【免费下载】25-26学年同步培优讲义第1课时 等比数列的前n项和公式(教师版

4.3.2等比数列的前n项和公式

第1课时等比数列的前n项和公式

如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个信息传给3个不同的好友（称为第1轮传播），每个好友收到信息后，又都传给了3个不同的好友（称为第2轮传播），……，依此下去，假设信息在传播的过程中都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人数就构成了一个等比数列：1，3，9，27，81，….

【问题】如果信息按照上述方式共传播了20轮，那么知晓这个信息的人数共有多少？

知识点等比数列的前n项和公式

提醒求等比数列的前n项和，需对公比分q＝1与q≠1两种情况进行讨论，当q＝1时，应利用公式S_n＝na₁求和.

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）等比数列前n项和S_n不可能为0.（×）

（2）若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n项和等于na.（√）

（3）若a∈R，则1＋a＋a²＋…＋a^n－1＝.（×）

（4）若某数列的前n项和公式为S_n＝－aqⁿ＋a（a≠0，q≠0且q≠1，n∈N^*），则此数列一定是等比数列.（√）

2.已知等比数列{a_n}的首项a₁＝3，公比q＝2，则S₅＝（）

A.93B.－93C.45D.－45

解析：A　S₅＝＝＝93.

3.在等比数列{a_n}中，若a₁＝1，a₄＝S₁₀＝（）

A.2－B.2－

C.2－D.2－

解析：B易知公比q＝S₁₀＝＝2－.

4.（2024·六盘水月考）已知等比数列{a_n}的前n项和为S_{n，公比为2，且}S₄＝15，则a₁＝1.

解析：依题意，a₁＋a₂＋a₃＋a₄＝15，故a₁＋2a₁＋4a₁＋8a₁＝15，解得a₁＝1.

【例1】求下列等比数列前8项的和：

（1），…；

（2）a₁＝27，a₉＝＜0.

解：（1）因为a₁＝₂＝q＝

所以S₈＝＝.

（2）由a₁＝27，a₉＝＝27·q⁸.

又由q＜0，可得q＝－

所以S₈＝＝＝＝.

通性通法

求等比数列的前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，注意公比q＝1是否成立.

【跟踪训练】

1.在等比数列{a_n}中，a₁＝2，q＝3，则S₃＝26.

解析：S₃＝＝26.

2.求数列{（－1）ⁿ}的前100项的和.

解：法一　a₁＝（－1）¹＝－1，q＝－1.

∴S₁₀₀＝＝0.

法二数列{（－1）ⁿ}为－1，1，－1，1，…，

∴S₁₀₀＝50×（－1＋1）＝0.

【例2】在等比数列{a_n}中，

（1）若a₁＋a₃＝10，a₄＋a₆＝S₅；

（2）若a₁＝_n＝16_n＝11n和q；

（3）若a₂＝1，a₄＝a_n＞0，求S₁₀－S₅.

解：（1）由题意知解得从而S₅＝＝.

（2）由S_n＝得11＝q＝－2，又由a_n＝a₁q^n－1得，16＝（－2）^{n－1，解得}n＝5.

（3）设等比数列{a_n}的公比为q（q＞0），

由a₄＝a₂q^2，得q²＝q＝或q＝－（舍去），则a₁＝＝2，所以S₁₀－S₅＝－＝.

通性通法

与等比数列前n项和公式有关的基本量的求解

在等比数列前n项和公式中，共可涉及五个量：a_{1，an，n，q，Sn，其中首项}a₁和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答.

【跟踪训练】

1.（2024·临沂月考）在14与之间插入n个数，组成所有项的和为的等比数列，则此数列的项数为　5　.

解析：设此数列的公比为q（易知q≠1），则解得故此数列共有5项.

2.在等比数列{a_n}中，S₃＝₆＝a_n.

解：设等比数列{a_n}的公比为q.

由已知条件知S₆≠2S_3，则q≠1.

由S₃＝₆＝

得

②÷①，得1＋q³＝9，∴q＝2.

将q＝2代入①，解得a₁＝.

因此a_n＝a₁q^n－1＝2^n－2.

【例3】数列{a_n}的前n项和S_n＝3ⁿ－2.求{a_n}的通项公式，并判断{a_n}是否是等比数列.

解：当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝（3ⁿ－2）－（3^n－1－2）＝2·3^n－1.

当n＝1时，a₁＝S₁＝3¹－2＝1，不适合上式.所以a_n＝

法一由于a₁＝1，a₂＝6，a₃＝18，显然a_1，a2，a3不是等比数列，即{a_n}不是等比数列.

法二由等比数列{b_n}的公比q≠1时的前n项和S_n＝A·qⁿ＋B满足的条件为A＝－B，对比可知S_n＝3ⁿ－2，2≠1，故{a_n}不是等比数列.

通性通法

由S_n＝Aqⁿ＋B（AB≠0，q≠0且q≠1）判断等比数列的注意事项

若数列{a_n}的前n项和S_n＝Aqⁿ＋B（AB≠0，q≠0且q≠1），当A＋B＝0时，{a_n}是等比数列；当A＋B≠0时，{a_n}不是等比数列.

