用10元钱买了20分和50分的邮票共35张，求这两种邮票各买了多少张？

假设法：假设35张全是20分的邮票，50分邮票的张数为（1000-20×35）÷（50-20）=10张，20分邮票的张数为35-10=25张。

方程法：设20分邮票x张，50分邮票y张，可得x+y=35，20x+50y=1000，解得x=25，y=10。

例2：学校举行数学竞赛，共20道题，做对一题得5分，做错一题倒扣2分，小明得了79分，问他做对了几道题，做错了几道题？

假设法：假设全做对，做错的题数为（20×5-79）÷（5+2）=3道，做对的题数为20-3=17道。

方程法：设做对x道题，做错y道题，有x+y=20，5x-2y=79，解得x=17，y=3。

例3：有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，2对翅膀；蝉6条腿，1对翅膀），问三种动物各有几只？

解析：先把蜻蜓和蝉看作一类，假设18只全是6条腿的动物，则蜘蛛的只数为（118-6×18）÷（8-6）=5只，那么蜻蜓和蝉共有18-5=13只。再假设13只全是蝉，蜻蜓的只数为（20-13×1）÷（2-1）=7只，蝉的只数为13-7=6只。

07 商品利润问题

主要涉及基本利润计算、折扣问题、多件商品利润综合计算等题型，以下是具体分析：

一、基本利润计算题型

题型特点：已知商品的成本、售价，求利润、利润率等，或已知其中几个量，求其他量。

做题方法及技巧

牢记基本公式：利润等于售价减去成本；利润率等于利润除以成本再乘以100%；售价等于成本乘以（1加利润率）；成本等于售价除以（1加利润率）。根据题目所给条件，直接代入公式计算。

