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【免费下载】25-26学年同步培优讲义第2课时直线与平面平行的性质(教师版

2026-04-17 06:55:36

第2课时　直线与平面平行的性质

新课程标准解读	核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线和平面平行的性质定理，并加以证明	逻辑推理
2.会应用直线和平面平行的性质定理证明一些空间的简单线面关系	直观想象

当直线l∥平面α时，l与α没有公共点.此时，若m⊂α，这时可以判定，l与m的位置关系是平行或异面.

【问题】　那么在什么情况下l与m平行呢？

知识点直线与平面平行的性质定理

文字语言	一条直线与一个平面　平行　，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与　交线　平行
符号语言	a∥α，　a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b
图形语言

提醒（1）线面平行的性质定理的条件有三个：①直线a与平面α平行，即a∥α；②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；③直线a在平面β内，即a⊂β.三个条件缺一不可；（2）定理的作用：①线面平行⇒线线平行；②画一条直线与已知直线平行.

1.已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是（）

A.b∥αB.b与α相交

C.b⊂αD.b∥α或b与α相交

解析：D　由题意得b∥α和b与α相交都有可能.故选D.

2.如图，在三棱锥S-ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则（）

A.EF与BC相交

B.EF∥BC

C.EF与BC异面

D.以上均有可能

解析：B　∵平面SBC∩平面ABC＝BC，EF⊂平面SBC，又EF∥平面ABC，∴EF∥BC.故选B.

3.如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α，则CD与EF的位置关系为CD∥EF.

解析：∵AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，∴AB∥CD，又AB⊂γ，CD⊄γ，∴CD∥γ，又CD⊂α，α∩γ＝EF，∴CD∥EF.

题型一	直线与平面平行性质定理的应用

【例1】　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.

证明：如图，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，

∴O是AC的中点.又∵M是PC的中点，

∴AP∥OM.

又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，

∴AP∥平面BDM.

又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.

通性通法

1.利用线面平行性质定理解题的步骤

2.运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面的交线，然后确定线线平行.

【跟踪训练】

如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体.求证：截面MNPQ是平行四边形.

证明：因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，AB⊂平面ABC，所以AB∥MN，同理AB∥PQ，

所以MN∥PQ，同理MQ∥NP.

所以截面MNPQ是平行四边形.

题型二	与线面平行性质定理有关的计算问题

【例2】　如图，在四面体A-BCD中，已知△ABD是边长为2的等边三角形，△BCD是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，E为线段AB的中点，G为线段BD的中点，F为线段BD上的点.若AG∥平面CEF，求线段CF的长.

解：因为AG∥平面CEF，AG⊂平面ABD，平面CEF∩平面ABD＝EF，

所以AG∥EF.

又因为E为线段AB的中点，所以F为线段BG的中点，

因为G为线段BD的中点，且BD＝2，所以GF＝.

连接CG（图略），因为△BCD是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，所以CG＝BD＝1，且CG⊥GF.

在Rt△CGF中，CF＝＝.

通性通法

利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点

（1）根据已知线面平行关系推出线线平行关系；

（2）在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系；

（3）利用所得关系计算求值.

【跟踪训练】

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB₁C，求线段EF的长度.

解：∵EF∥平面AB₁C，

又平面ADC∩平面AB₁C＝AC，EF⊂平面ADC，

∴EF∥AC，∵E是AD的中点，∴F为CD的中点.

∴EF＝AC＝×2＝.

题型三	线面平行关系的综合应用

【例3】　如图所示的一块木料中，棱BC平行于平面A'C'.

（1）要经过平面A'C'内的一点P和棱BC将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？

解：如图，在平面A'C'内，过点P作直线EF，使EF∥B'C'，并分别交棱A'B'，D'C'于点E，F.连接BE，CF，则EF，BE，CF就是应画的线.

（2）所画的线与平面AC是什么位置关系？

解：因为棱BC平行于平面A'C'，平面BC'与平面A'C'相交于B'C'，所以BC∥B'C'.由（1）知，EF∥B'C'，所以EF∥BC.而BC在平面AC内，EF在平面AC外，所以EF∥平面AC.显然，BE，CF都与平面AC相交.

