【免费下载】25-26学年同步培优讲义第1课时 函数的概念(一)(教师版

第三章　函数的概念与性质

3.1　函数的概念及其表示

3.1.1　函数的概念

第1课时函数的概念（一）

事物都是运动变化着的，我们可以感受到它们的变化.早晨，太阳从东方冉冉升起；气温随时间在悄悄地改变；小树随着时间的变化不断长高，……，在这些变化着的现象中，都存在着两个变量，当一个变量变化时，另一个变量随之发生变化.

【问题】（1）怎样用数学模型刻画两个变量之间的关系？

（2）这样的模型具有怎样的特征？

知识点函数的有关概念

提醒（1）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空实数集A中的任意一个（任意性）元素x，在非空实数集B中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y与之对应；（2）函数符号“y＝f（x）”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f（x）也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系；（3）除f（x）外，有时还用g（x），u（x），F（x），G（x）等符号表示函数.

【想一想】

1.在函数的概念中，如果函数y＝f（x）的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？

提示：确定.

2.函数定义域内同一个自变量能否对应多个函数值？

提示：不能.

1.（多选）下列两个集合间的对应中，是A到B的函数的有（）

A.A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的平方

B.A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的开方

C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数

D.A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，f：A中的数的2倍

解析：ADA中，可构成函数关系；B中，对于集合A中元素1，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系；C中，A中元素0的倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，因此不是函数关系；D中，可构成函数关系.

2.若f（x）＝x²－f（3）＝　7　.

解析：f（3）＝9－＝9－2＝7.

3.函数f（x）＝的定义域是{x｜x＜4}.

解析：由4－x＞0，解得x＜4，所以原函数的定义域为{x｜x＜4}.

【例1】（1）设M＝{x｜0≤x≤2}，N＝{y｜0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（）

（2）（多选）下列对应关系或关系式中是A到B的函数的是（）

A.A＝R，B＝R，x²＋y＝1

B.A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图：

C.A＝R，B＝R，f：x→y＝

D.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝

答案：（1）B（2）AB

解析：（1）A中，因为在集合M中当1＜x≤2时，在N中无元素与之对应，所以A不是；B中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以B是；C中，x＝2对应元素y＝3∉N，所以C不是；D中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以D不是.故选B.

（2）A正确，x²＋y＝1可化为y＝－x²＋1，显然对任意x∈A，y都有唯一确定的值与之相对应.B正确，符合函数的定义.C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数.D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数.故选A、B.

通性通法

1.判断对应关系是否为函数的2个条件

（1）A，B必须是非空实数集；

（2）A中的任意一个元素在B中有且只有一个元素与之对应.

2.根据图形判断是否为函数的方法

（1）任取一条垂直于x轴的直线l；

（2）在定义域内平行移动直线l；

（3）若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.

提醒对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系.

【跟踪训练】

（多选）已知集合A＝{x｜0≤x≤8}，集合B＝{x｜0≤x≤4}，则下列对应关系中，能看作是从A到B的函数的是（）

A.f：x→y＝xB.f：x→y＝x

C.f：x→y＝xD.f：x→y＝x

解析：ABC根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素，在集合B中没有元素与它对应，故不正确；A、B、C选项均正确.

【例2】已知f（x）＝（x∈R，且x≠－1），g（x）＝x²＋2（x∈R）.

（1）求f（2），g（2）的值；

（2）求f[g（3）]的值.

解：（1）∵f（x）＝，∴f（2）＝＝.

又∵g（x）＝x²＋2，∴g（2）＝2²＋2＝6.

（2）∵g（3）＝3²＋2＝11，∴f[g（3）]＝f（11）＝＝.

通性通法

求函数值的方法

（1）已知f（x）的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f（a）的值；

（2）求f[g（a）]的值应遵循由内向外的原则.

【跟踪训练】

1.设函数f（x）＝f（x）＝2时，x＝（）

A.－4B.4C.－10D.10

解析：C令＝2，则x＝－10，故选C.

2.已知函数f（x）＝f[f（1）]＝.

解析：∵f（1）＝＝，∴f[f（1）]＝f＝＝.

【例3】求下列函数的定义域：

（1）f（x）＝·＋2；

（2）y＝（x－1）⁰＋.

解：（1）要使此函数有意义，应满足

解得1≤x≤4，所以f（x）的定义域是{x｜1≤x≤4}.

（2）由题意得，解得x＞－1，且x≠1，

所以函数的定义域为{x｜x＞－1，且x≠1}.

