2026春新人教版初中数学八年级下册课件和核心素养教案+教学反思(表格式)

教师活动

学生活动

环节一：学习目标

教师活动1：

师出示学习目标：

1．经历勾股定理的探索过程，理解勾股定理的内容．

2．能运用勾股定理进行简单的直角三角形边长计算．

学生活动1：

学生齐声读本课的学习目标

活动意图说明：

明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．

环节二：新知导入

教师活动2：

介绍：直角三角形是一种特殊的三角形，具有广泛的应用价值，人们对其研究也由来已久．在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫作勾，长的直角边叫作股，斜边叫作弦．根据我国数学典籍《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就知道，如果勾为三、股为四，那么弦为五．后来人们进一步发现并证明了直角三角形三边之间的数量关系—两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，这就是勾股定理．

提出问题：直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余．对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？

学生活动2：

学生认真听讲并思考

活动意图说明：

通过何介绍并提出问题，激发学生的学习兴趣，为探究勾股定理作好准备

环节三：新知讲解

教师活动3：

出示：在《周髀算经》的开篇，商高（约公元前11世纪）构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出 “两矩共长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积．

讲解：商高所指的面积关系可以用图形表示．如图，红色直角三角形的三边长分别为3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分别为9，16，25，且9＋16＝25．从边的角度看，这个直角三角形的三边满足：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．

追问：其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？

探究：如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A₁，B₁，C₁的面积之间有什么关系？A₂，B₂，C₂呢？A₃，B₃，C₃呢？

以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？

分析：以直角三角形斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积．

解：可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积．由此我们猜想：

如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²＋b²＝c²．

讲解：证明这个猜想的方法有很多，下面介绍我国古代数学家赵爽（约3世纪）的证法．

如图所示，这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）．

赵爽指出：按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四．以勾股之差自相乘为中黄实．加差实，亦成弦实．

赵爽利用弦图证明这个猜想的基本思路如下：如图(1)所示，把边长分别为a，b的两个正方形连在一起，它的面积是a²＋b² ．这两个正方形还可以分割成四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色），把图(1)中左、右两个三角形移到图(2)中所示的位置，就会形成一个以c为边长的正方形（图 (3)），它的面积是c² ．因为图(1)与图(3)都由四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色）组成，所以它们的面积相等，即a²＋b²＝c² ．

这样就证明了前面的猜想．它表明了直角三角形三边之间的关系，我国把它称为勾股定理．

归纳：勾股定理

如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²＋b²＝c²．

指出：在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理．

介绍：赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”．“赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲．2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的（如图所示）．

探究：根据 “赵爽弦图” ，你能通过计算弦图的面积推导出勾股定理吗？

解：＝+

= 

= 

=

即： a²＋b²＝c²

例1：如图所示，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长．

解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理，

AB²＝AC²＋BC²＝8²＋6²＝100，

所以AB＝10．

（2）在Rt△DEF中，根据勾股定理，

DE²＋EF²＝DF²，

从而DE²＝DF²－EF²＝17²－15²＝64，

所以DE＝8．

学生活动3：

在老师的引导下合作探究

活动意图说明：

通过图形引导学生探究出一般直角三角形的三边之间的数量关系——勾股定理，并渗透爱国主义教育．通过例题提高学生熟练运用勾股定理并进行计算．

环节四：课堂小结

教师活动4：

问题：本节课你都学习到了哪些知识？

教师通过学生的回答，进行归纳

学生活动4：

学生积极回顾本节课学习到的知识

活动意图说明：

通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．

课题：20.1勾股定理及其应用（第1课时）

一、勾股定理的发现

二、利用勾股定理求边长

教师板演区

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