培优课构造法求数列的通项公式
题型一 | 形如an＋1＝pan＋q（p，q≠0且p≠1） |
【例1】在数列{an}中，a1＝
n＋1＝
an＋
∈N*，则an＝.
通性通法
求解递推公式形如an＋1＝pan＋q（p≠0，q≠0且p≠1）的数列{an}的通项公式的关键：一是利用待定系数法构造，即构造an＋1＋λ＝p（an＋λ）的形式；二是找到{an＋λ}为等比数列（其中 λ＝
）.
【跟踪训练】
已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，则a10＝（）
A.2 045B.1 021
C.1 027D.2 051
角度1 f（n）为一次多项式
【例2】在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2n＋1，则数列{an}的通项公式为.
通性通法
一般地，当f（n）为一次多项式时，即数列的递推关系为an＋1＝Aan＋Bn＋C型，可转化为an＋1＋λ1（n＋1）＋λ2＝A（an＋λ1n＋λ2）的形式来求通项公式.
角度2 f（n）为指数式
【例3】已知数列{an}中，a1＝6，an＋1＝2an＋3n＋1，则an＝.
通性通法
形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系求通项公式，一般可转化为an＋1＋λqn＋1＝p（an＋λqn）的形式，构造出一个新的等比数列{an＋λqn}，然后再求an.
【跟踪训练】
1.（2024·安阳月考）在数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＋2＝2an＋1－an，则{an}的通项公式为.
2.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an－2n，则a17＝.
题型三 | 形如an＋1＝ （p，q，r≠0） |
【例4】在数列{bn}中，若b1＝－1，bn＋1＝
∈N*，试求{bn}的通项公式.
通性通法
一般地，形如an＋1＝
（p，q，r≠0）结构的递推式往往可以通过等式两边同时取倒数变形构造出线性递推式an＝Aan－1＋B（n≥2，A，B是常数），进而求出原数列的通项公式.
【跟踪训练】
已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝
（n∈N*），若bn＝log2（
＋1），试求数列{bn}的通项公式.
1.已知数列{an}满足an＋1＝2an＋1，a1＝1，则an＝（）
A.2n－1B.2n－1－1
C.2nD.2n－1
2.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝
an＝（）
A.2n－1B.2n＋1
C.
D.
3.若数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝4an＋2n，则a5＝.
提示：完成课后作业第四章培优课
