【免费下载】25-26学年同步培优讲义8.5.1 直线与直线平行(教师版

8.5　空间直线、平面的平行

8.5.1　直线与直线平行

把一张长方形的纸对折两次，打开以后如图所示.

【问题】（1）为什么这些折痕互相平行？

（2）初中所学的结论“在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，如果去掉条件“在同一平面内”，结论是否仍成立？

知识点一基本事实4

　平行于同一条直线的两条直线　平行　.

知识点二　等角定理

提醒对等角定理的两点认识：①等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是基本事实4的直接应用；②当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补.因此等角定理用来证明两个角相等或互补.

1.已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b（）

A.一定是异面直线B.一定是相交直线

C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线

解析：C　假设c与b平行，由于c∥a，根据基本事实4可知a∥b ，与a，b是异面直线矛盾，故c与b不可能是平行直线.故选C.

2.已知∠BAC＝30°，AB∥A'B'，AC∥A'C'，则∠B'A'C'＝（）

A.30°B.150°

C.30°或150°D.大小无法确定

解析：C　当∠B'A'C'与∠BAC的两边方向分别相同或相反时，∠B'A'C'＝30°，否则，∠B'A'C'＝150°.故选C.

3.如图，在正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，与棱AB平行的棱有3条，分别是CD，A₁B_1，C1D₁.

解析：因为正四棱台中两底面都是正方形，侧面ABB₁A₁是等腰梯形，所以AB∥CD，A₁B₁∥C₁D_1，AB∥A₁B₁.所以AB∥C₁D₁.故与棱AB平行的棱为CD，A₁B_1，C1D_1，共3条.

【例1】　如图所示，在空间四边形ABCD（不共面的四边形称为空间四边形）中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点.

（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；

证明：因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，

所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝AC，

所以EF∥HG，EF＝HG，

所以四边形EFGH是平行四边形.

（2）如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形.

证明：因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EH∥BD，EH＝BD.

因为EF＝AC，AC＝BD，所以EH＝EF.

又因为四边形EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形.

通性通法

证明空间两条直线平行的方法

（1）平面几何法：三角形中位线、平行四边形的性质等；

（2）定义法：用定义证明两条直线平行，要证明两个方面，一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点；

（3）基本事实4：用基本事实4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，即可得到a∥c.

【跟踪训练】

　已知棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中，M，N分别为CD，AD的中点.求证：四边形MNA'C'是梯形.

证明：如图所示，连接AC，

由正方体的性质可知AA'＝CC'，AA'∥CC'，

∴四边形AA'C'C为平行四边形，∴A'C'＝AC，A'C'∥AC，

又∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN∥AC，且MN＝AC，

∴MN∥A'C'，且MN≠A'C'.∴四边形MNA'C'是梯形.

【例2】　如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G分别为棱CC_{1，BB1，DD1}的中点，试证明：∠BGC＝∠FD₁E.

证明：因为F为BB₁的中点，所以BF＝BB_1，

因为G为DD₁的中点，所以D₁G＝DD₁.

又BB₁∥DD_1，BB1＝DD_1，所以BF∥D₁G，BF＝D₁G.

所以四边形D₁GBF为平行四边形.

所以D₁F∥GB，同理D₁E∥GC.

又∠BGC与∠FD₁E的对应边平行且方向相同，

所以∠BGC＝∠FD₁E.

通性通法

关于等角定理的应用

（1）根据空间中相应的定理证明角的两边分别平行，即先证明线线平行；

（2）根据角的两边的方向判定两角相等或互补.

【跟踪训练】

如图所示，点A_1，B1，C1分别是不共面的三条射线OA，OB，OC上的点，且 ＝＝.求证：△A₁B₁C₁∽△ABC.

证明：在△OAB中，因为 ＝

所以A₁B₁∥AB.同理可证A₁C₁∥AC，B₁C₁∥BC.

所以∠C₁A₁B₁＝∠CAB，∠A₁B₁C₁＝∠ABC.

所以△A₁B₁C₁∽△ABC.

【例3】　如图，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC􀰿AD，BE􀰿AF，G，H分别是FA，FD的中点.

（1）证明：四边形BCHG是平行四边形；

解：证明：由题意知，FG＝GA，FH＝HD，

所以GH􀰿AD，又BC􀰿AD，故GH􀰿BC，

所以四边形BCHG是平行四边形.