例题

例1：一件商品成本是80元，售价是100元，求利润和利润率。

利润= 售价 - 成本 = 100 - 80 = 20元。

利润率= （利润÷成本）×100% = （20÷80）×100% = 25%。

例2：某商品利润率为30%，成本为50元，求售价。

售价= 成本×（1 + 利润率）= 50×（1 + 30%）= 65元。

例3：一件商品售价120元，利润率为20%，求成本。

成本= 售价÷（1 + 利润率）= 120÷（1 + 20%）= 100元。

二、折扣问题题型

题型特点：涉及商品打折销售，已知原价、折扣率，求折后价，或已知折后价、折扣率，求原价等。

做题方法及技巧

掌握折扣公式：折后价等于原价乘以折扣率。若已知折后价和折扣率求原价，则原价等于折后价除以折扣率。注意折扣率与百分数的换算，如八折就是80%，七五折就是75%等。

例题

例1：一件衣服原价200元，打八折出售，求折后价。

折后价= 原价×折扣率 = 200×80% = 160元。

例2：一双鞋子打七五折后售价是150元，求原价。

原价= 折后价÷折扣率 = 150÷75% = 200元。

例3：某商品标价300元，实际售价240元，问打了几折？

折扣率= 折后价÷原价 = 240÷300 = 0.8，即打了八折。

三、多件商品利润综合计算题型

题型特点：涉及多种商品的销售，可能有不同的成本、售价、销售量等，求总利润、平均利润等。

做题方法及技巧

分别计算每种商品的利润，再根据题目要求计算总利润、平均利润等。总利润等于每种商品的利润乘以销售量之和。平均利润等于总利润除以商品总数量。

例题

例1：商店卖出甲商品10件，每件成本50元，售价80元；卖出乙商品20件，每件成本30元，售价50元，求总利润。

甲商品利润= （80 - 50）×10 = 300元。

乙商品利润= （50 - 30）×20 = 400元。

总利润= 300 + 400 = 700元。

例2：超市进了A商品30件，每件进价40元，售价60元；B商品25件，每件进价35元，售价55元，求这批商品的平均利润。

A商品利润 = （60 - 40）×30 = 600元。

B商品利润 = （55 - 35）×25 = 500元。

总利润= 600 + 500 = 1100元。

商品总数量= 30 + 25 = 55件。

平均利润= 总利润÷商品总数量 = 1100÷55 = 20元。

例3：商场销售两种电器，甲电器成本1200元，售价1500元，卖出15台；乙电器成本1800元，售价2200元，卖出10台，求平均利润率。

甲电器利润= （1500 - 1200）×15 = 4500元。

乙电器利润= （2200 - 1800）×10 = 4000元。

总利润= 4500 + 4000 = 8500元。

总成本= 1200×15 + 1800×10 = 36000元。

平均利润率= （总利润÷总成本）×100% = （8500÷36000）×100%≈23.61%。

08 溶液浓度问题

溶液浓度问题主要有基本浓度计算、溶液混合、溶液稀释与蒸发等题型，以下是具体介绍：

一、基本浓度计算问题

题型特点：已知溶质、溶液或溶剂的量，求溶液的浓度，或者已知浓度和其他量，求溶质或溶液的量。

做题方法及技巧：熟练运用“浓度=溶质质量÷溶液质量×100%”以及其变形公式“溶质质量=溶液质量×浓度”“溶液质量=溶质质量÷浓度”来进行计算。

例题

例1：将20克盐溶解在80克水中，求盐水的浓度。

溶液质量为20 + 80 =100克，根据公式，浓度=溶质质量÷溶液质量×100%=20÷100×100%=20%

例2：有浓度为15%的糖水200克，其中糖的质量是多少？

根据“溶质质量=溶液质量×浓度”，糖的质量=200×15%=30克

例3：要配制浓度为25%的盐水，现有盐50克，需要多少克水？

先根据“溶液质量=溶质质量÷浓度”求出溶液质量为50÷25%=200克，水的质量=溶液质量-溶质质量=200 - 50=150克

二、溶液混合问题

题型特点：将两种或多种不同浓度的溶液混合在一起，求混合后溶液的浓度，或者已知混合后的浓度及其他条件，求混合前各溶液的量。

做题方法及技巧：利用“混合后溶质的总质量=混合前各溶液中溶质质量之和”这一关键等量关系，结合浓度公式来解题。通常可以通过设未知数，列方程的方法求解。

例题

例1：将浓度为10%的盐水200克与浓度为20%的盐水300克混合，求混合后盐水的浓度。

10%盐水中溶质质量为200×10%=20克，20%盐水中溶质质量为300×20%=60克，混合后溶质总质量为20 + 60=80克，混合后溶液总质量为200 + 300=500克，混合后浓度=80÷500×100%=16%

例2：有浓度为30%的酒精溶液A和浓度为10%的酒精溶液B，要配制浓度为25%的酒精溶液200克，需要A、B溶液各多少克？

设需要A溶液x克，则需要B溶液(200 - x)克，根据溶质质量关系可列方程：30%x+(200 - x)×10%=200×25%，解得x=150，所以需要A溶液150克，B溶液200 - 150=50克

例3：将浓度为40%的糖水100克与某种浓度的糖水200克混合，得到浓度为30%的糖水，求另一种糖水的浓度。

40%糖水中溶质质量为100×40%=40克，混合后溶液总质量为100 + 200=300克，混合后溶质总质量为300×30%=90克，那么200克糖水中溶质质量为90 - 40=50克，其浓度为50÷200×100%=25%

溶液稀释与蒸发问题

题型特点：溶液在稀释过程中，溶质质量不变，溶剂质量增加，溶液质量也增加；在蒸发过程中，溶质质量不变，溶剂质量减少，溶液质量也减少，通常求稀释或蒸发后溶液的浓度，或者根据浓度变化求加水量或蒸发量。

