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【免费下载】25-26学年同步培优讲义第1课时平面与平面垂直的判定(教师版

2026-10-30 07:05:02

8.6.3　平面与平面垂直

第1课时　平面与平面垂直的判定

新课程标准解读	核心素养
1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系	数学抽象
2.了解二面角的相关概念，平面与平面垂直的定义	逻辑推理
3.归纳出平面与平面垂直的判定定理	数学运算

如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”变大的感觉.

【问题】　你认为应该怎样刻画不同的面面“夹角”呢？

知识点一二面角

1.定义：从一条直线出发的两个　半平面　所组成的图形叫做二面角.

2.相关概念

二面角的棱

二面角的面

记法

AB（l）

α，β

二面角α-AB-β；

二面角α-l-β；

二面角P-l-Q；

二面角P-AB-Q

3.二面角的平面角

（1）定义：在二面角α-l-β的棱l上　任取一点O　，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作　垂直　于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角；

（2）范围：　0°≤∠AOB≤180°；

（3）直二面角：平面角是直角的二面角.

【想一想】

二面角与平面几何中的角有什么区别？

提示：平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图形；二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.

知识点二　平面与平面垂直

1.平面与平面垂直的定义

（1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是　直二面角　，就说这两个平面互相垂直；

（2）画法：

（3）记作：α⊥β.

2.平面与平面垂直的判定定理

文字语言	如果一个平面过另一个平面的　垂线　，那么这两个平面垂直
符号语言	a⊂α，a⊥β⇒α⊥β
图形语言

提醒判定定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线.

【想一想】

“过平面外一点，有且只有一个与已知平面垂直的平面”对吗？

提示：不止一个，事实上有无数个，过平面外一点可以作平面的一条垂线，过该垂线可以作出无数个平面，由平面与平面垂直的判定定理可知这些平面都与已知平面垂直，所以过平面外一点，可以作无数个与已知平面垂直的平面.

1.如图所示的二面角可记为（）

A.α-β-lB.M-l-N

C.l-M-ND.l-β-α

解析：B　根据二面角的记法规则可知B正确.故选B.

2.在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有的条件是（）

A.AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂β

B.AO⊥l，BO⊥l

C.AB⊥l，AO⊂α，BO⊂β

D.AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β

答案：D

3.如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁所有经过四个顶点的平面中，垂直于平面ABC₁D₁的平面有平面A₁B₁CD，平面BCC₁B_1，平面ADD₁A₁.

解析：连接B₁C，A₁D（图略），在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中有AB⊥平面BCC₁B_1，又AB⊂平面ABC₁D_{1，所以平面}ABC₁D₁⊥平面BCC₁B_{1，同理有平面}ABC₁D₁⊥平面ADD₁A_1，又BC₁⊥B₁C，BC₁⊂平面ABC₁D_1，B₁C⊂平面A₁B₁CD，所以平面ABC₁D₁⊥平面A₁B₁CD.

题型一

二面角的计算

【例1】　如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.

（1）求二面角A-PD-C的大小；

解：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.

又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD.

∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.

又CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.

∴二面角A-PD-C的大小为90°.

（2）求二面角B-PA-C的大小.

解：∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.

∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.

又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°.

即二面角B-PA-C的大小为45°.

通性通法

求二面角大小的步骤

简称为“一作二证三求”.

提醒作平面角时，要清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要，选择特殊点做平面角的顶点.

【跟踪训练】

（2024·宁波质检）在正四面体A-BCD中，二面角A-CD-B的平面角的余弦值为（）

A.B.

C.D.

解析：B　由A-BCD为正四面体，取CD的中点E，连接AE，BE（如图），则AE⊥CD，BE⊥CD，AE∩BE＝E，∴CD⊥平面ABE，∠AEB为二面角A-CD-B的平面角，设正四面体的棱长为1，则AE＝BE＝＝1，在△ABE中，作AH⊥BE于H，则cos∠AEB＝AB²－BH²＝AE²－HE²且BH＝BE－HE，可得HE＝，∴cos∠AEB＝.故选B.

题型二	平面与平面垂直的证明

【例2】　如图所示，在四面体A-BCS 中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC.

证明：法一（定义法）因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，

所以△ASB和△ASC是等边三角形，

则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，

则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.

取BC的中点D，连接AD，SD，如图所示，则AD⊥BC，SD⊥BC，

所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.

在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，

所以SD＝a，BD＝＝a.