（2）C，D，E，F四点是否共面？为什么？

解：C，D，F，E四点共面.

理由如下：由BE􀰿AF，G是FA的中点知，有BE􀰿GF，

所以四边形BEFG是平行四边形，所以EF∥BG，

由（1）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EF，CH共面.

又点D在直线FH上， 所以C，D，E，F四点共面.

通性通法

根据两平行直线确定一个平面，可以证明共面问题，其实质是证明直线平行.

【跟踪训练】

如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，H，G分别是AD，CD上的点，满足＝.

（1）求证：E，F，G，H四点共面；

证明：如图，连接AC，

∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC.

在△ADC中，∵＝，∴GH∥AC，∴EF∥GH，

∴E，F，G，H四点共面.

（2）设EH与FG交于点P，求证：B，D，P三点共线.

证明：∵EH∩FG＝P，∴P∈EH，又∵EH⊂平面ABD，∴P∈平面ABD，

同理P∈平面BCD，∴P为平面ABD与平面BCD的一个公共点.

又平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，即P，B，D三点共线.

1.已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是（）

A.平行B.相交

C.异面D.不确定

解析：A　∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d.故选A.

2.如图所示，在长方体木块AC₁中，E，F分别是B₁O和C₁O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（）

A.3条B.4条

C.5条D.6条

解析：B　EF∥B₁C₁∥BC∥AD∥A₁D₁.

3.两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（）

A.全等B.不相似

C.仅有一个角相等D.相似

解析：D　由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D.

4.空间中有两个角α，β，且角α，β的两边分别平行.若α＝60°，则β＝60°或120°.

解析：因为角α与β两边对应平行，但方向不确定，所以α与β相等或互补，故β＝60°或120°.

1.空间中两条互相平行的直线指的是（）

A.空间中没有公共点的两条直线

B.分别在两个平面内的两条直线

C.在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线

D.在同一平面内且没有公共点的两条直线

答案：D

2.如图所示，在三棱锥S -MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是（）

A.平行

B.相交

C.异面

D.平行或异面

解析：A　∵E，F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，∴EF∥HG.故选A.

3.空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是（）

A.平行

B.异面

C.相交或平行

D.平行或异面或相交均有可能

解析：D　如图可知AB，CD有平行，异面，相交三种情况，故选D.

4.在正六棱柱ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁任意两个顶点的连线中与棱AB平行的条数为（）

A.2　　　　B.3C.4　　　　D.5

解析：D　如图，连接CF，C₁F_1，与棱AB平行的有ED，CF，A₁B_1，C1F_1，E1D_1，共有5条，故选D.

5.（多选）（2024·韶关月考）如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线l⊂平面A₁B₁C₁D_{1，且直线}l与直线B₁C₁不平行，则下列说法可能成立的是（）

A.l与AD平行

B.l与AD不平行

C.l与AC平行

D.l与BD平行

解析：BCD　假设l∥AD，则由AD∥BC∥B₁C_1，知l∥B₁C_{1，这与直线}l与直线B₁C₁不平行矛盾，所以直线l与直线AD不平行，故A项不可能成立，易知B、C、D项均可能成立，故选B、C、D.

6.（多选）如图，在四棱锥A-BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则（）

A.PQ＝MN

B.PQ∥MN

C.M，N，P，Q四点共面

D.四边形MNPQ是梯形

解析：BCD　由题意知PQ＝DE，且DE≠MN，所以PQ≠MN，故A不正确；又PQ∥DE，DE∥MN，所以PQ∥MN，又PQ≠MN，所以B、C、D正确.

7.在四棱锥P-ABCD中，E，F，G，H分别是PA，PC，AB，BC的中点，若EF＝2，则GH＝2.

解析：由题意知EF􀰿AC，GH􀰿AC，故EF􀰿GH，故GH＝2.

8.如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A₁AB相等的角是∠D₁DC，∠D₁C₁C，∠A₁B₁B.

解析：因为在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁∥DD_1，AB∥DC，所以∠A₁AB与∠D₁DC相等.又由于侧面A₁ABB_1，D1DCC₁为平行四边形，所以∠A₁AB与∠A₁B₁B，∠D₁C₁C也相等.

