《高中物理拔尖创新人才培优讲义》第76期:弹性势能与动能转换问题的分析与解法

弹性势能与动能转换

摘要：本文通过分析两道典型物理试题，探讨了弹性势能与动能、其他形式能量之间的转换关系及其在复杂运动过程中的应用。重点阐述了利用机械能守恒定律、功能关系以及动力学条件求解系统最大动能、最大势能的关键方法。

例题（2017年清华大学领军计划测试）

题目：质量的小球从距轻质弹簧上端处自由下落，已知重力加速度为，弹簧的劲度系数为，小球在运动过程中的最大动能为（　　）

A.B.C.D.

解析：

当小球的加速度为零时，速度达到最大值，动能最大。此时小球所受重力与弹力平衡：

其中为此时弹簧的压缩量。

取小球、弹簧和地球为系统，运动过程中仅有保守力做功，故机械能守恒。以弹簧原长上端点为弹性势能零点，以小球下落起始位置为重力势能零点。当小球动能最大时，设其位置相对于弹簧原长下端点的压缩量为，根据机械能守恒定律：

将式（1）解得的代入式（2）：

解得：

答案：C

练习（第38届全国高中物理竞赛预赛试题）

题目：如图，一轻弹簧左端固定，右端连接一物块。弹簧的劲度系数为，物块质量为，物块与桌面之间的滑动摩擦因数为。重力加速度大小为。现以恒力（）将物块自平衡位置开始向右拉动，则系统的最大势能为（　　）

A.B.C.D.

解析：

设弹簧的最大伸长量为。从平衡位置（弹簧无形变）拉到最大伸长量的过程中，恒力做正功，弹簧弹力做负功（弹性势能增加），滑动摩擦力做负功。根据功能关系，恒力所做的功等于系统弹性势能的增量与克服摩擦力所做功之和：

整理上式：

解得最大伸长量：

系统的最大势能（即最大弹性势能）为：

答案：D

结论：以上两道试题分别展示了无耗散的机械能守恒系统与含摩擦非保守力系统的能量分析。求解此类问题的核心在于：第一，准确识别能量转化的过程与临界状态（如合力为零对应最大速度）；第二，正确选取系统并列出对应的能量守恒或功能关系方程（如）。掌握将动力学条件（如平衡方程）与能量方程联立求解的方法，是处理弹性势能相关综合问题的关键。