通性通法

关于线面平行关系的综合应用

判定和性质之间的推理关系是由线线平行⇒线面平行⇒线线平行得来的，既体现了线线平行与线面平行之间的相互联系，也体现了空间和平面之间的相互转化.

【跟踪训练】

如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明.

解：直线l∥平面PAC.证明如下：

因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC.

又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC.

所以EF∥平面ABC，

而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.

因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以l∥平面PAC.

1.若A是直线m外一点，过点A且与m平行的平面（）

A.存在无数个B.不存在

C.存在但只有一个D.只存在两个

解析：A　过点A作直线m的平行线l，则经过l且不经过m的所有平面均与m平行，有无数个.故选A.

2.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（）

A.m∥α，m∥n⇒n∥α

B.m∥α，n∥α⇒m∥n

C.m∥α，m⊂β，α∩β＝n⇒m∥n

D.m∥α，n⊂α⇒m∥n

解析：C　A中，n还有可能在平面α内；B中，m，n可能相交、平行、异面；由线面平行的性质定理可得C正确；D中，m，n可能异面.

3.如图，四棱锥P-ABCD中底面是正方形，四条侧棱均相等，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，BC∥平面GEFH.求证：GH∥EF.

证明：因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，

且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC，

同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.

1.若l∥平面α，m⊂α，则l与m的关系一定存在的是（）

A.l∥mB.l与m异面

C.l与m可能相交D.l∩m＝⌀

解析：D　l与m可以异面或平行，即l∩m＝⌀.

2.若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为（）

A.都平行

B.都相交且一定交于同一点

C.都相交但不一定交于同一点

D.都平行或交于同一点

解析：A　因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质定理知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.

3.（2024·商丘月考）已知直线a∥平面α，α内有n条直线相交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有（）

A.0条B.1条

C.0条或1条D.无数条

解析：C　过直线a和n条直线的交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b.若所给n条直线中有1条是与直线b重合的，则此直线与直线a平行；若没有与直线b重合的，则与直线a平行的直线有0条.

4.如图，四棱锥S-ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为（）

A.2＋　　　　　　　B.3＋

C.3＋2D.2＋2

解析：C　由AB＝BC＝CD＝DA＝2，得四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，即AB∥平面DCFE，∵平面SAB∩平面DCFE＝EF，∴AB∥EF.∵E是SA的中点，∴EF＝1，DE＝CF＝.∴四边形DEFC的周长为3＋2.

5.（多选）如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（）

A.MN∥PD

B.MN∥平面PAB

C.MN∥AD

D.MN∥PA

解析：BD　∵MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，∴MN∥PA，∵PA⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB.故选B、D.

6.（多选）在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是（）

A.E，F，G，H一定是各边的中点

B.G，H一定是CD，DA的中点

C.AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC

D.四边形EFGH是平行四边形或梯形

解析：CD　因为BD∥平面EFGH，所以由线面平行的性质定理，得BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，BF∶FC＝DG∶GC，且EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形或梯形.故选C、D.

7.平面α外的两条直线a，b，且a∥α，则a∥b是b∥α的充分不必要条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）.

解析：平面α外的两条直线a，b，若a∥α且a∥b，则根据直线与平面平行的判定定理可知b∥α；若a∥α且b∥α，则不一定有a∥b.

8.如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是棱AA_1，BB₁的中点，过EF的平面EFGH分别交于BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是平行（填平行、相交、异面其中之一）.

解析：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∵E，F分别是棱AA_1，BB₁的中点，∴AE􀰿BF，∴四边形ABFE为平行四边形，∴EF∥AB，又∵EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.又∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH.又EF∥AB，∴GH∥AB.

9.（2024·福州质检）如图所示，直线a∥平面α，点A∉平面α，并且直线a和点A位于平面α两侧，点B，C，D∈a，AB，AC，AD分别交平面α于点E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝.