通性通法

求函数定义域的依据

（1）依据：分式的分母不为0，二次根式的被开方数不小于0，0次幂的底数不为0等；

（2）写法：如果解析式中含有多个式子，则用大括号将x满足的条件列成不等式组，求交集.

【跟踪训练】

求下列函数的定义域：

（1）y＝；

（2）y＝＋.

解：（1）由得∴其定义域为{x｜x≤1，且x≠0}.

（2）由得∴其定义域为{x｜≤x≤或－≤x≤－}.

【例4】已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述下列变量关系.

（1）f（x）＝；

（2）f（x）＝2x＋；

（3）f（x）＝.

解：（1）设矩形的长为x，宽为f（x），

那么f（x）＝.

其中x的取值范围A＝{x｜x＞0}，f（x）的取值范围B＝{f（x）｜f（x）＞0}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的宽.

（2）设矩形的长为x，周长为f（x），那么f（x）＝2x＋.

其中x的取值范围A＝{x｜x＞0}，f（x）的取值范围B＝{f（x）｜f（x）＞0}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的周长2x＋.

（3）设矩形的长为x，对角线长为f（x），那么f（x）＝.

其中x的取值范围A＝{x｜x＞0}，f（x）的取值范围B＝{f（x）｜f（x）≥2}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的对角线长.

通性通法

根据函数关系构建问题情境的策略

（1）分析条件中的函数解析式，确定其函数类型、定义域、值域、对应关系；

（2）从现实生活中寻找和构建合适的问题情境，必要时，可适当限制x的取值范围；

（3）既要描述情境，又要描述情境中的定义域、值域和对应关系.

【跟踪训练】

构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式y＝来描述.

解：设面积为x的正方形的边长为y，则y＝{x｜x＞0}，值域为{y｜y＞0}，对应关系f把每一个正方形的面积x，对应到唯一确定的边长.

1.（多选）下列等式中的变量x，y具有函数关系的是（）

A.y＝x－1B.y＝

C.y²＝4xD.y²＝x²

解析：AB选项C中，当x＝1时，y＝±2，不符合函数的定义；选项D中，当x＝1时，y＝±1，不符合函数的定义.故选A、B.

2.已知函数f（x）＝x＋f（－1）·f（2）＝－5　.

解析：由函数f（x）＝x＋可知f（－1）＝－1＋＝－2，f（2）＝2＋＝.因此f（－1）·f（2）＝（－2）×＝－5.

3.函数f（x）＝的定义域为{x｜x≤－3或x≥4}.

解析：由题意得，x²－x－12≥0，解得x≤－3或x≥4.

4.已知函数f（x）＝x²－mx＋n，且f（1）＝－1，f（n）＝m，求f（x）及f[f（－1）].

解：由题意知解得

所以f（x）＝x²－x－1，故f（－1）＝1.

f[f（－1）]＝f（1）＝－1.

1.下列图形中，不能作为函数图象的是（）

解析：CC选项中，当x取小于或等于0的一个值时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义，故选C.

2.函数f（x）＝＋的定义域为（）

A.　　　 B.{x｜x≥－2}

C.D.

解析：C依题意得解得即x≥－2，且x≠.故选C.

3.下列对应关系是从集合M到集合N的函数的是（）

A.M＝R，N＝{x∈R｜x＞0}，f：x→｜x｜

B.M＝N，N＝N^*，f：x→｜x－1｜

C.M＝{x∈R｜x＞0}，N＝R，f：x→x²

D.M＝R，N＝{x∈R｜x≥0}，f：x→

解析：C对于A，当集合M中x＝0时，｜x｜＝0，但集合N中没有0；对于B，当集合M中x＝1时，｜x－1｜＝0，但集合N中没有0；对于D，当集合M中x为负数时，集合N中没有元素与之对应；分析知C中对应关系是集合M到集合N的函数.

4.若函数f（x）＝ax²－1，a为一个正数，且f（f（－1））＝－1，那么a＝（）

A.1B.0

C.－1D.2

解析：A∵f（x）＝ax²－1，∴f（－1）＝a－1，f（f（－1））＝f（a－1）＝a·（a－1）²－1＝－1.∴a（a－1）²＝0.又∵a为正数，∴a＝1.

5.（多选）设f：x→x²是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{1}，那么集合A可能是（）

A.{1}B.{－1}

C.{－1，1}D.{－1，0}

解析：ABC由x²＝1得x＝±1，故集合A＝{1}或{－1}或{－1，1}.

6.（多选）下列说法中正确的有（）

A.函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应

B.函数的定义域和值域一定是无限集合

C.定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了

D.若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素

解析：ACD由函数定义知，A、C、D正确，B不正确.