做题方法及技巧：抓住稀释或蒸发过程中溶质质量不变这一核心，根据浓度公式建立等式关系求解。

例题

例1：有浓度为20%的盐水500克，要将其稀释成浓度为10%的盐水，需要加多少克水？

原溶液中溶质质量为500×20%=100克，稀释后溶液质量为100÷10%=1000克，需要加水的质量为1000 - 500=500克

例2：浓度为15%的糖水400克，蒸发掉多少克水后浓度变为20%？

糖的质量为400×15%=60克，浓度变为20%时溶液质量为60÷20%=300克，蒸发掉水的质量为400 - 300=100克

例3：将浓度为30%的酒精溶液200克，加水稀释成浓度为20%的酒精溶液，再蒸发掉多少克水可以使浓度变回30%？

原溶液中酒精质量为200×30%=60克，稀释成20%溶液时，溶液质量为60÷20%=300克，加水300 - 200=100克。

设再蒸发掉x克水可使浓度变回30%，则60÷(300 - x)=30%，解得x=100克

09 牛吃草问题

牛吃草问题通常指的是牛顿问题，因由牛顿提出而得名，也有人称这一类问题叫做牛吃草问题。以下是牛吃草问题的常见题型、做题方法及技巧，并附上相应例题：

一、基本牛吃草问题

·题型特点：已知牛的数量、吃草时间和草的生长速度等条件，求草地原有的草量或牛吃光草所需的时间等。

·做题方法及技巧：利用基本公式“原草量等于牛的数量乘以吃草时间减去草的生长速度乘以吃草时间”来求解。一般先设每头牛每天吃草量为“1”，然后根据已知条件求出草的生长速度和原草量，再根据问题进行计算。

·例题

例1：一片草地，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，问可供25头牛吃多少天？

解析：设每头牛每天吃草量为1。

先求草的生长速度，（10×20-15×10）÷（20-10）=5，即每天新长的草量可供5头牛吃一天。

再求原草量，10×20-5×20=100。设25头牛可吃x天，可得方程100=（25-5）x，解得x=5天。

例2：有一片牧场，草每天都在匀速生长，如果放24头牛，则6天吃完草，如果放21头牛，则8天吃完草，要是草永远吃不完，最多放几头牛？

解析：设每头牛每天吃草量为1。

草的生长速度为（21×8-24×6）÷（8-6）=12。

要使草永远吃不完，那么牛每天吃草的量不能超过草每天生长的量，所以最多放12头牛。

例3：牧场有一片青草，每天生长速度相同。已知这片青草可供18头牛吃20天，或可供100只羊吃12天。如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10头牛和70只羊一起吃这片青草，可以吃几天？

解析：把羊转化为牛，100只羊相当于25头牛，70只羊相当于17.5头牛。

草的生长速度为（18×20-25×12）÷（20-12）=7.5。原草量为18×20-7.5×20=210。

10头牛和70只羊相当于27.5头牛，设可以吃x天，210=（27.5-7.5）x，解得x=10.5天。

（二）牛吃草的变形问题

题型特点：在基本牛吃草问题的基础上，对条件进行变形，如增加或减少牛的数量、改变草的生长情况、增加其他影响因素等。

做题方法及技巧：需要根据具体情况对基本公式进行适当调整和运用，关键还是要先求出草的生长速度和原草量，再分析变化后的情况进行计算。

例题

例1：一个水池安装有排水量相等的排水管若干根，一根进水管不断地往池里注水，平均每分钟进水量相等。如果开放三根排水管，45分钟可把池中水排完；如果开放五根排水管，25分钟可把池中水排完。如果开放八根排水管，几分钟排完水池中的水？

解析：把排水管排水看作牛吃草，进水管进水看作草生长。设每根排水管每分钟排水量为1。

进水量为（3×45-5×25）÷（45-25）=0.5。

水池原有水量为3×45-0.5×45=112.5。

设开放八根排水管x分钟排完，112.5=（8-0.5）x，解得x=15分钟。

例2：自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？

解析：把孩子走扶梯看作牛吃草，扶梯的速度看作草生长速度。扶梯速度为（20×5-15×6）÷（6-5）=10级/分钟。扶梯级数为20×5+10×5=150级。

例3：由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？

解析：设每头牛每天吃草量为1。草每天减少的量为（20×5-15×6）÷（6-5）=10。原草量为20×5+10×5=150。设可供x头牛吃10天，150=（x+10）×10，解得x=5头牛。

