[例题]
[攻坚]（2025·浙江·高考真题）（多选）月球有类似于地球的南北两极和纬度。如图所示，月球半径为，表面重力加速度为，不考虑月球自转。从月球北极正上方水平发射一物体，要求落在纬度的处，其运动轨迹为椭圆的一部分。假设月球质量集中在球心点，如果物体沿椭圆运动的周期最短，则（ ）
A．发射点离月面的高度B．物体沿椭圆运动的周期为C．此椭圆两焦点之间的距离为D．若水平发射的速度为，发射高度为，则物体落到处的速度
【答案】BC
【解析】根据题意，椭圆轨道的一个焦点为月球球心，设另一焦点为，如图所示。
设椭圆半长轴为，焦距为。由椭圆定义有。
根据开普勒第三定律，周期最短时半长轴最小。几何分析表明，当垂直于时，取最小值，如图所示。
由几何关系得
代入，，得
焦距满足
故选项 C 正确。
发射点高度满足
其中，代入得
故选项 A 错误。
设物体在月球表面做匀速圆周运动的周期为，由重力提供向心力：
根据开普勒第三定律，代入，得
其中，故
选项 B 正确。
由引力势能公式及万有引力公式，得。机械能守恒定律给出
代入，解得
故选项 D 错误。
综上所述，正确答案为 BC。
练习
【强基】（2017年北大综合营）球形匀质星球赤道与两极处同一物体重力相差0.01%，赤道处自转线速度为。求：
（1）该星球逃逸速度；（2）发射时相对星球的最小速度。
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）在两极处，万有引力全部提供重力：
在赤道处，万有引力一部分提供向心力，一部分提供重力：
由题设，重力相差0.01%，即
代入得
又，所以
第一宇宙速度满足
比较得
逃逸速度与第一宇宙速度的关系为，故
（2）星球赤道表面随自转的线速度为。逃逸速度是相对于星球中心的绝对速度。为最小化发射所需相对速度，应沿自转方向发射，故相对星球的最小速度为