【跟踪训练】

等比数列{a_n}的前n项和S_n＝m·4^n－1＋t（其中m，t为常数且mt≠0），则＝－4.

解析：法一　a₁＝S₁＝m＋t，a₂＝S₂－S₁＝3m，a₃＝S₃－S₂＝12m，因为{a_n}为等比数列，则＝a₁a_3，所以9m²＝12m（m＋t），即m＝－4t，故＝－4.

法二　S_n＝m·4^n－1＋t＝m·4ⁿ＋t，因为{a_n}是等比数列，故m＝－t，则＝－4.

1.数列1，5，5^2，53，54，…的前10项和为（）

A.B.

C.D.

解析：B　S₁₀＝＝（5¹⁰－1）.

2.已知等比数列{a_n}中，a₁＝2，q＝2，前n项和S_n＝126，则n＝（）

A.9B.8C.7D.6

解析：D由等比数列前n项和公式，知＝2^n＋1－2＝126，n＝6，故选D.

3.若数列{a_n}是等比数列，且其前n项和为S_n＝3^n＋1－2k，则实数k＝.

解析：∵S_n＝3^n＋1－2k＝3×3ⁿ－2k，且{a_n}为等比数列，∴3－2k＝0，即k＝.

4.（2024·开封月考）数列{a_n}的通项公式是a_n＝aⁿ（a≠0），则其前n项和为S_n＝.

解析：因为a≠0，a_n＝a^n，所以{a_n}是以a为首项，a为公比的等比数列.当a＝1时，S_n＝n；当a≠1时，S_n＝.

1.在数列{a_n}中，已知a_n＋1＝2a_n，且a₁＝1，则数列{a_n}的前5项的和等于（）

A.－25B.25

C.－31D.31

解析：D因为a_n＋1＝2a_n，且a₁＝1，所以数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列{a_n}的前5项的和为＝31.

2.等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₃＝15，a₃＝5，则公比q＝（）

A.－B.1

C.－或1D.或1

解析：C当q≠1时，∵S₃＝15，a₃＝5，∴解得q＝－.当q＝1时，{a_n}为各项均为5的常数列，符合题意.

3.已知等比数列{a_n}的前n项和为S_{n，下表给出了}S_n的部分数据：

则数列{a_n}的第4项a₄＝（）

A.B.

C.－或D.－或

解析：B由题意得，在等比数列{a_n}中，∴a₅＝－q⁴＝－q＝－，∴a₄＝－（－）³＝.

4.（2024·福州月考）已知数列{a_n}的前n项和S_n＝aⁿ－1（a是不为零的常数），则数列{a_n}（）

A.一定是等差数列B.一定是等比数列

C.或是等差数列，或是等比数列D.既非等差数列，也非等比数列

解析：C由S_n＝aⁿ－1知，当a＝1时，S_n＝0，此时数列{a_n}为等差数列（a_n＝0）.当a≠1时，a₁＝a－1，a_n＝S_n－S_n－1＝（aⁿ－1）－（a^n－1－1）＝aⁿ－a^n－1＝（a－1）a^n－1，n≥2，n＝1时也符合上式，故数列{a_n}是首项为a－1，公比为a（a≠1）的等比数列.故选C.

5.（多选）已知等比数列{a_n}的前n项和为S_{n，公比为}q，若a₁≠a_2，a3a₄＝2a_1，a3－a₂＝2（a₄－a₃），则下列结论正确的是（）

A.q＝B.a₇＝2

C.a₈＝8D.S₆＝126

解析：AD因为等比数列{a_n}中，a₁≠a_2，所以q≠1，因为a₃·a₄＝2a_1，a3－a₂＝2（a₄－a₃）＝2q（a₃－a₂），所以q⁵＝2a_1，且2q＝1，即q＝正确；所以a₁＝64，a₇＝64×＝1，B错误；a₈＝a₁q⁷＝64×＝错误；S₆＝＝126，D正确.故选A、D.

6.（多选）设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若8a₂＋a₅＝0，则下列式子中数值确定的是（）

A.B.

C.D.

解析：ABC由8a₂＋a₅＝0得8a₂＋a₂q³＝0，∵a₂≠0，∴q³＝－8，∴q＝－2.A中，＝q²＝4；B中，＝＝＝；C中，＝＝＝；D中，＝与n有关，不确定.故选A、B、C.

7.设等比数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），若a₂＝2，a₃＝4，则a₁＝1　，S₄＝15.

解析：因为a₂＝2，a₃＝4，所以解得所以S₄＝＝15.

8.已知数列{a_n}的前n项和S_n＝（a_n－1），则数列{a_n}的通项公式是a_n＝.

解析：S_n＝a_n－＝＝a₁＝－＝－a_n＝.

9.（2024·宁波月考）一个等比数列的前n项和S_n＝（1－2λ）＋λ·2^n，则λ＝1.

解析：设等比数列{a_n}的公比为q，当q＝1时，a₁＝S₁＝（1－2λ）＋2λ＝1，则S_n＝n，显然与题设不符，∴q≠1，即等比数列不是常数列，∴S_n＝－＝（1－2λ）＋λ·2^n，则可得λ＝1.

