沪科版七年级数学下册
教
学
设
计
2026春
第6章 实数
6.1平方根、立方根
1.平方根
【教学目标】
1.掌握平方根、算术平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别；
2.能用符号表示一个数的平方根和算术平方根，理解开平方运算和平方运算之间的互逆关系.会求一个非负数的平方根和算术平方根.
3.理解并运用a的双重非负性.
4.通过观察、理解开平方运算和平方运算之间的互逆关系，掌握求一个非负数的平方根和算术平方根的方法，培养学生的观察、演绎能力.
5.有意识地引导学生积极参与到数学活动过程中，培养学生的观察、归纳能力，通过合作学习体验成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣.
【教学重点】
能用符号正确表示一个数的平方根和算术平方根，理解开平方运算和平方运算之间的互逆关系，会求一个非负数的平方根和算术平方根.
【教学难点】
理解并运用a的双重非负数.
【教学过程】
【教学过程】
一、情境导入,初步认识
问题装修房屋，选用了某种型号的正方形地砖，这种地砖4块正好铺1m2，如图（单位：m)，问这种地砖的一块的边长是多少？
[教学说明]
教师提出问题后，让学生独立思考，然后让学生相互交流.学生很容易设出未知数，列出方程，感受平方根，算术平方根是实际的需要，激发学生探求新知识的欲望.
二、思考探究，获取新知
1.平方根的定义.
问：已知一个数的平方，怎样求这个数呢？
[教学说明]教师提出问题，同学生一起分析，引出平方根的定义.
[归纳结论]一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根.
2.平方根的性质.
问：（1）16的平方根是什么？
（2）0的平方根是什么？
(3)-9有没有平方根？
[教学说明]教师提出问题，学生独立完成再和同伴进行交流，归纳平方根的性质.
[归纳结论]一个正数a的平方根有两个，它们互为相反数,0的平方根是0，负数没有平方根.
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记为，其中a叫做被开方数，另一个负的平方根记为-，0的算术平方根是0.
求一个数的平方根的运算叫做开平方.开方是平方的逆运算.根据这种关系，可以求出一些数的平方根.
三、典例精析，掌握新知
例1 判断下列各数是否有平方根，为什么？
25;;0.0169;-64.
【解】∵正数和零有平方根，负数没有平方根.∴25,,0.0169有平方根；-64没有平方根.
例2求下列各数的平方根和算术平方根.
（1）1;(2)81;(3)64;(4)(-3)2.
【解】（1）∵(±1)2=1,∴1的平方根是±1，即±=±1;1的算术平方根是1.
(2)∵(±9)2=81.∴81的平方根是±9，即±=±9;81的算术平方根是9.
（3）∵(±8)2=64,∴64的平方根是±8，即±=±8;64的算术平方根是8.
（4）∵(-3)2=9,9的平方根是±3,∴(-3)2的平方根是±3，即±=±3;（-3）2的算术平方根是3.
[教学说明]让学生自主完成，掌握求一个数的平方根和算术平方根的方法.
[归纳结论]对于一些平方数，我们可以根据开平方与平方的互逆关系，求出这些数的平方根和算术平方根.
例3 利用计算器求下列各式的值（精确到0.01）:
(1);(2);(3)-;(4).
【解】(1)≈1.41
(2)≈42.78
(3)-≈-0.94
(4)≈0.85
例4 跳水运动员要在空中下落的短暂过程中完成一系列高难度的动作，如果不考虑空气阻力等其他因素影响，弹跳到最高点后，人体下落到水面所需要的时间t与下落的高度h之间应遵循下面的公式：h=gt2.其中h的单位是m，t的单位是s，g=9.8m/s2.假设跳板的高度是3m，运动员在跳板上起跳至高出跳板1.2m处开始下落，那么运动员下落到水面约需多长时间？
【解】设运动员下落到水面约需ts，根据题意，得3+1.2=×9.8t2
∴运动员下落到水面约需0.93s.
[教学说明]让学生自主探究、相互交流，掌握计算器的使用方法，并能借助计算器求一些数的平方根，对于例4这样的实际问题，可设未知数列出方程，而解x2=a这样的方程，可看作是求a的平方根.
[归纳结论]对于一些非平方数，可以利用计算器求出它们的平方根.
四、运用新知，深化理解
1.填空：
(1)一个正数有两个平方根，而且这两个平方根;
(2)有且只有一个平方根，它的平方根就是;
(3)数没有平方根.
2.判断是非.
(1)4是16的算术平方根.( )
(2)是的一个平方根.( )
(3)(-5)2的平方根是-5.( )
(4)0的算术平方根是0.( )
3.下列的各式是否有意义，说明理由:
4.求下列各数的平方根，算术平方根，并用式子表示.
