例题7［固基］
科幻电影中提到的“洛希极限”是指当一个天体自身的引力与第二个天体造成的潮汐力相等时的距离。已知行星与卫星的洛希极限计算式为
其中为常数，为行星半径，、分别为行星和卫星的密度。若行星半径为，卫星半径为，且表面重力加速度之比为，则其“洛希极限”为（ ）
A．B．C．D．
答案A
解析在星球表面，物体所受重力等于万有引力：
可得星球质量：
星球密度为：
因此，行星与卫星的密度之比为：
代入洛希极限公式：
故选 A。
练习7［强基］
建立物理模型对实际问题进行分析，是重要的科学思维方法。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。假设地球可视为一个质量分布均匀且密度为的球体，地球的半径为，引力常量为，不考虑地球自转的影响。
（1）试推导第一宇宙速度的表达式；
（2）如图1所示，假设沿地轴的方向凿通一条贯穿地球南北两极的小洞，把一个质量为的小球从北极的洞口由静止状态释放后，小球能够在洞内运动，不考虑其它星体的作用。以地心为原点，向北为正方向建立轴，写出小球所受引力随变化的函数，并在图2中画出其图像。
（3）在科幻电影《流浪地球》中有这样一个场景：地球在木星的强大引力作用下，加速向木星靠近，当地球与木星球心之间的距离小于某个值时，地球表面物体就会被木星吸走，进而导致地球可能被撕裂。这个临界距离被称为“洛希极限”。已知木星和地球的密度分别为和，木星和地球的半径分别为和，且。请据此近似推导木星使地球产生撕裂危险的临界距离——“洛希极限”的表达式。
【提示：当很小时，。】
答案（1）（2）见解析（3）
解析
（1）根据万有引力提供向心力：
地球质量为：
联立解得第一宇宙速度：
（2）距离地心为时，小球受到的引力仅来自半径以内的球体质量：
万有引力大小为：
当时，引力方向向南（负方向）；当时，引力方向向北（正方向）。
图像为过原点、斜率为的直线，在区间内呈线性变化。
（3）设木星质量，地球质量。地球表面最近木星处有一物体质量。地球整体在木星引力作用下的加速度为：
物体所受合力为：
其中：
当时，地球将被撕裂。临界条件给出：
整理得：
由，令，利用近似公式：
代入得：
代入、表达式：
化简得洛希极限：
.