10 容斥问题

主要包括两集合容斥问题、三集合容斥问题以及多集合容斥问题等，以下是具体的题型、做题方法及技巧，并配有相应例题：

一、两集合容斥问题

题型特征：题目中涉及两个集合，以及它们的并集、交集等关系。

公式：总数=集合A+集合B-集合A与集合B的交集+两者都不满足的个数

做题方法及技巧：可以通过画图（韦恩图）的方式来直观地表示两个集合之间的关系，帮助理解题意。在计算时，要准确找出题目中对应的各个量，代入公式进行计算。

例题

例1：某班有50人，参加数学竞赛的有30人，参加语文竞赛的有25人，两科都参加的有15人，问两科都不参加的有多少人？

解：根据公式，总数为50人，集合A（参加数学竞赛的人数）为30人，集合B（参加语文竞赛的人数）为25人，集合A与集合B的交集为15人。设两科都不参加的有x人，则50=30+25-15+x，解得x=10人。

例2：学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会的有8人。这个文艺组一共有多少人？

解：这里总数就是文艺组的人数，集合A为会拉手风琴的人数24人，集合B为会弹电子琴的人数17人，交集为8人，两者都不满足的个数为0。根据公式可得，文艺组人数=24+17-8+0=33人。

例3：一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两种语言都不会的有4人，问两种语言都会的有多少人？

解：总数为36人，集合A为会英语的24人，集合B为会法语的18人，两者都不满足的个数为4人。设两种语言都会的有x人，则36=24+18-x+4，解得x=10人。

二、三集合容斥问题

题型特征：题目中出现三个集合，以及它们之间的各种交叉关系。

标准公式：总数=集合A+集合B+集合C-集合A与集合B的交集-集合A与集合C的交集-集合B与集合C的交集+集合A、B、C的交集+三者都不满足的个数

非标准公式：总数=集合A+集合B+集合C-只满足两个集合的个数-2×满足三个集合的个数+三者都不满足的个数

做题方法及技巧：同样可以借助韦恩图来分析问题。要注意区分标准公式和非标准公式的使用场景，标准公式适用于明确给出各个交集具体数量的情况，非标准公式适用于给出只满足两个集合等条件的情况。

例题

例1：某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三门课程均未选的有多少人？

解：总数为50人，集合A（选甲课程的人数）为40人，集合B（选乙课程的人数）为36人，集合C（选丙课程的人数）为30人，集合A与集合B的交集为28人，集合A与集合C的交集为26人，集合B与集合C的交集为24人，集合A、B、C的交集为20人。设三门课程均未选的有x人，根据标准公式可得，50=40+36+30-28-26-24+20+x，解得x=2人。

例2：某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试参加的有46人，不参加其中任何一种考试的有15人。问接受调查的学生共有多少人？

解：这里集合A为准备参加注册会计师考试的人数63人，集合B为准备参加英语六级考试的人数89人，集合C为准备参加计算机考试的人数47人，只满足两个集合的个数为46人，满足三个集合的个数为24人，三者都不满足的个数为15人。根据非标准公式可得，接受调查的学生总数=63+89+47-46-2×24+15=120人。

例3：某乡镇举行运动会，共有长跑、跳远和短跑三个项目。参加长跑的有49人，参加跳远的有36人，参加短跑的有28人，只参加其中两个项目的有13人，参加全部项目的有9人。那么参加该次运动会的总人数为多少？

解：集合A为参加长跑的人数49人，集合B为参加跳远的人数36人，集合C为参加短跑的人数28人，只满足两个集合的个数为13人，满足三个集合的个数为9人。根据非标准公式可得，总人数=49+36+28-13-2×9=82人。