7.已知函数f（x）＝－1，且f（a）＝3，则a＝　16　.

解析：因为f（x）＝－1，所以f（a）＝－1.又因为f（a）＝3，所以－1＝3，a＝16.

8.已知等腰三角形ABC的周长为10，底边长y关于腰长x的函数关系式为y＝10－2x，则此函数的定义域为.

解析：∵△ABC的底边长显然大于0，即y＝10－2x＞0，∴x＜5.又两边之和大于第三边，∴2x＞10－2x，∴x＞，∴此函数的定义域为.

9.已知函数f（x）＝（x）＝f（x－3），则g（x）＝.函数g（x）的定义域是{x｜x≥3，且x≠4}.

解析：g（x）＝f（x－3）＝得x≥3，且x≠4.

10.记函数f（x）＝的定义域为A，g（x）＝（a＜1）的定义域为B.

（1）求A；

（2）若B⊆A，求实数a的取值范围.

解：（1）由2－≥0，得≥0，解得x＜－1或x≥1，

即A＝{x｜x＜－1或x≥1}.

（2）由（x－a－1）（2a－x）≥0，得（x－a－1）（x－2a）≤0，

由a＜1，得a＋1＞2a，所以B＝{x｜2a≤x≤a＋1}.

又B⊆A，所以2a≥1或a＋1＜－1，即a≥或a＜－2.

又a＜1，所以≤a＜1或a＜－2.

故当B⊆A时，实数a的取值范围是{aa＜－2或≤a＜1}.

11.已知集合A＝{1，2，k}，B＝{4，7，10}，x∈A，y∈B，使B中元素y和A中元素x一一对应，对应关系为y＝3x＋1，则k＝（）

A.5B.4C.3D.2

解析：C根据对应关系为y＝3x＋1，3×1＋1＝4，3×2＋1＝7，由题意可得3k＋1＝10，所以k＝3.

12.（多选）下列函数中，满足f（2x）＝2f（x）的是（）

A.f（x）＝｜x｜B.f（x）＝x－｜x｜

C.f（x）＝x＋1D.f（x）＝－x

解析：ABD在A中，f（2x）＝｜2x｜＝2｜x｜，2f（x）＝2｜x｜，满足f（2x）＝2f（x）；在B中，f（2x）＝2x－｜2x｜＝2（x－｜x｜）＝2f（x），满足f（2x）＝2f（x）；在C中，f（2x）＝2x＋1，2f（x）＝2（x＋1）＝2x＋2，不满足f（2x）＝2f（x）；在D中，f（2x）＝－2x＝2（－x）＝2f（x），满足f（2x）＝2f（x）.

13.已知函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是.

解析：当a＝0时，ax²＋4ax＋3＝3≠0对任意x∈R恒成立.当a≠0时，要使ax²＋4ax＋3≠0恒成立，即方程ax²＋4ax＋3＝0无实根，只需判别式Δ＝（4a）²－12a＝4a（4a－3）＜0，则0＜a＜.综上，实数a的取值范围是.

14.已知函数f（x）＝.

（1）若f（a）＝2，求a的值；

（2）求证：f＝－f（x）.

解：（1）因为f（x）＝f（a）＝2，

所以f（a）＝＝2，即a²＝a＝±.

（2）证明：由已知得f＝＝

－f（x）＝－＝f＝－f（x）.

15.若两个函数的对应关系相同，值域也相同，但定义域不同，则称这两个函数为同族函数，那么与函数y＝x^2，x∈{－1，0，1，2}为同族函数的有（）

A.5个B.6个

C.7个D.8个

解析：D由题意知同族函数是只有定义域不同的函数，函数解析式为y＝x^{2，值域为}{0，1，4}，定义域中0是肯定有的，1、－1至少含有一个，2、－2至少含有一个，它的定义域可以是{0，1，2}，{0，1，－2}，{0，－1，2}，{0，－1，－2}，{0，1，－2，2}，{0，－1，－2，2}，{0，1，－1，－2}，{0，1，－1，2，－2}，共有8种不同的情况.

16.构建一个问题情境，使其中变量关系能用解析式f（x）＝5x²来描述，其中x＞0.

解：构建情境如下：长方形的长宽之比为5∶1，设宽为x，面积为f（x），那么f（x）＝5x·x＝5x².

其中x的取值范围是{x｜x＞0}，f（x）的取值范围是{f（x）｜f（x）＞0}，对应关系f为把每一个长方形的宽x，对应到唯一确定的面积5x²（答案不唯一）.

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