10.在等比数列{a_n}中，a₁＝1，a₅＝4a₃.

（1）求{a_n}的通项公式；

（2）记S_n为{a_n}的前n项和.若S_m＝63，求m.

解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，

由题意得a_n＝q^n－1，q4＝4q^2，

解得q＝0（舍去），q＝－2或q＝2.

故a_n＝（－2）^n－1或a_n＝2^n－1.

（2）若a_n＝（－2）^n－1，则S_n＝.

由S_m＝63得＝63，

即（－2）^m＝－188，此方程没有正整数解.

若a_n＝2^n－1，则S_n＝2ⁿ－1.由S_m＝63得2^m－1＝63，即2^m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.

11.（2024·广州月考）已知数列{a_n}是首项为1的等比数列，S_n是数列{a_n}的前n项和且9S₃＝S_{6，则数列}{}的前5项和为（）

A.或5B.或5

C.D.

解析：C设数列{a_n}的公比为q，由9S₃＝S_6，得q≠1，则＝1＋q³＝9，解得q＝2.所以数列{}是首项为1，公比为的等比数列，则数列{}的前5项和为T₅＝＝C.

12.（多选）（2024·云浮月考）已知等比数列{a_n}是递增数列，其前n项和为S_n，若a₂＋a₄＝10，a₂a₃a₄＝64，则（）

A.S_n＋1－S_n＝2^n＋1B.a_n＝2^n－1

C.S_n＝2ⁿ－1D.S_n＝2^n－1－1

解析：BC设等比数列{a_n}的公比为q（q≠0），由a₂a₃a₄＝64，得＝4^3，则a₃＝4，由a₂＋a₄＝10，得＋4q＝10，即2q²－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.又因为数列{a_n}是递增数列，所以q＝2，所以2a₁＋8a₁＝10，解得a₁＝1.所以a_n＝2^n－1，S_n＝＝2ⁿ－1，所以S_n＋1－S_n＝2^n＋1－1－（2ⁿ－1）＝2ⁿ.故选B、C.

13.等比数列{a_n}的公比为q，前n项和S_n＞0（n＝1，2，3，…），则q的取值范围是（－1，0）∪（0，＋∞）.

解析：因为数列{a_n}为等比数列，S_n＞0，所以a₁＝S₁＞0，q≠0.当q＝1时，S_n＝na₁＞0；当q≠1时，S_n＝＞0，即＞0，所以或所以－1＜q＜1或q＞1.综上，q的取值范围为（－1，0）∪（0，＋∞）.

14.（2024·温州质检）设数列{a_n}的前n项和为S_n，其中a_n≠0，a₁为常数，且－a_{1，Sn，an＋1}成等差数列.

（1）求{a_n}的通项公式；

（2）设b_n＝1－S_n，问：是否存在a_{1，使数列}{b_n}为等比数列？若存在，求出a₁的值；若不存在，请说明理由.

解：（1）依题意，得2S_n＝a_n＋1－a₁.

当n≥2时，有

两式相减， 得a_n＋1＝3a_n（n≥2）.

当n＝1时，a₂＝2S₁＋a₁＝3a_1，an≠0，所以数列{a_n}是首项为a_{1，公比为}3的等比数列.

因此a_n＝a₁·3^n－1（n∈N^*）.

（2）存在.因为S_n＝＝a₁·3ⁿ－a_1，所以b_n＝1－S_n＝1＋a₁－a₁·3ⁿ.

要使{b_n}为等比数列，则1＋a₁＝0，

即a₁＝－2.此时b_n＝3^{n，符合题意}.

15.（2024·厦门质检）设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f（x）·f（y）＝f（x＋y）.若a₁＝_n＝f（n）（n∈N^*），则数列{a_n}的前n项和S_n＝1－.

解析：令x＝n，y＝1，则f（n）·f（1）＝f（n＋1），又a_n＝f（n），∴＝＝f（1）＝a₁＝，∴数列{a_n}是以为首项，为公比的等比数列，∴S_n＝＝1－.

16.将数列{a_n}中的所有项按“第一行三项，以下每一行比上一行多一项”的规则排成如下数表.

记表中的第一列数a_1，a4，a8，…构成的数列为{b_n}，已知：

①在数列{b_n}中，b₁＝1，对于任何n∈N^*，都有（n＋1）b_n＋1－nb_n＝0；

②表中每一行的数从左到右均构成公比为q（q＞0）的等比数列；

③a₆₆＝.

请解答以下问题：

（1）求数列{b_n}的通项公式；

（2）求上表中第k（k∈N^*）行所有项的和S（k）.

解：（1）由（n＋1）b_n＋1－nb_n＝0，得数列{nb_n}为常数列，故nb_n＝1·b₁＝1，∴b_n＝.

（2）∵3＋4＋…＋11＝63，∴表中第一行至第九行共含有{a_n}的前63项，a₆₆在表中第十行第三列.

故a₆₆＝b₁₀·q^2，

又a₆₆＝b₁₀＝＞0，∴q＝2.

故S（k）＝＝（2^k＋2－1）.