11 盈亏问题

题型分类及方法技巧

一盈一亏型：一次分配有剩余，一次分配不够分。做题关键是根据两次分配的差异以及盈亏的情况来求出份数和总数。基本公式为：份数= （盈 + 亏）÷ 两次分配数的差。

两盈型：两次分配都有剩余。公式为：份数= （大盈 - 小盈）÷ 两次分配数的差。

两亏型：两次分配都不够分。公式为：份数= （大亏 - 小亏）÷ 两次分配数的差。

例题

一盈一亏型

例1：幼儿园老师给小朋友分糖果，若每人分4颗则多9颗；若每人分5颗则少6颗。问有多少个小朋友，有多少颗糖果？

解析：每人分4颗多9颗是盈，每人分5颗少6颗是亏。两次分配数的差是5 - 4 =1颗。根据公式，小朋友人数 = （9 + 6）÷（5 - 4）=15人。糖果数 = 4×15 + 9 = 69颗。

例2：学校安排学生宿舍，如果每间住5人，则有14人没有床位；如果每间住7人，则多出4个床位。问宿舍有几间，学生有多少人？

解析：每间住5人多14人没床位是盈，每间住7人多4个床位相当于亏4人。两次分配数的差是7 - 5 = 2人。宿舍间数 = （14 + 4）÷（7 - 5）= 9间。学生人数 = 5×9 + 14 = 59人。

例3：把一些桃子分给猴子吃，每只猴子分10个，有两只猴子没分到；每只猴子分8个，则刚好分完。问有多少只猴子，多少个桃子？

解析：每只猴子分10个，有两只猴子没分到，相当于亏20个桃子；每只猴子分8个刚好分完，可看作盈0个。两次分配数的差是10 - 8 = 2个。猴子数量 = （20 + 0）÷（10 - 8）= 10只。桃子数量 = 8×10 = 80个。

两盈型

例1：有一批树苗，每人种7棵，则多8棵；每人种9棵，则多2棵。问有多少人种树，有多少棵树苗？

解析：每人种7棵多8棵是大盈，每人种9棵多2棵是小盈。两次分配数的差是9 - 7 = 2棵。人数 = （8 - 2）÷（9 - 7）= 3人。树苗数 = 7×3 + 8 = 29棵。

例2：老师给学生发奖品，如果每人发5本本子，则多32本；如果每人发7本本子，则多12本。问有多少学生，多少本本子？

解析：每人发5本多32本是大盈，每人发7本多12本是小盈。两次分配数的差是7 - 5 = 2本。学生人数 = （32 - 12）÷（7 - 5）= 10人。本子数 = 5×10 + 32 = 82本。

例3：小明带了一些钱去买笔，如果买5支钢笔则多4元，如果买3支钢笔则多16元。问每支钢笔多少钱，小明带了多少钱？

解析：买5支钢笔多4元是小盈，买3支钢笔多16元是大盈。两次分配数的差是5 - 3 = 2支。钢笔单价 = （16 - 4）÷（5 - 3）= 6元。小明带的钱 = 5×6 + 4 = 34元。

两亏型例1：学校为新生分配宿舍，如果每间住4人，则有24人没有床位；如果每间住6人，则空出8个床位。问宿舍有几间，新生有多少人？

解析：每间住4人多24人没床位相当于大亏，每间住6人空出8个床位相当于小亏。两次分配数的差是6 - 4 = 2人。宿舍间数 = （24 - 8）÷（6 - 4）= 8间。新生人数 = 4×8 + 24 = 56人。

例2：工人叔叔修水渠，如果每天修8米，则差16米没修完；如果每天修10米，则差6米没修完。问修水渠的天数是多少，水渠总长多少米？

解析：每天修8米差16米是大亏，每天修10米差6米是小亏。两次分配数的差是10 - 8 = 2米。修水渠天数 = （16 - 6）÷（10 - 8）= 5天。水渠总长 = 8×5 + 16 = 56米。

例3：一些同学去划船，如果每条船坐4人，则少3条船；如果每条船坐6人，则少2条船。问有多少同学，多少条船？

解析：每条船坐4人少3条船，相当于多了4×3 = 12人没船坐，是大亏；每条船坐6人少2条船，相当于多了6×2 = 12人没船坐，是小亏。两次分配数的差是6 - 4 = 2人。船的数量 = （12 - 4）÷（6 - 4）= 4条。同学人数 = 4×（4 + 3）= 28人。