(1)49；(2)25.
5.用计算器求下列各式的值（精确到0.01)：
6.一个正数x的两个平方根分别是2a-1与-a+2,求a和x.
7.若|2014-a|+=0.求a-b的值.
[教学说明]学生自主探究，教师巡视，及时给予指导.
【答案】
1.（1）互为相反数 （2）0 0 （3）负
2.（1）√(2)√(3)×(4)√
3.（1）（3）（4）有意义（2）无意义，理由略
4.
6.由2a-1-a+2=0得a=-1,当a=-1时，x=(2a-1)2=(-3)2=9.
7.由2014-a=0,b-2015=0得a=2014,b=2015,∴a-b=2014-2015=-1.
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？请与同伴交流.
[教学说明]学生相互交流，回顾知识点，反思问题，共同提高.
【课后练习】
完成练习册中本课时练习.
【教学后记】
2.立方根
【教学目标】
1.理解立方根的概念，会用符号表示一个数的立方根.
2.知道开立方与立方互为逆运算，会求某些数的立方根，理解并掌握立方根的性质.
3.能利用计算器求立方根.
4.通过观察、理解开立方运算和立方运算的互逆关系，掌握求一个数的立方根的方法，培养学生的演绎、归纳能力.
5.在数学活动中激发学生自己探索的兴趣，通过合作交流，让学生体验成功的喜悦.
【教学重点】
会求一个数的立方根，掌握立方根的性质.
【教学难点】
理解开立方与立方的互逆关系.
【教学过程】
一、情境导入，初步认识
问题要做一个容积是64dm3的正方形木箱，如图，问它的棱长是多少?
[教学说明]教师提出问题，让学生独立思考，然后相互交流，学生很容易设出未知数、列出方程、感受立方根是实际的需要，激发学生探求新知识的欲望.
二、思考探究，获取新知
1.立方根的定义
问：已知一个数的立方怎样求这个数呢？
[教学说明]教师提出问题，引导学生一起分析引出立方根的定义.
[归纳结论]一般地，如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根，也叫做三次方根.
a的立方根记作，读作“三次根号a”，其中a叫做被开方数，3叫做根指数.
求一个数的立方根的运算叫做开立方.
2.立方根的求法
问：在上面的问题中，64的立方根是多少呢？
[教学说明]教师提出问题，学生很容易联想到平方根的求法，从而找到立方根的求法.
[归纳结论]开立方与立方互为逆运算，根据这种关系，可求出一些数的立方根.
三、典例精析，掌握新知
例1求下列各数的立方根：
（1）27; (2)-64; (3)0.
【解】（1）因为33=27,所以27的立方根是3.即=3.
（2）因为(-4)3=-64，所以的立方根是-4.即=-4.
（3）因为03=0，所以0的立方根是0,即=0.
例2用计算器求下列各数的立方根（精确到0.01):
（1）2；（2）7.797；（3）-17.456；（4）.
[教学说明]让学生独立完成，掌握求一个数的立方根的方法，相互交流，归纳出立方根的性质.
[归纳结论]正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；0的立方根是0.
例3若=4，求x的平方根.
【解】∵=4.
∴x=64.
∴x的平方根是±8.
例4若+|x2-9|=0.求3x+6y的立方根.
【解】由题意得2x+y=0,x2-9=0. ∴x=±3.
当x=3时，2×3+y=0,∴y=-6.
3x+6y=3×3+6×(-6)=-27,它的立方根是-3.
当x=-3时，2×(-3)+y=0,∴y=6.
3x+6y=3×（-3）+6×6=27.它的立方根是3.
∴3x+6y的立方根为3或-3.
[教学说明]学生独立自主探究，相互交流，提高对知识的综合运用能力.
四、运用新知，深化理解
1.判断是非：
（1）3是-27的立方根.( )
(2)64的立方根是±4.( )
(3)0是0的立方根.( )
2.填空：
3.求下列各数的立方根:
(1)1;(2)-1;(3)8;(4)-8.
4.用计算器计算(精确到0.1)：
5.如果4x2=25，(y+1)3=1/8,求x-y的值.
6.用计算器探索规律：
你能发现其中的小数点的移动的规律吗？
[教学说明]学生自主完成，教师巡视，对学生解题过程中出现的问题及时予以指正，加深学生对所学知识的理解和运用.
【答案】1.(1)×(2)×(3)√
2.1,2,3,4,125,216,343,512,729,1000
6.(1)11(2)110(3)1100(4)1.1(5)0.11
规律：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位.所得正方根的小数点就相应地向左（或向右）移动一位.
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？请与同伴交流.