解析：因为直线a∥平面α，点B，C，D∈a，平面ABD∩平面α＝EG，所以BD∥EG，所以＝＝EG＝·BD＝×4＝.

10.一正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点.

（1）过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，在木块的表面应该怎样画线？

（2）在平面ABC中所画的线与棱AC是什么位置关系？

解：（1）取VC的中点D，BC的中点E，AB的中点F，分别连接PD，PF，EF，DE，

则PD，PF，EF，DE即为在木块表面应画的线.

（2）在平面ABC中所画的线EF与棱AC平行，证明如下：

因为PF∥DE，所以P，D，E，F四点共面，且AC∥平面PDEF，

因为平面ABC∩平面PDEF＝EF，

所以AC∥EF.

11.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，过BC的平面与平面PAD交于EF，E在线段PD上且异于P，D两点，则四边形EFBC是（）

A.空间四边形B.矩形

C.梯形D.平行四边形

解析：C　因为BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD.因为BC⊂平面EFBC，平面EFBC∩平面PAD＝EF，所以BC∥EF.因为BC＝AD，EF＜AD，所以EF＜BC，所以四边形EFBC为梯形，故选C.

12.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，AC交BD于点O，E为AD的中点，F在PA上，AP＝λAF，PC∥平面BEF，则λ的值为（）

A.1B.

C.2D.3

解析：D　如图，设AO交BE于点G，连接FG.∵E为AD的中点，∴AE＝AD＝BC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△AEG∽△CBG，∴＝＝，∴＝.∵PC∥平面BEF，PC⊂平面PAC，平面BEF∩平面PAC＝GF，∴GF∥PC，∴λ＝＝＝3.故选D.

13.如图，在底面边长为8 cm，高为6 cm的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若D为棱A₁B₁的中点，则过BC和D的截面面积等于24 cm².

解析：过点D作DE∥B₁C_1，交A₁C₁于点E，连接CE，B₁C₁∥BC，则DE∥BC，即D，E，B，C四点共面，四边形BCED即为过BC和点D的截面，

因为D为棱A₁B₁的中点，所以DE是△A₁B₁C₁的中位线，所以DE＝B₁C₁＝4cm，又因为DE∥BC，所以四边形BCED是梯形；过点D作DF⊥BC于点F，则DF＝＝4（cm），所以截面 BCED的面积为S＝×（4＋8）×4＝24（cm²）.

14.如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，M，N分别为线段A₁B，AC₁的中点.

（1）求证：MN∥平面BB₁C₁C；

（2）若点D在棱BC上，DN∥平面ABB₁A_1，求的值.

解：（1）证明：连接A₁C（图略），在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，侧面AA₁C₁C为矩形，

因为N为AC₁的中点，所以N为A₁C的中点.

又M为A₁B的中点，所以MN∥BC，又MN⊄平面BB₁C₁C，BC⊂平面BB₁C₁C，所以MN∥平面BB₁C₁C.

（2）因为DN∥平面ABB₁A_1，DN⊂平面A₁BC，平面A₁BC∩平面ABB₁A₁＝A₁B，

所以DN∥A₁B，所以＝＝1.

15.（多选）已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，且AB∥CD，AC，BD的交点为O，CD＝3AB，在PC上取一点N，使得PA∥平面NBD，四棱锥P-ABCD的体积为V_{1，三棱锥}N-BDC的体积为V_{2，则下面结论正确的为}（）

A.＝B.PA∥ON

C.V_P_-_ADC＝V_P_-_ABCD.＝

解析：ABD　因为AB∥CD，所以△AOB与△COD相似，所以＝＝PA∥平面NBD，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面NBD＝ON，所以PA∥ON，所以＝＝A、B正确；因为CD＝3AB，AB∥CD，所以S_△_ADC＝3S_△_ABC，所以V_P_-_ADC＝3V_P_-_ABC，故C不正确；因为＝＝＝＝3，所以＝＝×＝D正确.故选A、B、D.