9.如图所示，△ABC和△A'B'C'的对应顶点的连线AA'，BB'，CC'交于同一点O，且＝＝＝＝.

解析：由＝＝＝AB∥A'B'，AC∥A'C'，BC∥B'C'.由等角定理得∠CAB＝∠C'A'B'，∠ACB＝∠A'C'B'，∴△ABC∽△A'B'C'，∴＝，∴＝×＝.

10.如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中的平面A₁C₁内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由.

解：如图所示，在平面A₁C₁内过点P作直线EF∥B₁C_1，交A₁B₁于点E，交C₁D₁于点F，则直线EF即为所求.

理由：因为EF∥B₁C_1，BC∥B₁C_1，

所以EF∥BC.

11.（多选）如图，棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AA₁上的一点且A₁E＝2EA，设过点D_1，C，E的平面与平面ABB₁A₁的交线为EF，则下列结论正确的为（）

A.EF∥D₁C

B.EF＝a

C.CF＝a

D.三棱锥A-EFC的体积为a³

解析：AD　如图，设BF＝2FA，连接EF，A₁B，CF，AC，因为A₁E＝2EA，所以EF∥A₁B.又易知A₁B∥D₁C，所以EF∥D₁C.故EF＝A₁B＝a，CF＝＝a，V_{三棱锥A-EFC}＝V_{三棱锥E-AFC}＝×a××a×a＝a³.因此，A、D正确.

12.（2024·江门质检）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝＝BD＝6，四边形EFGH的面积为28，则直线EH，FG之间的距离为8.

解析：由题意得EH是△ABD的中位线，∴EH∥BD且EH＝BD＝3，又∵＝＝，∴GF∥BD且GF＝BD＝4，由基本事实4知，EH∥GF，∴四边形EFGH是梯形，而直线EH，FG之间的距离就是梯形EFGH的高，设为h，即＝28，得h＝8.

13.如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H分别是棱的中点，则EF与GH在原正方体中的位置关系为平行.

解析：由题意，将正方体的表面展开图还原构造成正方体，如图所示.分别取AB，AA₁的中点Q，P，连接EP，FQ，PQ，A₁B，由正方体的结构特征可得EF∥PQ，又因为点Q，P，H，G分别是AB，AA_1，A1B_1，BB1的中点，故PQ∥A₁B，HG∥A₁B，故PQ∥HG，所以EF∥GH.

14.如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为棱AA_1，CC1的中点.

求证：（1）D₁E∥BF；

（2）∠B₁BF＝∠A₁ED₁.

证明：（1）如图，取BB₁的中点M，连接EM，C₁M.

在矩形ABB₁A₁中，易得EM∥A₁B_1，EM＝A₁B_1，

因为A₁B₁∥C₁D_1，A1B₁＝C₁D_1，所以EM∥C₁D_1，EM＝C₁D_1，

所以四边形EMC₁D₁为平行四边形，所以D₁E∥MC₁.

在矩形BCC₁B₁中，易得MB∥C₁F，MB＝C₁F.

所以四边形MBFC₁为平行四边形，所以BF∥MC_1，所以D₁E∥BF.

（2）因为D₁E∥BF，BB₁∥EA_1，

又∠B₁BF与∠A₁ED₁的对应边方向相同，所以∠B₁BF＝∠A₁ED₁.

15.已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝6，则（）

A.1＜MN＜5B.2＜MN＜10

C.1≤MN≤5D.2＜MN＜5

解析：A　取AD的中点H，连接MH，NH（图略），则MH∥BD，且MH＝BD，NH∥AC，且NH＝AC，且M，N，H三点构成三角形，由三角形中三边关系，可得MH－NH＜MN＜MH＋NH，即1＜MN＜5.故选A.

16.如图①所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，将平面CDFE沿EF翻折起来，使CD到达C'D'的位置（如图②），G，H分别为AD'，BC'的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形.

证明：在题图①中，∵四边形ABCD为梯形，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，

∴EF∥AB且EF＝（AB＋CD）.

在题图②中，易知C'D'∥EF∥AB.∵G，H分别为AD'，BC'的中点，

∴GH∥AB且GH＝（AB＋C'D'）＝（AB＋CD），

∴GH∥EF，且GH＝EF，

∴四边形EFGH为平行四边形.

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