在Rt△ABD中，AD＝a，

在△ADS中，因为SD²＋AD²＝SA^2，

所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S为直二面角，

故平面ABC⊥平面SBC.

法二（判定定理法）因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，

所以SA＝AB＝AC，

所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.

因为△SBC为直角三角形，

所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，

所以AD⊥平面SBC.

又因为AD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.

通性通法

证明面面垂直常用的方法

（1）定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；

（2）判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；

（3）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.

【跟踪训练】

1.如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.

证明：∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD.

∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，

又PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC，

∴BD⊥平面PAC.

∵BD⊂平面PDB，∴平面PDB⊥平面PAC.

2.如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB＝4，AA₁＝3分别是棱A₁C_1，AC的中点，E在侧棱AA₁上，且A₁E＝2EA，求证：平面MEB⊥平面BEN.

证明：在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，BN⊂平面ABC，则AA₁⊥BN.

因为N是棱AC的中点，△ABC为正三角形，则BN⊥AC.

因为AA₁∩AC＝A，所以BN⊥平面AA₁C₁C，ME⊂平面AA₁C₁C，BN⊥ME.

又AB＝4，AA₁＝3₁E＝2EA，所以EA＝₁E＝2

因为＝＝，∠NAE＝∠EA₁M＝90°，

所以Rt△A₁EM∽Rt△ANE，故∠A₁EM＝∠ANE，∠A₁EM＋∠AEN＝∠ANE＋∠AEN＝90°，则有∠MEN＝90°，故EN⊥ME.

因为EN∩BN＝N，所以ME⊥平面BEN，又ME⊂平面MEB，所以平面MEB⊥平面BEN.

1.下列说法：①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系.其中正确的个数是（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：A　根据二面角的定义知①两个相交的半平面所组成的图形叫做二面角，故错误；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作棱的垂线所成的角，故错误；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置无关，故错误.所以①②③都不正确.故选A.

2.若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角（）

A.相等B.互补

C.相等或互补D.关系无法确定

解析：D　如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，因为二面角H-DG-F的大小不确定，所以两个二面角的大小关系不确定.

3.（2024·江门月考）如图所示，AB是☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，则二面角P-BC-A的大小为45°.

解析：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是☉O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，而PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P-BC-A的棱，∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，故二面角P-BC-A的大小是45°.

4.如图①所示，已知Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高.以AD为折痕将△ABC折起，使∠BDC为直角，如图②所示，求证：平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.

证明：易知AD⊥BD，AD⊥DC，

又BD，DC⊂平面BDC，且BD∩DC＝D，

所以AD⊥平面BDC.

又AD⊂平面ABD，AD⊂平面ACD，

所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.

1.以下角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角的平面角.其中可能为钝角的有（）

A.0个　　　B.1个C.2个　　　D.3个

解析：B　异面直线所成的角α的范围为0°＜α≤90°，直线和平面所成的角β的范围为0°≤β≤90°，二面角的平面角θ的范围为0°≤θ≤180°，只有二面角的平面角可能为钝角.

2.下列命题中正确的是（）

A.平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β

B.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β

C.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β

D.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β

解析：C　当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确.

3.如图，三棱台ABC-A₁B₁C₁的下底面是正三角形，且AB⊥BB_1，B₁C₁⊥BB_{1，则二面角}A-BB₁-C的大小是（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

解析：C　三棱台ABC-A₁B₁C₁中，B₁C₁∥BC，且B₁C₁⊥BB_1，则BC⊥BB_1，又AB⊥BB_1，且AB∩BC＝B，所以B₁B⊥平面ABC，所以∠ABC为二面角A-BB₁-C的平面角，因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°.故选C.

4.如图，若PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则该几何体的表面中相互垂直的面有（）

A.2对B.3对

C.4对D.5对

解析：D　由PA⊥平面ABCD，知平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD；因为PA⊥AB，AD⊥AB，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，则平面PAB⊥平面PAD；因为PA⊥BC，AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，则平面PBC⊥平面PAB；因为PA⊥DC，AD⊥DC，PA∩AD＝A，所以DC⊥平面PAD，则平面PDC⊥平面PAD.所以题图中相互垂直的面共有5对，选D.