[教学说明]学生相互交流，回顾立方根的定义和求根方法，以及立方根的性质等知识点，加深对所学知识的理解.
【课后练习】
完成练习册中本课时练习.
【教学后记】
6.2 实数
第1课时 实数的概念及分类
【教学目标】
1.了解无理数和实数的概念.
2.会对实数进行分类.
3.会用“夹逼法”估计一个无理数的大小，会将循环小数化为分数.
4.从实际问题引出无理数，会用“夹逼法”估计无理数的大小，能用两种方法对实数进行分类，增强学生的参与意识，发挥学生的积极主动性.
5.让学生在独立思考的基础上，积极参与数学问题的讨论，勇于发表自己的观点，增强合作交流意识，激发学生的学习兴趣.
【教学重点】
掌握无理数的三种形式，能够识别有理数和无理数，能对实数进行分类.
【教学难点】
循环小数化为分数的规律与方法.
【教学过程】
一、情境导入，初步认识
问题如图是由4条横线，5条竖线构成的方格网，它们相邻的行距，列距都是1，从这些纵横线相交得出的20个点（称为格点）中，我们可以选择其中4个格点作为顶点连接成一个正方形，叫做格点正方形.你能找出多少种面积互不相同的格点正方形？
（1）有面积分别是1，4，9的格点是正方形吗？
（2）有面积是2的格点正方形吗？把它画出来.
（3）还有与这些面积不相同的格点正方形吗？
[教学说明]教师提出问题，学生自主探究然后相互交流，第（1）问学生很容易得到答案，第（2）问教师可适当加入引导启发.
二、思考探究，获取新知
1.问：我们看到四个边长为1的相邻正方形的对角线就围成一个面积为2的格点正方形这种正方形的边长应是多少？
[教学说明]学生自然联想到平方根这一节所学知识，很容易得出这种正方形的边长为.
探究是一个怎样的数呢？
因为12=1<2,22=4>2.
所以1<<2，这说明2不可能是整数.
因为1.42=1.96<2,1.52=2.25>2.
所以1.4<<1.5.
类似地，可得1.414<<1.415.
像上面这样一直做下法，可以得到：
=1.41412135…这说明是一个无限不循环小数.
[归纳结论]无限不循环小数叫做无理数.
任何整数、分数都可以化为有限小数或无限循环小数，反过来，任何有限小数和无限循环小数都可以写成分数形式，因此有理数是有限小数或无限循环小数；而无理数是无限不循环小数.
2.实数的分类.
问：有理数和无理数统称为实数，这样，我们认识的数的范围又一次扩大了，我们该怎样对实数进行分类呢？
[教学说明]教师提出问题，学生思考尝试，然后相互交流，掌握实数的两种分类方法.
[归纳结论]我们可以将实数按如下方式分类：
有理数、无理数都有正、负之分，实数也可以作如下分类：
三、典例精析，掌握新知
[教学说明]教师给出例题后，让学生独立完成，然后让部分学生上台展示自己的答案，加深对所学新知识的理解.
四、运用新知，深化理解
1.把下列各数分类填入图中:
2.把下列各数写成分数形式：
3.判断是非：
（1）无限小数都是无理数.( )
(2)无限不循环小数是无理数.( )
(3)无理数是带根号的数.( )
(4)分数是无理数.( )
4.下列各组数都是无理数的是（ ）
[教学说明]教师展示习题，学生独立完成，教师巡视，对学生的疑惑及时给予指导.
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？请与同伴交流.
[教学说明]学生相互交流，回顾无理数、实数的概念以及实数的分类，加深对所学知识的理解.
【课后练习】
完成练习册中本课时练习.
【教学后记】
第2课时 实数的运算与大小比较
【教学目标】
1.知道实数与数轴上的点一一对应.
2.会求一个实数的相反数、绝对值、倒数，会进行实数的运算.
3.会比较实数的大小.
4.类比有理数的运算法则和运算律，以及有理数大小的比较方法，会进行实数的运算,会比较实数的大小，提高学生的运算能力.
5.发挥学生主观能动性，还课堂于学生，引导学生自主探索，合作交流，便于学生获得成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣.
【教学重点】
会求一个实数的相反数、绝对值、倒数，会进行实数的运算，会比较实数的大小.
【教学难点】
实数大小的比较.
【教学过程】
一、情境导入，初步认识
问题每一个有理数都可用数轴上的一个点来表示，无理数（如）能用数轴上的点表示吗？
[教学说明]教师展示问题后，让学生自主探索，相互交流，发表自己的见解，初步感受实数与数轴上点的对应关系.
二、思考探究，获取新知
1.实数与数轴上的点的对应关系.
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