5.（多选）已知α，β是两个不同的平面，l是一条直线，则下列命题中正确的是（）

A.若α∥β，l∥β，则l∥α

B.若l⊥α，l⊥β，则α∥β

C.若l⊥α，l∥β，则α⊥β

D.若α⊥β，l∥β，则l⊥α

解析：BC　对于A，若α∥β，l∥β，则l∥α或l⊂α，故A不正确；对于B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故B正确；对于C，如图，若l⊥α，l∥β，过l的平面γ与β相交，设交线为m，∵l∥β，l⊂γ，β∩γ＝m，则l∥m，∵l⊥α，则m⊥α，∵m⊂β，故α⊥β，故C正确；对于D，若α⊥β，l∥β，则l与α不一定垂直，故D不正确.故选B、C.

6.（多选）如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，点A到达A'的位置，此时A'C＝A'-BCD，则（）

A.平面A'BD⊥平面BDC

B.平面A'BD⊥平面A'BC

C.平面A'DC⊥平面BDC

D.平面A'DC⊥平面A'BC

解析：AD　在三棱锥A'-BDC中，A'D＝A'B＝1，∠BA'D＝90°，故BD＝DC＝A'C＝A'C²＝A'D²＋DC^2，则CD⊥A'D，又CD⊥BD，A'D∩BD＝D，所以CD⊥平面A'BD，故平面A'BD⊥平面BDC.又CD⊥平面A'BD，所以CD⊥A'B，又A'B⊥A'D，A'D∩CD＝D，所以A'B⊥平面A'DC，故平面A'DC⊥平面A'BC.

7.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是CC₁的中点，则平面EBD与平面AA₁C₁C的位置关系是垂直.（填“垂直”或“不垂直”）

解析：如图，在正方体中，CC₁⊥平面ABCD，所以CC₁⊥BD.又AC⊥BD，CC₁∩AC＝C，所以BD⊥平面AA₁C₁C.又BD⊂平面EBD，所以平面EBD⊥平面AA₁C₁C.

8.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝1.

解析：由题意知，BD⊥AD，CD⊥AD，所以∠BDC为二面角B-AD-C的平面角，由于平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°，连接BC（图略），则BC＝＝＝1.

9.如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB＝AD＝2 ₁＝C₁-BD-C的大小为30°.

解析：如图，取BD中点O，连接OC，OC_1，因为AB＝AD＝2CO⊥BD，CO＝.因为CD＝BC，所以C₁D＝C₁B，所以C₁O⊥BD.所以∠C₁OC为二面角C₁-BD-C的平面角.因为tan∠C₁OC＝＝＝∠C₁OC＝30°，即二面角C₁-BD-C的大小为30°.

10.如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝2＝1，求二面角V-AB-C的大小.

解：如图，取AB的中点E，连接VE，CE.

因为VA＝VB＝AC＝BC＝2，

所以由等腰三角形的性质，可得VE⊥AB，CE⊥AB，

所以∠VEC就是二面角V-AB-C的平面角.

由AB＝2

可知EB＝AB＝.

又VB＝2，所以在Rt△VEB中，VE＝＝1，同理EC＝1，

所以VE＝EC＝VC＝1，

所以△VEC为正三角形，

所以∠VEC＝60°.

11.（2024·焦作月考）若正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为3，侧棱AA₁＝是CB延长线上一点，且BD＝BC，则二面角B₁-AD-B的大小为（）

A.　　　　B.C.　　　　D.

解析：D　由题意知：AB＝DB＝3，BB₁＝AA₁＝且∠ABD＝B作BE⊥AD于E，连接B₁E，则BE＝BB₁⊥平面ABD，AD⊂平面ABD，∴AD⊥BB_1，而BB₁∩BE＝B，即AD⊥平面BEB_{1，故二面角}B₁-AD-B的平面角为∠BEB₁，∴tan∠BEB₁＝＝∠BEB₁∈[0，π]，即∠BEB₁＝.

12.（多选）如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中正确的是（）

A.平面EFG∥平面PBC

B.平面EFG⊥平面ABC

C.∠BPC是直线EF与直线PC所成的角

D.∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角

解析：ABC　对于A，因为点E，F分别是AB，AP的中点，所以EF∥PB，又EF⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC.同理，EG∥平面PBC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面PBC，因此A中结论正确；对于B，因为PC⊥BC，PC⊥AC，BC∩AC＝C，所以PC⊥平面ABC.又FG∥PC，所以FG⊥平面ABC，又FG⊂平面FGE，所以平面FGE⊥平面ABC，因此B中结论正确；对于C，在平面PBC中，由BC⊥PC，得∠BPC为直线BC与直线PC所成的角，又EF∥BP，所以∠BPC是直线EF与直线PC所成的角，因此C中结论正确；对于D，由于FE，GE与AB不垂直，所以∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角，因此D中结论不正确.